線性代數(shù)齊次線性方程組PPT課件

1、,Ansija系數(shù)矩陣02211nnxxx1. 齊次線性方程組(4.2)有非零解的充要條件或向量形式01212111nnxaxaxa02222121nnxaxaxa)2 . 4(. 02211nsnssxaxaxa, 0)2 . 4(AX又可表示為.A21n其中第1頁/共26頁;,)2(21線性相關(guān)n定理8 以下命題等價(jià)(即互為充要條件):(1) AX=0(4.2) 有非零解;,)3(21nn秩(4) 秩 An.推論：齊次線性方程組 (4.2) 只有零解 r An證明 由矩陣、向量的運(yùn)算、于是, 以上4個(gè)命題相互等價(jià).(2)-3)-(4)-(3)-(2)-(1)線性相關(guān)定義,得(1)推(2),

2、第2頁/共26頁2. 齊次線性方程組解的性質(zhì)（可推廣至有限多個(gè)解）(解向量的和,數(shù)乘仍是 解)性質(zhì)1,)2 . 4(0,21的解的解是是若若 AXXX.)2 . 4(02211的解的解是是則則 AXXkXkx 證明 由題設(shè)知 , 0, 021 AXAX)(2211XkXkAAx 則則2211AXkAXk , 0.02211的解的解是是故故 AXXkXkx第3頁/共26頁的解。的解。也是(4.2)也是(4.2)的任意線性組合的任意線性組合2)的解2)的解齊次線性方程組(4.齊次線性方程組(4. 推論推論tttXkXkXkXXX 221121,齊次線性方程組的解的集合齊次線性方程組的解的集合V稱為

3、齊次線方稱為齊次線方程組的解空間程組的解空間(space of solution)。 第4頁/共26頁3. 基礎(chǔ)解系(1) 向量組線性無關(guān) ;(2) (3) AX=0 的任一解都可以由線性表示。則稱向量組(I)是齊次線性方程組0AX 的一個(gè)基礎(chǔ)解系。定義12 設(shè)A是一個(gè)sn矩陣,)(,21IXXXt 如果:都是AX=0的解；)(,21IXXXt中的每個(gè)向量中的每個(gè)向量tXXX,21第5頁/共26頁 ,是任意常數(shù)。是任意常數(shù)。其中其中為(4.2)的通解。為(4.2)的通解。稱稱間)就是間)就是解空解空(4.2)的解集合(4.2)的解集合(4.2)的解，所以(4.2)的解，所以任意線性組合是任意線

4、性組合是性組合，又基礎(chǔ)解系的性組合，又基礎(chǔ)解系的是基礎(chǔ)解系的一個(gè)線是基礎(chǔ)解系的一個(gè)線則(4.2)的任意解則(4.2)的任意解礎(chǔ)解系，礎(chǔ)解系，是(4.2)的一個(gè)基是(4.2)的一個(gè)基若若tttttttkkkXkXkXkPkkkXkXkXkSXXX21221121221121 第6頁/共26頁0。0。= =問題的同解方程組BX問題的同解方程組BX得到得到，初等行變換化簡：初等行變換化簡：施行施行解：(1)對(duì)系數(shù)矩陣解：(1)對(duì)系數(shù)矩陣的一個(gè)基礎(chǔ)解系。的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 求齊次線性方程組求齊次線性方程組 例1例1BAAxxxxxxxxxxxxx 2010051010201001201003111010

5、150182120311101223108220302231233225432543254321)()()()(第7頁/共26頁 。，得解，得解又令又令；，得解，得解令令， 得得。將方程組移項(xiàng)，。將方程組移項(xiàng)，任意值，都能解出任意值，都能解出的的1、2、3、列，故對(duì)1、2、3、列，故對(duì)行的非零首元分別位于行的非零首元分別位于。B的1、2、3。B的1、2、3為零，為零，階梯形矩陣B有三行不階梯形矩陣B有三行不TTBXxxXxxxxxxxxxxxxxxxr102520100101101252032541545545432132154 ,第8頁/共26頁 。即即，的解，得的解，得0 0= =是BX是

