浙江專用高中數(shù)學(xué)第一章空間幾何體1.31.3.2球的體積和表面積學(xué)案新人教A版必修2201

1、11.3.21.3.2球的體積和表面積球的體積和表面積目標(biāo)定位1.記準球的表面積和體積公式，會計算球的表面積和體積.2.能解決與球有關(guān)的組合體的計算問題.自 主 預(yù) 習(xí)球的體積公式與表面積公式(1)球的體積公式v43r3(其中r為球的半徑)(2)球的表面積公式s4r2即 時 自 測1.判斷題(1)球的半徑為r，那么它的體積v43r3.()(2)半徑為 3 的球的體積是 36.()(3)球的半徑為r，那么它的表面積s4r2.()(4)半徑為 2的球的表面積等于 2.()提示(4)s球4( 2)28.2.兩個球的半徑之比為 13，那么兩個球的表面積之比為()a.19b.127c.13d.11解析由

2、表面積公式知，兩球的表面積之比為r21r2219.答案a3.球的體積是323，則此球的表面積是()a.12b.16c.163d.643解析設(shè)球的半徑為r，則v43r3323，r2，表面積s4r216.答案b4.兩個半徑為 1 的實心鐵球，熔化成一個球，這個大球的半徑是_.解析設(shè)大球的半徑為r，則有43r324313，r32，r32.答案3223類型一球的表面積和體積【例 1】 (1)已知球的表面積為 64，求它的體積.(2)已知球的體積為5003，求它的表面積.解(1)設(shè)球的半徑為r， 則 4r264， 解得r4， 所以球的體積v43r343 (4)32563.(2)設(shè)球的半徑為r，則43r3

3、5003，解得r5，所以球的表面積s4r2452100.規(guī)律方法1.已知球的半徑，可直接利用公式求它的表面積和體積.2.已知球的表面積和體積，可以利用公式求它的半徑.【訓(xùn)練 1】在封閉的直三棱柱abca1b1c1內(nèi)有一個體積為v的球，若abbc，ab6，bc8，aa13，則v的最大值是()a4b.92c6d.323解析由題意知，底面三角形的內(nèi)切圓直徑為 4.三棱柱的高為 3，所以球的最大直徑為 3，v的最大值為92.答案b類型二球的截面問題(互動探究)【例 2】 平面截球o的球面所得圓的半徑為 1.球心o到平面的距離為 2，則此球的體積為()a. 6b.4 3c.4 6d.6 3思路探究探究點

4、一用一個平面去截球，截面是什么？提示圓面.探究點二有關(guān)球的截面問題的解題策略如何？提示有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決，計算時，需要注意球心與截面圓心之間的距離，截面圓的半徑及球的半徑滿足勾股定理.解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為o，4m為截面圓上任一點，則oo 2，om1.om （ 2）21 3.即球的半徑為 3.v43( 3)34 3.答案b規(guī)律方法有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決.【訓(xùn)練 2】 已知半徑為 5 的球的兩個平行截面圓的周長分別為 6和 8，則這兩個截面間的距離為_.解析若兩個平行截面在球心同側(cè)，如

5、圖(1)，則兩個截面間的距離為 5232 52421；若兩個平行截面在球心異側(cè)，如圖(2)，則兩個截面間的距離為 5232 52427.答案1 或 7類型三球的組合體與三視圖【例 3】 某個幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的表面積和體積.解由三視圖可知該幾何體的下部是棱長為 2 的正方體，上部是半徑為 1 的半球，該幾何體的表面積為s124126221224.該幾何體的體積為：v23124313823.規(guī)律方法1.由三視圖求球與其他幾何體的簡單組合體的表面積和體積， 關(guān)鍵要弄清組合體的結(jié)構(gòu)特征和三視圖中數(shù)據(jù)的含義.2.求解表面積和體積時要避免重疊和交叉.5【訓(xùn)練 3】 已知某一多面體內(nèi)接于球

6、構(gòu)成一個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為 2 的正方形，則該球的表面積是_.解析由三視圖知組合體為球內(nèi)接正方體，正方體的棱長為 2，若球半徑為r，則 2r2 3，r 3.s球表4r24312.答案12課堂小結(jié)1.球的表面積、 體積公式是解決問題的重要依據(jù)， 在球的軸截面圖形中， 球半徑、 截面圓半徑、球心到截面的距離所構(gòu)成的直角三角形，其量值關(guān)系是解決問題的主要方法.2.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.1.直徑為 6 的球的表面積和體積分別是

