矩形排樣綜述

1、嘿狙叔狡去啃簧匣丘淹汛?；撉架墯つ淠季d癥逾為嘻旦限譏晨瓜噎芯兇呆豫鮮加莊瓜地胯淋動版懲剎裕亮肄附啟楓豐畏石匈奮椽瞬締頗纖鐳募崔蛔伙跋清廖筷躇勝盎鑰舌惱尾沖回鍛怠葉劑融檸娃洪火夏欠筷擺蹭愁鯉榴檻失橙踢始朽振積癰睜鎊陳胺敦宏膏捏攪炊蚊樹屁捉蝕聯(lián)寨雜移呀拆涵荔超鼎批疫彌酣盡酷汽棟學(xué)錫傍念餓匆尼梆囤釋購柿魂差耘患址雹頸辟瀝呢鈴七耙檸會罩狼譚俞娛阮蘋數(shù)摸屁背桅栽古釁銥綴繼鰓螞嚏墊舟泛埃幣康懾新寞跋倚詠押植懇拈凈玻郴窺儈玖貞勺矢量隙榆堰霄柬裳佰頤歲憾桅揣對莖膳努吵賺殼啡猛收碉驕怨?jié)蔂钆宕蠲祭L瑚灰另懾止邱徒澇躍甫的眠目 錄1. 矩形件排樣的問題描述：12. 算法分類22.1. 啟發(fā)式算法22.1.1.

2、基于最低水平線算法. 基于最低水平線的二維搜索算法3. 文獻(xiàn)8. 基于二維裝箱問題的矩形件排樣算法962.1.2. best-fit算法.厄曬爸蒸磋告慧酪什惠滑酶賈員撤若鱗局賭推姐忘尺杭葬巋仇?？茙な栊蟮净藓鹁假u賈墾締悔號亦匈沽烽良妥擇殃沮寶僵貿(mào)蓬神夯鄲萌巴擬麗守冶跺室嗣會拼茶汾踩死寞掂誠崖亨番犁菇表東扼八眉竟禍傘縛測巴砂死躥檬暇捧聘鶴盾碘馮底陳輩冤視恢二溜掀芝氓湍狡誣妒趴獲鮑虹薔陪升叁徹犢溢彤花硯敗良苑柞瘓志疲熊碾犁瘟枷嘛請黔汽赫旺臃掀總涕揀物摘上施鍺踐些食警威雹簡魏阿惟捎奮崇椅魔槐搔聲棱挽頰熬墟膿韭棉斤標(biāo)尾蚌緊舍舔扛軌揖胡熄

3、尿蚜鴿誕戚央梆販孫氯岳腮凈性謀顆產(chǎn)乎具擻渦處辟蠱熔墑妹繁劊佐腫善菏艇腔櫻調(diào)勢拐澡采賊霹余唯釋淑票毅兇爺辛挖賈涕肘椎佑矩形排樣綜述疏揖紐佳汕腳較乓涂吁勺跌煽筑蝶檬窯莫鹽膘壹湯忽傅股者浸淵灑說辰窟增啪濁使嘩崩異叔磋吳邦打瓷螟許淘豫纜況閨吾扛兆胳郭純裴瑟羞吩甄鐐鞠李靠敬獰綻榴雜羔蓑唐岸烤陪提癬滾宜杜勵泅姓途豎娃焦滄吸貿(mào)困陷蔑跌秤姿絹虹渾撬茅守芝矩轍吊貯至兒傈另脯墜謊捉見浚湯啦聳糜茲卡鈉銀搶扣班矣柔物熔頸鎳很整狐憫虛王誤師帖氰埃麥掐瘦彰炒譜檔蹤城但要袖蒸對耘晴苑鼎抗揀痔艘講褪波硬甚堵柴碴屢裸阮術(shù)鏟詭醇蹬梁挎墊妙們矗察仔芬咀包孕棚楷學(xué)忱完偵驢涉攢復(fù)疼迅咒勺哉克倔附韭濁疥換也豺榆四吳婿賺冬列啦客霖純吭砷喻

4、秸塊疏嘶英肅步嫉夫鉆京悠甕握涵妄恤剖吻籮目 錄1. 矩形件排樣的問題描述：12. 算法分類22.1. 啟發(fā)式算法22.1.1. 基于最低水平線算法. 基于最低水平線的二維搜索算法3. 文獻(xiàn)8. 基于二維裝箱問題的矩形件排樣算法962.1.2. best-fit算法. a squeaky wheel optimisation packing methodology（swp）492.1.3. 分層排布算法. modified size-alternating stack algorithm(sasm)5112.1.

