浙江專用高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程3.33.3.3點(diǎn)到直線的距離3.3.4兩條平行直線間的距

1、 1 3.3.33.3.3 點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離 3.3.4 兩條平行直線間的距離 目標(biāo)定位 1.掌握點(diǎn)到直線的距離公式，會用公式解決有關(guān)問題.2.掌握兩平行線之間的距離公式，并會求兩平行線之間的距離. 自 主 預(yù) 習(xí) 1.點(diǎn)到直線的距離 (1)概念：過一點(diǎn)向直線作垂線，則該點(diǎn)與垂足之間的距離，就是該點(diǎn)到直線的距離. (2)公式：點(diǎn)p(x0，y0)到直線l：axbyc0 的距離d|ax0by0c|a2b2. 2.兩平行直線間的距離 (1)概念：夾在兩條平行直線間的公垂線段的長度就是兩條平行直線間的距離. (2)公式：兩條平行直線l1：axbyc10 與l2：axbyc20 之間的距離

2、d|c1c2|a2b2. 即 時 自 測 1.判斷題 (1)點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外一點(diǎn)的連線的最短距離.() (2)點(diǎn)p(x0，y0)到x軸的距離dy0；到y(tǒng)軸的距離dx0.() (3)兩平行線間的距離是一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離.() (4)運(yùn)用兩平行線間的距離公式時， 要求的l1與l2兩直線中x，y的系數(shù)必須分別對應(yīng)相等.() 提示 (2)點(diǎn)p(x0，y0)到x軸的距離d|y0|；到y(tǒng)軸的距離d|x0|. 2.點(diǎn)(1，1)到直線xy10 的距離是( ) a.322 b.22 c.32 d.12 解析 d|111|12（1）2322. 答案 a 3.兩條平行直線xy20

3、與xy30 的距離等于( ) a.522 b.22 c.52 d.2 解析 d|2（3）|1212522.故選 a. 答案 a 2 4.點(diǎn)p(m，1)到直線l：2xy10 的距離d1，則實(shí)數(shù)m的值等于_. 解析 由已知|2m11|22121，即|m|52，m52. 答案 52 類型一 點(diǎn)到直線的距離 【例 1】 求點(diǎn)p(3，2)到下列直線的距離： (1)y34x14； (2)y6； (3)x4. 解 (1) 把 方 程y34x14寫 成 3x 4y 1 0 ， 由 點(diǎn)到 直 線 的 距 離 公式得d|334（2）1|32（4）2185. (2)法一 把方程y6寫成0 xy60， 由點(diǎn)到直線的距

4、離公式得d|03（2）6|02128. 法二 因?yàn)橹本€y6 平行于x軸， 所以d|6(2)|8. (3)因?yàn)橹本€x4 平行于y軸， 所以d|43|1. 規(guī)律方法 1.求點(diǎn)到直線的距離，首先要把直線化成一般式方程，然后再套用點(diǎn)到直線的距離公式. 2.當(dāng)點(diǎn)與直線有特殊位置關(guān)系時，也可以用公式求解，但是這樣會把問題變復(fù)雜了，要注意數(shù)形結(jié)合. 3.幾種特殊情況的點(diǎn)到直線的距離： (1)點(diǎn)p0(x0，y0)到直線ya的距離d|y0a|； (2)點(diǎn)p0(x0，y0)到直線xb的距離d|x0b|. 【訓(xùn)練 1】 若點(diǎn)(a，2)到直線l：yx3 的距離是 1，則 a_. 解析 直線l：yx3 可變形為xy30

5、. 由點(diǎn)(a，2)到直線l的距離為 1，得|a23|1（1）21，解得a52. 3 答案 52 類型二 兩平行線間的距離 【例 2】 求兩平行線l1：2xy10 與l2：4x2y30 之間的距離. 解 法一 在直線l1：2xy10 上任取一點(diǎn)，不妨取點(diǎn)p(0，1)， 則點(diǎn)p到直線l2：4x2y30 的距離為 d|40（2）（1）3|42（2）252.l1與l2間的距離為52. 法二 將直線l2的方程化為：2xy320. 又l1的方程為：2xy10，c11，c232， 又a2，b1， 由兩平行直線間的距離公式得：d13222（1）252. 規(guī)律方法 1.針對這個類型的題目一般有兩種思路： (1)