6、BX則則0的任意解，0的任意解，= =是BX是BX(3)設(shè)(3)設(shè)性無關(guān)。性無關(guān)。線線所得的向量，故所得的向量，故前面位置添加3個(gè)分量前面位置添加3個(gè)分量的的是分別在是分別在線性無關(guān)，線性無關(guān)，(2)(2)221122113213212211213212121000010011001XkXkXXkXkXddddddXkXkXkkcccXXXXX ,第9頁/共26頁證明分幾步: 1. 用初等行變換將系數(shù)陣A化為階梯形矩陣; 個(gè)解。3. 證明這nr 個(gè)解線性無關(guān);4. 證明任一解都可由這nr 個(gè)解線性表示.(1) 基礎(chǔ)解系不是唯一的。(2) 當(dāng)()r An 時(shí)，解集合(解空間)是 0.2. 以某種

7、方法找 個(gè)解;nr 定理9 假設(shè)A是一個(gè),矩陣ns,rrankAn如果如果則齊次線性方程組AX=0 存在基礎(chǔ)解系, 且基礎(chǔ)解系注：第10頁/共26頁 ，元為元為設(shè)B的第i行的非零首設(shè)B的第i行的非零首不失一般性，不失一般性，B的前r行不為零。，B的前r行不為零。矩陣B，則矩陣B，則變換化為階梯形變換化為階梯形設(shè)A經(jīng)過一系列初等行設(shè)A經(jīng)過一系列初等行: :證明證明 0000000000000), 2 , 1(1,21,222211, 111211rnrrrrnrrnrrijBbbbbbbbbbbbbBAribrr第11頁/共26頁，系數(shù)行列式系數(shù)行列式移項(xiàng)得線性方程組移項(xiàng)得線性方程組0的等式，0

8、的等式，= =0，去掉00，去掉0= =代入BX代入BX一組值一組值(稱為自由未知量)的(稱為自由未知量)的將未知量將未知量0)6 . 4.(.000)0 , 0 , 1(,22111,1,21, 1212221121121 rrrrrrrrrrrnrrbbbDbbbxxxbbbbbbxxx第12頁/共26頁;),(;),(),(,),(,),(,TrnrrnrnrnTrnrrTrcccXcccXxxxcccX1000101000100012122212221121111 解解0，求出(4.2)的0，求出(4.2)的= =代入BX代入BX的值的值同理，分別將同理，分別將。的一個(gè)解的一個(gè)解得(4

9、.2)得(4.2)(4.6)有唯一解，(4.6)有唯一解，由Gramer法則，由Gramer法則，第13頁/共26頁線性無關(guān)。線性無關(guān)。故故，有有 其中其中，即，即(2)考慮(2)考慮0的解；0的解；= =是AX是AX (1)(1)rnrnrnjijjiTTrnrrnrnrnXXXkkkrirnjcklkkklllXkXkXkXXX ,),;,( ,),(),(,2121121212211210002121000000第14頁/共26頁r個(gè)解向量。r個(gè)解向量。- -含n含n0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，= =是AX是AX綜上，綜上，或或全為零。于是全為零。于是 系數(shù)行列式不為零，系數(shù)行列

10、式不為零，0，得0，得= =入BX入BX是齊次方程組的解，代是齊次方程組的解，代 的任意解，則的任意解，則是方程組是方程組(3)設(shè)(3)設(shè)rnrnrnrnrnrrrrrrTrrnrnTrnrXXXXkXkXkXXkXkXkXddddddbbbbbbdddXkXkXkXkkkcccX ,),(),(212211221121212221121121221121210000000000第15頁/共26頁一個(gè)基礎(chǔ)解系。一個(gè)基礎(chǔ)解系。它的它的r個(gè)線性無關(guān)的解都是r個(gè)線性無關(guān)的解都是- -意n意n(3)(4.2)的任(3)(4.2)的任1個(gè)解向量線性相關(guān)；1個(gè)解向量線性相關(guān)；+ +r r- -意n意n(2

11、)(4.2)的任(2)(4.2)的任r個(gè)解向量；r個(gè)解向量；- -個(gè)基礎(chǔ)解系都含有n個(gè)基礎(chǔ)解系都含有n(1)(4.2)的每(1)(4.2)的每，則，則矩陣，若矩陣，若矩陣A是矩陣A是0(4.2)的系數(shù)0(4.2)的系數(shù)= =設(shè)齊次線性方程組AX設(shè)齊次線性方程組AX 推論推論nrrnsA 定義定義：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系又稱為解空間：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系又稱為解空間的基。的基。 第16頁/共26頁0的基礎(chǔ)解系。0的基礎(chǔ)解系。= =AXAX出，(III)是出，(III)是可由(III)線性表可由(III)線性表相關(guān)。因而相關(guān)。因而線性線性0的任一解，0的任一解，= =是AX是AX 的解，的解