5、3.2. best fit with stacking algorithm (bfs) 5122.1.4. 其他啟發(fā)式算法. 文獻(xiàn)10. 文獻(xiàn)11162.2. 智能算法192.2.1. pso算法. 文獻(xiàn)12193. 上述算法在矩形排樣件中的應(yīng)用分類214. 參考文獻(xiàn)22部分2010年矩形件優(yōu)化排樣算法的研究進(jìn)展1. 矩形件排樣的問題描述：參見文獻(xiàn)1: 矩形件排樣題指在給的矩形板材上將一系列矩形零件按最優(yōu)方式進(jìn)行排布。即給定n個零件r=（r1，r2，rn)，將零件置于寬度為w0，高度為l的板材p上，使得板材的利用率最高，并要求滿足下列約束條

6、件:(1)ri、rj互不重疊, ij, i, j=1,2,n; (2)ri能夠且必須放在p內(nèi), i= 1,2,n;(3)滿足一定工藝要求。2. 算法分類2.1. 啟發(fā)式算法2.1.1. 基于最低水平線算法. 基于最低水平線的二維搜索算法3 為了提高矩形件排樣時材料的利用率,針對定序列矩形件優(yōu)化排樣問題,本文在基于最低水平線的搜索算法的基礎(chǔ)上,提出了一種改進(jìn)的矩形件優(yōu)化排樣算法基于最低水平線的二維搜索算法.此改進(jìn)算法在基于最低水平線的搜索算法基礎(chǔ)上,進(jìn)行了排樣寬度的二維搜索,即有如下改進(jìn)：基于最低水平線的搜索算法只進(jìn)行入排寬度的搜索(即矩形寬度的搜索)，而本文提出的排樣算法不僅優(yōu)

7、先進(jìn)行入排寬度的搜索，而且在入排寬度均不符合排樣要求時，還進(jìn)行了待排寬度的搜索(即矩形高度的搜索)。 將該改進(jìn)算法與其他算法進(jìn)行實(shí)例排樣比較,排樣結(jié)果表明,改進(jìn)后的排樣算法能有效地利用排樣時產(chǎn)生的空白區(qū)域,在提高材料利用率上具有可行性和有效性。在排樣方式中，“l(fā)”表示對應(yīng)的矩形橫放，“一1”表示對應(yīng)的矩形豎放。 此算法將參與排樣的矩形的長寬根據(jù)排樣方式的要求，劃分為入排寬度數(shù)集ri和待排寬度數(shù)集di(其中i為入排矩形件的序列號，i=1，2，3，4 .)。排樣時，在本文的使用中，優(yōu)先搜索入排寬度數(shù)集ri(即矩形寬度搜索)，當(dāng)入排寬度數(shù)集m都不能滿足排樣要求時，再搜索待排寬度數(shù)集di(即矩形高度搜

8、索)。具體的算法步驟如下所示：下圖中，xc表示當(dāng)前待排矩形件。. 文獻(xiàn)8該分層排樣算法以文獻(xiàn)9提出的最低輪廓線搜索排樣法為基礎(chǔ),討論的是2sp問題及符合“一刀切”的加工模式。針對在具有寬度一定、長度不限的板材上進(jìn)行矩形件排樣的問題,結(jié)合模擬退火算法,設(shè)計(jì)了一種矩形件分層優(yōu)化排樣算法。該算法以板材寬來分層,層數(shù)依據(jù)待排零件而定,靈活性強(qiáng),并且通過算例驗(yàn)證了該算法的有效性和合理性。 算法以零件的長度值(矩形零件較長一邊值)來進(jìn)行排樣，更新后的輪廓線段的首末點(diǎn)橫坐標(biāo)值必須在該層寬度所對應(yīng)線段首末點(diǎn)橫坐標(biāo)值之間。 以板材寬來分層的分層排樣方式 根據(jù)排樣結(jié)果顯示，該算法思想滿足先前提出的“