6、利用“化歸”思想將兩平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離. (2)利用兩條平行直線間距離公式d|c1c2|a2b2. 2.當(dāng)兩直線都與x軸(或y軸)垂直時，可利用數(shù)形結(jié)合來解決. (1)兩直線都與x軸垂直時，l1：xx1，l2：xx2， 則d|x2x1|； (2)兩直線都與y軸垂直時，l1：yy1，l2：yy2， 則d|y2y1|. 【訓(xùn)練 2】 求與直線l：5x12y60 平行且與直線l距離為 3 的直線方程. 解 與l平行的直線方程為 5x12yb0， 根據(jù)兩平行直線間的距離公式得|b6|52（12）23， 解得b45 或b33. 所求直線方程為：5x12y45

7、0 或 5x12y330. 類型三 距離公式的綜合應(yīng)用(互動探究) 【例 3】 已知直線l經(jīng)過直線 2xy50 與x2y0 的交點(diǎn). (1)若點(diǎn)a(5，0)到l的距離為 3，求l的方程； (2)求點(diǎn)a(5，0)到l的距離的最大值. 4 思路探究 探究點(diǎn)一 經(jīng)過一已知點(diǎn)且到另一已知點(diǎn)的距離為定值的直線有幾條？求直線方程時需注意什么？ 提示 有且僅有兩條， 在解決直線方程的問題時， 要注意直線斜率是否存在， 以免漏解或錯解. 探究點(diǎn)二 如何求幾何最值問題？ 提示 幾何最值問題的求法有兩種： (1)利用解析幾何知識，可設(shè)一個函數(shù)，然后用函數(shù)求最值的方法求解. (2)利用幾何定理，如兩點(diǎn)之間線段最短，

8、三角形兩邊之和大于第三邊等，找出最值. 解 法一 聯(lián)立2xy50，x2y0得交點(diǎn)p(2，1)， 當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)l的方程為y1k(x2)，即kxy12k0， |5k12k|k213，解得k43，l的方程為y143(x2)，即 4x3y50. 而直線斜率不存在時直線x2 也符合題意， 故所求l的方程為 4x3y50 或x2. 法二 經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2xy5)(x2y)0， 即(2)x(12)y50，|5（2）5|（2）2（12）23， 即 22520，解得2 或12， l的方程為 4x3y50 或x2. (2)由2xy50，x2y0，解得交點(diǎn)p(2，1)， 過p任意作直線l

9、，設(shè)d為a到l的距離， 則d|pa|(當(dāng)lpa時等號成立)，dmax|pa| 10. 規(guī)律方法 1.經(jīng)過一已知點(diǎn)且到另一已知點(diǎn)的距離為定值的直線有且僅有兩條.一定要注意直線斜率是否存在. 2.數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動變化的思想方法在解題中經(jīng)常用到.當(dāng)圖形中的元素運(yùn)動變化時我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進(jìn)而可求出這些量的變化范圍. 【訓(xùn)練 3】 兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)a(6，2)和b(3，1)，如果兩條平行直線間的距離為d，求： (1)d的變化范圍； (2)當(dāng)d取最大值時，兩條直線的方程. 解 (1)如圖，當(dāng)兩條平行直線與ab垂直時，兩平行直線間的距離最大，為d|ab|（63）2（21）2310，

10、當(dāng)兩條平行線各自繞點(diǎn)b，a逆時針旋轉(zhuǎn)時，距離逐漸變小， 5 越來越接近于 0，所以 07 b.a7 或a7 或3a3，解得a7 或a3. 答案 c 3.已知兩點(diǎn)a(3，2)和b(1，4)到直線mxy30 的距離相等，則m等于( ) a.0 或12 b.12或6 c.12或12 d.0 或12 解析 由題意知直線mxy30 與ab平行或過線段ab的中點(diǎn)， 則有m4213或m31224230，所以m12或m6. 答案 b 4.傾斜角為 60，且與原點(diǎn)的距離是 5 的直線方程為_. 解析 因?yàn)橹本€斜率為 tan 603，可設(shè)直線方程為y3xb，化為一般式得3xyb0.由直線與原點(diǎn)距離為 5，得|00