12、，0的線性無關(guān)0的線性無關(guān)= =是AX是AX若若(3)(3)，故線性相關(guān)。，故線性相關(guān)。向量的(I)線性表出向量的(I)線性表出r個(gè)r個(gè)- -1個(gè)解可由含n1個(gè)解可由含n+ +r r- -0的任意n0的任意n= =AXAX(2)(2)r;r;- -n n= =數(shù)相同，故t數(shù)相同，故t線性無關(guān)，所含向量個(gè)線性無關(guān)，所含向量個(gè)與(II)都與(II)都(II)等價(jià)，(I)(II)等價(jià)，(I)基礎(chǔ)解系，則(I)與基礎(chǔ)解系，則(I)與個(gè)個(gè)是(4.2)的任意一是(4.2)的任意一設(shè)設(shè)(1)(1)解系。解系。礎(chǔ)礎(chǔ)是(4.2)的一個(gè)基是(4.2)的一個(gè)基 證明：證明： ,)(,)(,)(,rnrntrnIII

13、IIIXXX 21212121第17頁/共26頁解。解。的的0 02x2x4x4x7x7x2x2x4x4x0 02x2x3x3x2x2x2x2x0 04x4x2x2xx x2x2xx x求齊次線性方程組求齊次線性方程組 例2例25 54 43 32 21 15 53 32 21 15 54 43 32 21 1通通 第18頁/共26頁BA 00000641202220118123606412042121247242032242121121323314212)()()()()()()()(并作初等變換化簡并作初等變換化簡解：寫出系數(shù)矩陣A，解：寫出系數(shù)矩陣A，第19頁/共26頁為任意常數(shù)。為任意

14、常數(shù)。其中其中，原方程組的通解為原方程組的通解為0，的基礎(chǔ)解系：0，的基礎(chǔ)解系：= =X X(0,0,1)代入B(0,0,1)代入B(0,1,0),(0,1,0),),),的3組值(2,0,0的3組值(2,0,0分別將分別將3個(gè)向量。3個(gè)向量。= =2 2- -，基礎(chǔ)解系含5，基礎(chǔ)解系含53213322113215431003201022002142kkkXkXkXkXXXxxxrrTTTBA,),(,) ,(,) ,(, 第20頁/共26頁。線性方程組的解的問題線性方程組的解的問題將問題轉(zhuǎn)化為齊次將問題轉(zhuǎn)化為齊次所含向量的個(gè)數(shù)，故可所含向量的個(gè)數(shù)，故可0的基礎(chǔ)解系0的基礎(chǔ)解系= =是齊次線性

15、方程組AX是齊次線性方程組AX 分析：分析：。或或試證：試證：0。0。= =矩陣，AB矩陣，AB矩陣，B為矩陣，B為設(shè)A為設(shè)A為 例3例3)(nrrrnrmnnsBAAB 第21頁/共26頁的解向量。的解向量。0 0= =組的AX組的AX(I)是齊次線性方程(I)是齊次線性方程即即?；蚧蛴煞謮K矩陣乘法，由分塊矩陣乘法，塊矩陣分別為塊矩陣分別為0右端的零矩陣的列分0右端的零矩陣的列分= =證明：設(shè)矩陣B與AB證明：設(shè)矩陣B與ABmjmmmmjAAAAAB ,),(),(),(),(),(),(),(212121212100000000000 第22頁/共26頁。綜上，綜上，。= =，秩(II)，

16、秩(II)= =B的列秩B的列秩= =而秩(I)而秩(I)論2)。論2)。秩(II)(第3節(jié)推秩(II)(第3節(jié)推 表出，秩(I)表出，秩(I)I)可由(II)線性I)可由(II)線性的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則(的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則(0 0= =是AX是AX若若; ;0只有零解，0只有零解，= =，則AX，則AX若若ABABrnAABArnrrnrIIXXXnrrrnrBnr )(,0, 021第23頁/共26頁821203111012231試求齊次線性方程組201003111012231A51010 20100例 設(shè)A=201001 秩A=3 ,基礎(chǔ)解系含 53=2個(gè)向量,解出解出的一組值的一組值取取),0 , 1(,54xx; 1, 1, 012