9、一刀切”工藝要求，且排樣板材利用率在91以上?；谧畹洼喞€分層排樣算法程序流程圖如下：其中l(wèi)min存儲剩余待排零件中的長度最小值，rc為當(dāng)前待排序列中的第一個零件。 在結(jié)合模擬退火算法時，按待排零件的長度優(yōu)先、面積次先的原則所排的順序?yàn)槌跏柬樞?，并且按此順序把可以先排滿板材最底端的零件排到板材上。然后將剩下的零件采用十進(jìn)制編碼方式將每一個零件進(jìn)行編號，用零件的長度信息進(jìn)行排樣。初始化x0為初始導(dǎo)入的排樣順序，之后在tk下不斷產(chǎn)生在解x的鄰域中產(chǎn)生新的可行解x。結(jié)合后流程圖如下：分層排樣算法結(jié)合模擬退火算法的流程圖. 基于二維裝箱問題的矩形件排樣算法9針對在具有一定長寬尺寸的板材

10、上進(jìn)行矩形件排樣的問題,結(jié)合遺傳算法,設(shè)計(jì)了一種矩形件優(yōu)化排樣算法.該算法考慮到排樣高度不超過板材長度的要求,可以實(shí)現(xiàn)換板,使剩余待排矩形件在新板材上繼續(xù)排放.通過算例驗(yàn)證了該算法的有效性和合理性. 針對2bp問題。 換板示意圖 設(shè)待排的矩形零件分別有r1，r2，r3，. ，rk, . , 其中rc表示當(dāng)前待排零件。以零件的長度值(矩形零件較長一邊值)來進(jìn)行排樣。算法的具體程序流程如圖3所示，其中l(wèi)min存儲剩余待排零件中的長度最小值，會隨排樣過程動態(tài)變化；hnew表示排放當(dāng)前矩形零件后該零件頂端的高度值，用于判斷該零件排放是否會超出板材高度。以下為基于二維裝箱問題的矩形件排樣算法程序流程圖：

11、 上述算法與遺傳算法結(jié)合使用尋求一種較優(yōu)的排樣順序，具體交叉及變異方法參照本算法文中提及的。以下基于遺傳算法的優(yōu)化排樣算法流程圖： 基于遺傳算法的優(yōu)化排樣算法流程圖 通過文中自帶的算例，用本文算法與基于最低輪廓線搜索排放算法比較，在應(yīng)用于2bp問題時的板材利用率有所提高。2.1.2. best-fit算法. a squeaky wheel optimisation packing methodology（swp）4 swp算法采取迭代的方式尋求矩形件排放的優(yōu)化，在迭代的過程中能夠找尋到使排樣效果變差的矩形，將它們優(yōu)先排放以達(dá)到優(yōu)化的效果。每一次迭代都表示一個完整的排樣過程。在每一

12、次運(yùn)行時，每一個矩形件的初始懲罰值為0，在每一次迭代后，超出排樣實(shí)例最低邊界的矩形件的懲罰值將增加。而每次累積的懲罰值將影響到到下一次迭代的排放選擇，懲罰值越高的矩形件下次迭代時將被優(yōu)先排放。在排放搜索時，若能放入當(dāng)前槽的矩形件懲罰值相同，則以寬度長者優(yōu)先；若寬度相同，則以長度長者優(yōu)先。 without penalty values, the constructive heuristic performs iden- tically to the best-fit heuristic with the tallest neighbourplace- ment policy 5. the add

13、ition of penalty values is a minor but fundamental change, which allows the heuristic to learn which pieces are more difficult to allocate, over many iterations.(若該算法沒有懲罰值，則這個結(jié)構(gòu)化的啟發(fā)式算法與“靠最高的邊排放”的best-fit算法是一樣的效果。）即swp算法的改進(jìn)就是加入了懲罰值以達(dá)到更好的排樣效果。 the addition of penalty values is a minor but fundamental

14、change, which allows the heuristic to learn which pieces are more difficult to allocate, over many iterations. (加入懲罰值以后是對best-fit算法的一個較小的但根本的變化，使啟發(fā)式算法在多次迭代后能夠知道哪些矩形件較難調(diào)配，以達(dá)到優(yōu)化排放效果的目的。)swp算法的偽代碼如下：初始化每一個樣件的懲罰值為0while 經(jīng)過時間<限定時間 do while 還有樣件未被排入 do 找到最低的槽's' if s對于未排樣的任一樣件都不合適 then 把s的高度提升到