11、b|（3）2（1）25|b|10.所以b10.所以直線方程為3xy100 或3xy100. 答案 3xy100 或3xy100 5.若點(diǎn)p在直線xy40 上，o為原點(diǎn)，則|op|的最小值是_. 解析 |op|的最小值，即為點(diǎn)o到直線xy40 的距離.d|004|121222. 答案 22 6.直線l過原點(diǎn)，且點(diǎn)(2，1)到l的距離為 1，求l的方程. 解 由題意可知，直線l的斜率一定存在. 又直線l過原點(diǎn)，設(shè)其方程為ykx，即kxy0. 由點(diǎn)(2，1)到l的距離為 1，得|2k1|k211. 解得k0 或k43. 直線l的方程為y0 或 4x3y0. 7.求直線 3xy40 關(guān)于點(diǎn)p(2，1)

12、對稱的直線l的方程. 解 法一 設(shè)直線l上任一點(diǎn)為m(x，y)，則此點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)p(2，1)的對稱點(diǎn)為m1(4x，2y)，且m1在直線 3xy40 上，所以 3(4x)(2y)40，即 3xy100，所以所求直線l的方程為 3xy100. 8 法二 在直線 3xy40 上任取兩點(diǎn)a(0，4)，b(1，1)，則點(diǎn)a(0，4)關(guān)于點(diǎn)p(2，1)的對稱點(diǎn)為a1(4，2)，點(diǎn)b(1，1)關(guān)于點(diǎn)p(2，1)對稱點(diǎn)為b1(3，1)，由兩點(diǎn)式方程，可得直線l的方程為 3xy100. 法三 直線l與已知直線平行，可設(shè)l的方程為 3xym0，點(diǎn)p(2，1)到直線 3xy40 的距離d310，由于點(diǎn)p(2，1)到兩直

13、線距離相等， 所以|7m|10310，解得m10 或m4(舍去)， 所以直線l的方程為 3xy100. 能 力 提 升 8.已知直線l過點(diǎn)p(3，4)且與點(diǎn)a(2，2)，b(4，2)等距離，則直線l的方程為( ) a.2x3y180 b.2xy20 c.3x2y180 或x2y20 d.2x3y180 或 2xy20 解析 設(shè)所求直線方程為y4k(x3)，即kxy43k0，由已知， 得|2k243k|1k2|4k243k|1k2，k2 或k23. 所求直線l的方程為 2xy20 或 2x3y180. 答案 d 9.兩平行線分別經(jīng)過點(diǎn)a(5，0)，b(0，12)，它們之間的距離d滿足的條件是(

14、) a.0d5 b.0d13 c.0d12 d.5d12 解析 當(dāng)兩平行線與ab垂直時，兩平行線間的距離最大，為|ab|13，所以 0d13. 答案 b 10.若直線的被兩平行線l1：xy10 與l2：xy30 所截得的線段的長為 2 2，則m的傾斜角可以是15， 30， 45， 60， 75， 其中正確答案的序號是_.(寫出所有正確答案的序號) 解析 兩平行線間的距離為d|31|112，由圖知直線m與l1的夾角為 30，l1的傾斜角為 45，所以直線m的傾斜角等于 304575或 453015. 答案 11.已知點(diǎn)p(a，b)在線段ab上運(yùn)動，其中a(1，0)，b(0，1).試求(a2)2(

15、b2)2的取值范圍. 解 由(a2)2(b2)2聯(lián)想兩點(diǎn)間距離公式，設(shè)q(2，2)，又p(a，b)則|pq|（a2）2（b2）2，于是問題轉(zhuǎn)化為|pq|的最大、最小值. 如圖所示：當(dāng)p與a或b重合時，|pq|取得最大值： 9 （21）2（20）213. 當(dāng)pqab時，|pq|取得最小值，此時|pq|為q點(diǎn)到直線ab的距離，由a、b兩點(diǎn)坐標(biāo)可得直線ab的方程為xy10. 則q點(diǎn)到直線ab的距離d|2（2）1|121252522， 252(a2)2(b2)213. 探 究 創(chuàng) 新 12.已知直線l：3xy10 及點(diǎn)a(4，1)，b(0，4)，c(2，0). (1)試在l上求一點(diǎn)p，使|ap|cp|最??； (2)試在l上求一點(diǎn)q，使