線代方向?qū)?shù)與梯PPT課件

1、討論函數(shù) z = f (x, y) 在一點(diǎn) P沿某一方向的變化率問題一、方向?qū)?shù)的定義oyx lP x y P .),(),(lim0 yxfyyxxflf 定義的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)沿方向沿方向限為函數(shù)在點(diǎn)限為函數(shù)在點(diǎn)的極限存在，則稱這極的極限存在，則稱這極時(shí)，如果此比時(shí)，如果此比趨于趨于沿著沿著比值，當(dāng)比值，當(dāng)之之兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離與與函數(shù)的增量函數(shù)的增量lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)第1頁/共13頁依定義，函數(shù)依定義，函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)P沿著沿著x軸正向軸正向 0 , 11 e、 y軸正向軸正向 1 , 02 e 的方向?qū)?shù)分

2、別為的方向?qū)?shù)分別為yxff ,； 沿著沿著x軸負(fù)向、軸負(fù)向、y軸負(fù)向的方向?qū)?shù)是軸負(fù)向的方向?qū)?shù)是 yxff ,. . 定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP是可微分的，是可微分的， 那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向 L的方向?qū)?shù)都的方向?qū)?shù)都 存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 為為 x 軸到方向軸到方向 L的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 第2頁/共13頁xyo例例 1 1 求函數(shù)求函數(shù) yxez2 在點(diǎn)在點(diǎn) )0 , 1(P 處沿從點(diǎn)處沿從點(diǎn) )0 , 1(P 到點(diǎn)到點(diǎn) )1 , 2( Q 的方向的方向?qū)?shù)的方向的方向?qū)?shù). . 解故故x軸

3、到方向軸到方向 l的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角4 . . )0 , 1( xz由由 )0 , 1(yz)4sin(2)4cos(1 lz.22 這里方向這里方向 l即為即為1 , 1 PQ, , 方向?qū)?shù)PQ )0 , 1(2ye; 1 )0 , 1(22yxe, 2 第3頁/共13頁對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù)),(zyxfu ，它在空間一點(diǎn)，它在空間一點(diǎn) ),(zyxP沿著方向沿著方向 L的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) ，可定義為，可定義為 ,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義（ 其中其中222)()()(zyx ） 同理：當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí)，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿同理：當(dāng)函數(shù)在

4、此點(diǎn)可微時(shí)，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿 任意方向任意方向 L的方向?qū)?shù)都存在，且有的方向?qū)?shù)都存在，且有 .coscoscos zfyfxflf 設(shè)方向設(shè)方向 L 的方向角為的方向角為 , ,. . 第4頁/共13頁定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 D 內(nèi)具有一階內(nèi)具有一階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)DyxP ),(，都，都 可定出一個(gè)向量可定出一個(gè)向量 jyfixf ，這向量稱為函，這向量稱為函 數(shù)數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP的的梯度梯度，記為，記為 二、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)問題問題P.

5、 ),( jyfixfyxfgrad 第5頁/共13頁 sincosyfxflf sin,cos, yfxf ),(eyxfgrad ,cos| ),(| yxfgrad lf 有最大值有最大值. . 設(shè)設(shè) sin cos jie 是方向是方向 l上的單位向量，上的單位向量， 由方向?qū)?shù)公式知由方向?qū)?shù)公式知 其中其中) ),(eyxfgrad 當(dāng)當(dāng)1) ),(cos( eyxfgrad 時(shí)，時(shí)， 第6頁/共13頁函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方 向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, ,而它的而它的 模為方向?qū)?shù)的最大值梯度

6、的模為模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 結(jié)論. | ),(|22 yfxfyxfgrad第7頁/共13頁),(yxfz 在幾何上 表示一個(gè)曲面曲面被平面 所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在xoy面上投影如圖等高線),(yxfgrad梯度為等高線上的法向量P2),(cyxf 1),(cyxf oyxcyxf ),(12cc 第8頁/共13頁三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 G內(nèi)具有一階內(nèi)具有一階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)GzyxP ),(，都可，都可 定義一個(gè)向量定義一個(gè)向量( (梯度梯度) ) . ),(kzfjyfixfzyxfgrad

7、類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)第9頁/共13頁類似地類似地, ,設(shè)曲面設(shè)曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)),(zyxfu 的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)),(zyxP的梯度的方向與的梯度的方向與 過點(diǎn)過點(diǎn) P的等量面的等量面czyxf ),(在這點(diǎn)的法線的一在這點(diǎn)的法線的一 個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較 高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方 向的方向?qū)?shù)向的方向?qū)?shù). . 第10頁/共13頁例例 4 4 求函數(shù)求函數(shù) yxzyxu2332222 在點(diǎn)在點(diǎn) )2 , 1 , 1( 處的梯度，并問在處的梯度，并問在 哪些點(diǎn)處梯度為零哪些點(diǎn)處梯度為零向量向量？ 解由梯度計(jì)算公式得 ),(kzujyuixuzyxugrad , 6 )24( )32(kzjyix 故. 12 2 5)2 , 1 , 1( kjiugrad 在在)0 ,21 ,23(0 P處梯度為處梯度為零零向量向量. . 第11頁/共13頁1、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）