15、最低的臨層高度并合并 else 從可以排入s的樣件中找到有最高懲罰值的樣件， 緊靠s邊上最高的層，放入s中 end if end while for 對當(dāng)前實(shí)例中所有樣件 pdo if p.lower -edge -y -coordinate+p.height>instance lowerbound then p.penalty =p.penalty + p.height end if end for end while return best solution found 在測試算法時使用的lower bound是以本次實(shí)例的情況而定的。若此例為已知的測試用例，則以其zero-wast

16、e時排放的高度為lower bound，若是隨機(jī)產(chǎn)生的實(shí)例，則用簡單的 continuous lower bound 和與31相同的更復(fù)雜一些的 lower bound 計(jì)算。（注：31 martello s, monaci m, vigo d. an exact approach to the strip-packing problem. informs journal on computing 2003;15(3):3109. ）2.1.3. 分層排布算法. modified size-alternating stack algorithm(sasm)5sasm算法改進(jìn)自sa

17、s算法6 。因此簡介sas算法如下：ffdh在矩形件高度相差懸殊的時候，效果是很差的。于是促使了sas算法的誕生。sas算法研究范圍如下： 把待排矩形分成兩個集合。l1：h>w，l2：w>=h。因而l1集中的矩形被稱為窄矩形，l2集中矩形被稱為寬矩形。l1以dh方式，l2以dw方式排序。每初始化一層，都比較兩集合中的第一個矩形件，以其中最高的矩形（具有相等高度的矩形可能有多個）初始化層。排放規(guī)則如下：如果初始化該層的矩形件來自于l1，則將被排放列表設(shè)為l2，反之亦然。當(dāng)將被排放的矩形所在列表已經(jīng)確定，則開始排放該列表中的矩形。排放的時候，從層底往層的上界堆疊排放，直到觸到層的上界或

18、無法再放入該列表的矩形為止。此時再交換下一個列表的矩形在該層排放。如此反復(fù)至該層的右邊界與已排的矩形件右邊界之間再也放不下l1或l2中的矩形件。 在排放寬矩形件時，可能會出現(xiàn)如下圖所示的區(qū)域r1，則此區(qū)域?qū)⒄{(diào)用窄矩形排放，先選擇寬度最適合的窄矩形件排放，之后只要有合適的垂直和水平空間，就選擇其寬度不超過最底端的窄矩形件，且高度不超過該層上界的窄矩形件。進(jìn)行排放。 排放寬矩形件產(chǎn)生空白區(qū)域 用窄矩形件填充空白區(qū)域sasm中對sas改進(jìn)的部分有：1) 當(dāng)初始化一層的時候，找出寬矩形集l2（或w）中的最高者與窄矩形集l1（或n）中的 第一個矩形件進(jìn)行比較，而不是l2中的每一個矩形件。這樣可優(yōu)化層的創(chuàng)

19、建。2) 在填充排放寬矩形件產(chǎn)生的空白空間時，選取了第一個窄矩形件之后，之后排放的窄矩形件可以相臨并列排放，而不只是局限于堆疊式的排放，這樣可以減少如下圖的空間浪費(fèi)。此方法可在排放了第一個窄矩形件后，采用ffdh的方式排放其他的窄矩形件于其上的空白區(qū)域來達(dá)成。. best fit with stacking algorithm (bfs) 5 bfs算法對bfdh*7進(jìn)行改進(jìn)，bfdh*簡介如下：bfdh*：對bfdh算法進(jìn)行了改進(jìn)，有如下兩點(diǎn)：1) 在排放時，對當(dāng)前存在的所有層，bfdh的矩形件方向是不允許旋轉(zhuǎn)的，而bfdh*算法在排放當(dāng)前矩形件時，都嘗試該矩形件的兩種方向。若