7、()a.36，144b.36，36c.144，36d.144，144解析球的半徑為 3，表面積s43236，體積v433336.答案b2.若將氣球的半徑擴大到原來的 2 倍，則它的體積增大到原來的()a.2 倍b.4 倍c.8 倍d.16 倍解析設(shè)氣球原來的半徑為r，體積為v，則v43r3，當(dāng)氣球的半徑擴大到原來的 2 倍后，其體積變?yōu)樵瓉淼?238 倍.答案c3. 體積為 8 的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為()a12b.323c8d4解析由題可知正方體的棱長為 2，其體對角線 23即為球的直徑，所以球的表面積為 4r2(2r)212，故選 a.答案a4.在半徑為r的球面上有

8、a，b，c三點，且abbcca3，球心到abc所在截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積.6解依題意知，abc是正三角形，abc的外接圓半徑r333 3.由r2r22( 3)2，得r2.所以球的表面積s4r216.基 礎(chǔ) 過 關(guān)1.一個正方體的八個頂點都在半徑為 1 的球面上，則正方體的表面積為()a.8b.8 2c.8 3d.4 2解析球的半徑為 1，且正方體內(nèi)接于球，球的直徑即為正方體的對角線，即正方體的對角線長為 2.不妨設(shè)正方體的棱長為a，則有3a24，即a243.正方體的表面積為 6a26438.答案a2.把 3 個半徑為r的鐵球熔成一個底面半徑為r的圓柱，則圓柱的高為()a.rb.

9、2rc.3rd.4r解析設(shè)圓柱的高為h，則r2h343r3，h4r.答案d3.若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r，r，則球的表面積為()a.4(rr)2b.4r2r2c.4rrd.(rr)2解析法一如圖，設(shè)球的半徑為r1，則在 rtcde中，de2r1，cerr，dcrr.由勾股定理得 4r21(rr)2(rr)2，解得r1rr.故球的表面積為s球4r214rr.法二如圖，設(shè)球心為o，球的半徑為r1，連接oa，ob，則在 rtaob中，of是斜邊ab上的高.由相似三角形的性質(zhì)得of2bfafrr，即r21rr，故r1rr，故球的表面積為s球4rr.答案c74.一個球的表面積是 144 c

10、m2，則它的體積是_.解析設(shè)球的半徑為r，則 4r2144，r6，v43r34363288(cm3).答案288 cm35.某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為_.解析由三視圖可知，該幾何體為一個半徑為 1 的半球，其表面積為半個球面面積與截面圓面積的和，即1243.答案36.盛有水的圓柱形容器的內(nèi)壁底面半徑為 5 cm，兩個直徑為 5 cm 的玻璃小球都浸沒于水中，若取出這兩個小球，則水面將下降多少？解設(shè)取出小球后，容器中水面下降hcm，兩個小球的體積為v球2435231253(cm3)，此體積即等于它們在容器中排開水的體積v52h，所以125352h，所以h53，即若取出這兩個小球，則水

11、面將下降53cm.7.某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r1，l3，試求該組合體的表面積和體積.解該組合體的表面積s4r22rl41221310，該組合體的體積v43r3r2l4313123133.能 力 提 升88.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高 8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為 6 cm，如果不計容器厚度，則球的體積為()a.5003cm3b.8663cm3c.1 3723cm3d.2 0483cm3解析利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解.如圖，作出球的一個截面，則mc862(cm)，bm1

12、2ab1284(cm).設(shè)球的半徑為rcm，則r2om2mb2(r2)242，r5，v球43535003(cm3).答案a9.過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為()a.316b.916c.38d.932解析過球心作球的截面， 如圖所示， 設(shè)球的半徑為r， 截面圓的半徑為r， 則有rr2r2232r，則球的表面積為 4r2，截面的面積為32r234r2，所以截面的面積與球的表面積的比為34r24r2316.9答案a10.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為 8 cm 的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的

13、半徑是_cm.解析設(shè)球的半徑為r，則圓柱形容器的高為 6r，容積為r26r6r3，高度為 8 cm 的水的體積為 8r2，3 個球的體積和為 343r34r3，由題意 6r38r24r3，解得r4(cm).答案411.如圖所示， 半徑為r的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑ab所在直線為軸， 旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積.(其中bac30)解如圖所示，過c作co1ab于o1.在半圓中可得bca90，bac30，ab2r，ac 3r，bcr，co132r，s球4r2，s圓錐ao1 側(cè)32r 3r32r2，s圓錐bo1 側(cè)32rr32r2，10s幾何體表s球s圓錐ao1 側(cè)s圓錐bo1 側(cè)112r232r211 32r2.故旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積為11 32r2.探 究 創(chuàng) 新12.如圖所示，一個圓錐形的空杯子上放著一個直徑為 8 cm 的半球形的冰淇淋，請你設(shè)計一種這樣的圓錐形杯子(杯口直徑等于半球形的冰淇淋的直徑，杯子壁厚忽略不計)，使冰淇淋融化后