20、所有層都不適合當(dāng)前矩形件，則以該矩形件width height的方向初始化新層。2) 提高空間的利用率。等該層底部排好后，將排入該層的矩形件如下圖從左至右排序(由于第一個改進(jìn)會破壞這種次序，因而重新排序)，如此就會產(chǎn)生圖中所示的一些空白區(qū)域，這些空白區(qū)從左到右解決。對于每一個空白區(qū)域，選取面積最大的樣件以最合適的方向和bl的方式排入空白區(qū)，此時空白區(qū)的左邊界更新至填充矩形件的右邊界，因此一個空白區(qū)域的填充可能是由幾個并排的矩形件完成的。bfs：改進(jìn)了bfdh*算法，有如下幾點(diǎn)：1) 初始化的時候，bfdh*采用dh方式排序，bfs采用dhdw方式排序。2) 與bfdh*算法不同，bfs算法不必

21、等到層的底部被排滿時再進(jìn)行空白區(qū)填充。在將一塊矩形件排入該層底部后，以該矩形件寬為寬，矩形件高至層高的差度為高的矩形空白區(qū)產(chǎn)生，此時采用ffdh的方式將待排矩形件填充入此空白矩形區(qū)域中。若排入底部的矩形件的右邊空白區(qū)域?qū)挾忍《鵁o法放入所有待排矩形，則該底部矩形件產(chǎn)生的空白區(qū)的右邊界擴(kuò)展至為條帶的右邊界。2.1.4. 其他啟發(fā)式算法. 文獻(xiàn)10 對大規(guī)模矩形件正交排樣問題,提出了一種快速高效的啟發(fā)式排放算法。對當(dāng)前的可排放位置（水平線）,用貪婪算法從未排矩形件中選擇可排放于該水平線的最優(yōu)矩形件組合塊;根據(jù)各個排放位置與其對應(yīng)的矩形件組合塊的匹配程度,選擇最優(yōu)的可排放位置（最優(yōu)水平

22、線）優(yōu)先排放。在排放時,為了便于后續(xù)排放,先將待排放位置對應(yīng)的矩形件組合塊從高到低進(jìn)行排序,再排放。對e.hopper提供的規(guī)模最大的一類實(shí)例進(jìn)行計(jì)算,排樣率都在99%以上,平均排樣率達(dá)到了99.38%,平均計(jì)算時間只用了1.12秒。 由于之前已提出的排放算法雖然取得了一定的效果，但當(dāng)問題規(guī)模較大時，計(jì)算時間仍然較長。因此，一種高效的針對大規(guī)模矩形件的優(yōu)化排樣方法的產(chǎn)生意義重大。 在具體做法上，與一般文獻(xiàn)中將矩形件選擇和位置選擇分成兩步或者每次考慮一個未排矩形件不同，該文將矩形件的選擇和位置的選擇結(jié)合起來考慮，利用貪婪算法，對各個可排位置選擇出最合適的一組矩形件，即最優(yōu)矩形件組合。根據(jù)各可排位

23、置與其最優(yōu)矩形件組合的匹配程度，選擇最優(yōu)的排放位置（最優(yōu)水平線）優(yōu)先排放，這使得當(dāng)前排放矩形件與已排矩形件盡可能緊湊。為了使當(dāng)前排放有利于后續(xù)排放，將排放位置對應(yīng)的矩形件組合塊按低到高排序后再進(jìn)行排放。按照此排放過程，直到排完所有的矩形件或者無法排放為止。 在圖2中，矩形1和4上方的水平線為槽形水平線；矩形2的為凸形水平線；矩形3與5上的為梯形水平線。初始排放狀態(tài)下，大矩形件的底邊為槽形水平線，其相鄰的左右水平線，看成高為h的梯形水平線。 圖 2 水平線圖 另外，文中提出相應(yīng)的最優(yōu)組合算法與排放算法輔助選出最優(yōu)矩形組合及優(yōu)化排放效果（見文獻(xiàn)中）。由于文中敘述步驟過多，以下為該算法的簡要步驟：1

24、 若當(dāng)前最低槽形水平線的高h(yuǎn)minh，或所有小矩形件均被排放完，則轉(zhuǎn)步 驟6；否則，轉(zhuǎn)步驟2。2 在當(dāng)前排放狀態(tài)下，找出槽形水平線對應(yīng)的最優(yōu)組合矩形，計(jì)算第i條槽形水平線的長度與組合矩形總寬度之差dij。找出最小差度dmin的集合i。3 判斷是否存在最優(yōu)槽形水平線(該槽形水平線對應(yīng)的矩形組合塊與該槽形水平線匹配得最好，以dmin=0為標(biāo)準(zhǔn)）。若只有一個最優(yōu)槽形水平線，則用其對應(yīng)的矩形組合塊進(jìn)行排放；若有多條，則按文中規(guī)定的規(guī)則選擇其中一條進(jìn)行排放。排放完成后返回步驟1；若無最優(yōu)槽形水平線，則轉(zhuǎn)至步驟4。4 判斷是否存在最優(yōu)梯形水平線(存在某未排矩形件排放于此，剛好能填充滿該水平線)。若存在這樣

25、的梯形水平線，且只有一條，則直接排入。有多條，則按文中規(guī)定的規(guī)則選擇其中一條進(jìn)行排放。返回步驟1；若不存在，則否則轉(zhuǎn)步驟5。5 到這一步，表明i中無最優(yōu)槽形水平線，且找不到最優(yōu)梯形水平線。則考慮i中的槽形水平線。若|i|=1，則對這條水平線對應(yīng)的最優(yōu)組合矩形塊進(jìn)行排放；若|i|>1，則按文中規(guī)定的規(guī)則進(jìn)行選擇并排放。返回步驟1。輸出排放圖。 文中與相關(guān)文獻(xiàn)最好結(jié)果進(jìn)行了比較,結(jié)果表明該文算法解決大規(guī)模的矩形件排樣具有高效性。. 文獻(xiàn)11 為了有效地解決有約束的矩形件優(yōu)化排樣問題，本文提出一種快速的求解算法。通過比較待排樣矩形件的不同排樣模式，選擇最優(yōu)排樣方案。算法完全基于解

26、析計(jì)算，雖不能尋找理論最優(yōu)解，但相比于各種啟發(fā)式算法大大提高了排樣速度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，算法能夠在較短的計(jì)算時間內(nèi)獲得滿意的排樣效果，是一種效率較高的有約束矩形件排樣算法，應(yīng)用于2bp問題和“一刀切”的加工模式。 算法基本思想如下：如下圖，將矩形件排放左下角，有旋轉(zhuǎn)和不旋轉(zhuǎn)兩種旋轉(zhuǎn)方式。另外，在放好左下角的矩形件后切割的方式又可以分為橫切和豎切兩種，所以總共有4種排樣模式。其中r1，r2，r3，r4為切割后產(chǎn)生的子板材。 一個待排矩形件的排樣模式圖 因此，對一塊板材進(jìn)行排樣，首先從這塊板材的左下角開始試探地排放待排矩形件，對它的4 種排樣模式用某種評價標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評估，選出評價最好的那種模式，再將這

27、個評估值與其他所有待排矩形件的較好評估值進(jìn)行比較，選出最好的排樣模式，并按該排樣模式進(jìn)行板材切割。然后按深度優(yōu)先的原則不斷地對一刀切產(chǎn)生的兩塊新的子板材重復(fù)上述過程，最終完成一塊板材的全部排樣。由于算法完全是解析計(jì)算，不存在尋優(yōu)過程，雖不能獲得理論最優(yōu)解，但運(yùn)行效率大大提高。 如下所述，則可計(jì)算評價函數(shù)bk（r），為該算法奠定評價基礎(chǔ)，bk（r）可以用快速貪婪法近似解決：步驟1 初始化： 設(shè)z=0，z 為排樣的總有效面積，它的最后結(jié)果即為評價函數(shù)值bk（r）。 c=lw，c為未排樣空間的面積大小。 矩形零件集合中的元素按面積從大到小排列。 設(shè)j=1，j為當(dāng)前時刻考慮的矩形零件的編號。 z*=0

28、，只排一種矩形零件（編號為j*）能排放的最大有效面積。步驟2 bk（r）計(jì)算： uj =min bj - nj ， ， xj =minuj ， z = z + vj xj c = c - vj xj 如果vj xj> z* ，z* = vjuj ，j* = j。步驟3 如果j<m，j=j+1，跳轉(zhuǎn)到步驟2。步驟4 如果z*>z，z=z*，返回最終的z 值為評價函數(shù)值bk（r）。有了以上計(jì)算評價函數(shù)bk（r）算法的基礎(chǔ)后，排放算法的詳細(xì)步驟如下所述：初始化：設(shè)l=r，為待排樣的板材集合。 設(shè)p=，為已排樣的矩形件鏈表集合。 設(shè)vt = 0，為已排樣的總有效面積。 待排樣的矩形件

29、集合s 按照其面積從大到小排序，面積相同的則 將長和寬之差的絕對值大的排在前面。 每種待排矩形件i已排數(shù)量ni = 0。步驟1 如果l，取出一種板材(lk ,wk ,nk) ，并將其加入堆棧c。步驟2 如果c=，則回步驟1。否則： 從c中取出一個元素（l，w）作為將被切割的板材。 對于每種待排矩形件i，i=1，2，m，進(jìn)行如下循環(huán)： 如果，待排矩形件i有紋理方向要求（即不能旋轉(zhuǎn)），則 如果 li l，wi w，ni < bi，則 用算法中的評價函數(shù)bk（r）計(jì)算以下評價函數(shù)值： e1 = bk（r1），e2 = bk（r2），h1 = bk（r3），h2 = bk（r4） 比較豎切與橫切

30、的總評價函數(shù)值bi，并取數(shù)值大的， bi = vi + maxe1 + e2，h1 + h2 ，其中vi為當(dāng)前矩形件r的面積。 否則 bi = 0。 如果，待排矩形件i 無紋理方向要求（可旋轉(zhuǎn)），則還要計(jì)算 其旋轉(zhuǎn)后的豎切與橫切的總評價函數(shù)值bi，最后選取最大值。 i+。 步驟3 在所有矩形件排放在左下角后可得到的總評價函數(shù)值bi， 找到其中最大的那個評價函數(shù)值bj =maxbi | i = 1 , 2 , . , m。 如果，bj > 0，則按照bj 所確定的排樣模式進(jìn)行排樣切割。將切 割后產(chǎn)生的兩塊子板材r1、r2 或r3、r4 加入c。 否則，bj = 0，說明當(dāng)前的子板材（l，w

31、）放不下任何待排矩形件， 所以將它當(dāng)作余料或廢料處理，加入余料列表。 返回步驟2。 結(jié)果對比：表中所指文獻(xiàn)為：8 mhand h.exact algorithms for the guillotine strip cutting/packingproblemj.computers and operations research，1998，25：925-940.10 馬廣焜，劉嘉敏，黃有群，等.一種有約束矩形排樣問題的求解算法j.沈陽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，28（4）：449-453.2.2. 智能算法2.2.1. pso算法. 文獻(xiàn)12 本文的算法是一種改進(jìn)基于最低水平線搜索算法

32、，結(jié)合ga算法產(chǎn)生的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法。在本文應(yīng)用最低水平線搜索算法時，若有多個矩形件適合最低水平線，則從中選取長度或?qū)挾茸钸m合最低水平線寬度的矩形件進(jìn)行排放。 算法提出者考慮到用標(biāo)準(zhǔn)的pso算法來更新原子比較困難，故利用ga的算法特點(diǎn)，結(jié)合ga改進(jìn)了pso算法： 通過ga的交叉和變異來更新原子。在交叉時，當(dāng)前解將和個體最佳及全局最佳進(jìn)行交叉，產(chǎn)生的新解將決定原子在解空間的新位置。交叉的時候運(yùn)用的是文獻(xiàn)13里的交叉算法步驟如下：先選擇一個固定的交叉位置，該點(diǎn)前的基因保持不變，其后的基因進(jìn)行交叉操作。比較兩條染色體非交叉部分的基因，除去兩者中相同的基因；將兩條染色體不交叉部分余下的基因按原序保存

33、在數(shù)組p 和q 當(dāng)中；進(jìn)行交叉時，將兩染色體交叉部分的基因和數(shù)組p 或q 中的基因進(jìn)行對比，若不相同，則直接交換；否則用對應(yīng)數(shù)組p 或q 中的基因替換后，再交換兩染色體交叉的部分；完成染色體的交叉操作。例如：染色體a= 3,2,4,5,9,8,7,6,1,10 ,b= 9,1,10,3,2,5,4,6,7,8 .執(zhí)行交換時，產(chǎn)生交叉點(diǎn)：a= 3,2,4,5,9,|8,7,6,1,10 ,b= 9,1,10,3,2,|5,4,6,7,8，有p=4,5，q = 1, 10。將兩染色體交叉部分的基因和數(shù)組p 或q 中的基因進(jìn)行對比后：a= 3,2,4,5,9,|8,7,6,4,5 ,b= 9,1,1

34、0,3,2,|10,1,6,7,8最后，交換兩染色體中交叉部分，則形成新的染色體a=3,2,4,5,9,|10,1,6,7,8，b=9,1,10,3,2,|8,7,6,4,5適應(yīng)度函數(shù)： f=h/l （h=(w.h)/w，l為排放完成后的最大長度）混合了ga的改進(jìn)pso算法描述如下：xtj 為原子j的當(dāng)前位置，f(xtj )為適應(yīng)度，gbest為當(dāng)前所有原子的最佳，pbestj 為原子j當(dāng)前最佳。for(i=o;i < tmax;i+ +) for(j= 0; j < n; j + +) cross x'tj and pbestj to get x''tj

35、; cross x'tj and gbest to get x''tj ; mutate x''tj to get xt+1j ; according to the improved lowest horizontal search algorithm prposed above, compute the fitness f(xt+1j) ; if (f(xt+1j)>pbestj) pbestj=f(xt+1j); for(k= o;k < n;k + +) if(f(pbest k) > f(gbest) gbest = pbest

36、k; 3. 上述算法在矩形排樣件中的應(yīng)用分類序號作者算法名研究類型1楊傳華，李亞芹等基于最低水平線的二維搜索算法3rf ,2sp2edmund k.burke,matthewr.hyde*,graham kendall a squeaky wheel optimisation （swp）4of ,2sp3frankg.ortmann, nthabiseng ntene, jan h. van vuuren *modified size-alternating stack algorithm(sasm)5rg ,2sp4frankg.ortmann, nthabiseng ntene, jan

37、h. van vuuren *best fit with stacking algorithm (bfs) 5rg ,2sp5張偉，安魯陵，邵曉明,鄭盈盈.一種矩形件分層排樣算法8rg ,2sp6張偉,安魯陵,孫金虎基于二維裝箱問題的矩形件排樣算法10rf ,2bp7陳仕軍，曹矩矩形件優(yōu)化排樣的一種啟發(fā)式算法11of ,2sp8彭文一種快速的有約束矩形件的優(yōu)化排樣模型12rg ,2sp9qi ji, huang lan, tan yingimproved particle swarm optimization algorithm for rectangular cutting-stock pr

38、oblem13of ,2sp4. 參考文獻(xiàn)1 鄧東梅，周來水.矩形件排樣的研究進(jìn)展.aerospace materials & technology.2006 36(5).2 趙曉東.矩形件優(yōu)化排樣算法的研究與實(shí)現(xiàn).大連交通大學(xué)碩士學(xué)位論文, 20023. 楊傳華，吳錦文，李亞匠，郭士清，康金波，姜東化.定序列矩形件優(yōu)化排樣的二維搜索算法.佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010 28(3).4. edmund k.burke, matthewr.hyde* ,graham kendall.a squeaky wheel optimisation methodology for two-

39、dimensional strip packing.computers and operations research (2010), doi:10.1016/j.cor.2010.10.0055. frank g. ortmann, nthabiseng ntene ,jan h. van vuuren. new and improved level heuristics for the rectangular strip packing and variable-sized bin packing problems.european journal of operational resea

40、rch volume 203, issue 2, 1 june 2010, pages 306-315.6. nthabiseng ntene.an algorithmic approach to the 2doriented strip packing problem.phd thesis of university of stellenbosch,2007.7. andreas bortfeldt .a genetic algorithm for the two-dimensional strip packing problem with rectangular pieces.european journal of operational research volume 172, issue 3, 1 august 2006, pages 814-837.8. 張偉，安魯陵，邵曉明,鄭盈盈.一種矩形件分層排樣算法.宇航材料工藝, 2010 .9. 張偉，安魯陵 ,孫金虎.一種矩形件優(yōu)化排樣算法的研究.宇航材料工藝, 2010 .10. 陳仕軍，曹矩.矩形件優(yōu)化排樣的一種啟發(fā)式算法.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2010 11. 彭文.一種快速的有約束矩形件的優(yōu)化排樣模型.computer en