第6.4講：RepeatedGames(IV)：以“三價博弈”為例

1、Lecture 6: Repeated Games (IV)以以“三價博弈三價博弈”為例為例1存在多個純策略納什均衡博弈的有限次重復博弈存在多個純策略納什均衡博弈的有限次重復博弈 存在存在多個多個純策略納什均衡博弈的純策略納什均衡博弈的有限次有限次重復博弈重復博弈 以以“三價博弈三價博弈”的重復博弈為例的重復博弈為例 2存在多個純策略納什均衡博弈的有限次重復博弈（存在多個純策略納什均衡博弈的有限次重復博弈（續(xù)續(xù)） 存在存在多個多個純策略納什均衡博弈的純策略納什均衡博弈的有限次有限次重復博弈重復博弈G(T) 由于原博弈由于原博弈G具有多重納什均衡，那么利用逆推歸納法從最具有多重納什均衡，那么利用

2、逆推歸納法從最后一個原博弈著手考慮問題，哪一個納什均衡作為后一個原博弈著手考慮問題，哪一個納什均衡作為“逆推逆推”的出發(fā)點比較合適呢？的出發(fā)點比較合適呢？3三價博弈三價博弈 三價博弈三價博弈 設一市場有兩個生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品的廠商，他們對產(chǎn)品設一市場有兩個生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品的廠商，他們對產(chǎn)品的定價同有高（的定價同有高（H）、中（）、中（M）、低（）、低（L）三種可能。）三種可能。 設高價時市場總利潤為設高價時市場總利潤為10個單位，中價時市場總利個單位，中價時市場總利潤為潤為6個單位，低價時市場總利潤為個單位，低價時市場總利潤為2個單位。個單位。 設兩廠商同時決定價格，價格不等時的價格低者獨設兩廠商同時決

3、定價格，價格不等時的價格低者獨享利潤，價格相等時雙方平分利潤。享利潤，價格相等時雙方平分利潤。4三價博弈（三價博弈（續(xù)續(xù)） 三價博弈的得益矩陣三價博弈的得益矩陣5有兩個純策略納什均衡（有兩個純策略納什均衡（M，M）和（）和（L，L），但），但博弈中兩博弈方的總利益最大，而且也符合他們個博弈中兩博弈方的總利益最大，而且也符合他們個體利益的策略組合（體利益的策略組合（H，H）并不是納什均衡。）并不是納什均衡。廠商廠商2HML廠廠商商1H5，50，60，2M6，03，30，2L2，02，01，1三價博弈的兩次重復博弈三價博弈的兩次重復博弈 三價博弈的兩次重復博弈三價博弈的兩次重復博弈 ？子博弈完美納

4、什均衡？子博弈完美納什均衡6三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)）三價博弈的兩次重復博弈三價博弈的兩次重復博弈？如下四條博弈路徑是否是重復博弈的子博弈完美納什均如下四條博弈路徑是否是重復博弈的子博弈完美納什均衡衡 1：博弈路徑：博弈路徑（M，M），（），（M，M）2：博弈路徑：博弈路徑（L，L），（），（M，M） 3：博弈路徑：博弈路徑（M，M），（），（L，L） 4：博弈路徑：博弈路徑（L，L），（），（L，L） 7三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（） 博弈路徑（博弈路徑（1）（M，M），（），（M，M）和（和（2）（L，L），），（M，M）都是重復博弈的子博弈

5、完美納什均衡都是重復博弈的子博弈完美納什均衡 首先，第二階段選擇（首先，第二階段選擇（ M，M ）是一個納什均衡，實現(xiàn)得益組）是一個納什均衡，實現(xiàn)得益組合（合（3，3）。）。8HMLH5，50，60，2M6，03，30，2L2，02，01，1三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 其次，把第二階段實現(xiàn)的得益組合的貼現(xiàn)值加到原博弈的各個其次，把第二階段實現(xiàn)的得益組合的貼現(xiàn)值加到原博弈的各個得益組合上，得到兩博弈方在第一階段博弈時面臨的得益矩陣：得益組合上，得到兩博弈方在第一階段博弈時面臨的得益矩陣：9廠商廠商2HML廠廠商商1H5+3，5+30+3，6+30+3，2+3M6+3，

6、0+33+3，3+30+3，2+3L2+3，0+32+3，0+31+3，1+3三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 利用劃線法，得知此時的純策略納什均衡有兩個：（利用劃線法，得知此時的純策略納什均衡有兩個：（MM，MM）和）和（L L，L L）。）。 10HMLH5+3，5+30+3，6+30+3，2+3M6+3，0+33+3，3+30+3，2+3L2+3，0+32+3，0+31+3，1+3三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 所以，博弈路徑（所以，博弈路徑（1 1） （MM，MM），（），（MM，MM） 和（和（2 2） （L L，L L），（），（MM，

7、MM） 都是重復博弈的子博弈完美納什均衡，實現(xiàn)的都是重復博弈的子博弈完美納什均衡，實現(xiàn)的總得益組合分別為（總得益組合分別為（3+3 3+3 ，3+3 3+3 ）、（）、（1+3 1+3 ，1+3 1+3 ）。）。11三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 博弈路徑（博弈路徑（3） （M，M），（），（L，L） 和（和（4） （L，L），（），（L，L）都是重復博弈的子博弈完美納什均衡都是重復博弈的子博弈完美納什均衡 首先，第二階段選擇（首先，第二階段選擇（ L，L ）是一個納什均衡，實現(xiàn)得益組合）是一個納什均衡，實現(xiàn)得益組合（1，1）。）。12HMLH5，50，60，2M6，0

8、3，30，2L2，02，01，1三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 其次，把第二階段實現(xiàn)的得益組合的貼現(xiàn)值加到原博弈的各個其次，把第二階段實現(xiàn)的得益組合的貼現(xiàn)值加到原博弈的各個得益組合上，得到兩博弈方在第一階段博弈時面臨的得益矩陣：得益組合上，得到兩博弈方在第一階段博弈時面臨的得益矩陣：13HMLH5+，5+0+，6+0+，2+M6+，0+3+，3+0+，2+L2+，0+2+，0+1+，1+三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 利用劃線法，得知此時的純策略納什均衡有兩個：（利用劃線法，得知此時的純策略納什均衡有兩個：（MM，MM）和）和（L L，L L）。

9、）。 14H HM ML LH H5+5+，5+5+0+0+，6+6+0+0+，2+2+M M6+6+，0+0+3+3+，3+3+0+0+，2+2+L L2+2+，0+0+2+2+，0+0+1+1+，1+1+三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 博弈路徑（博弈路徑（3） （M，M），（），（L，L）和（和（4） （L，L），），（L，L）都是重復博弈的子博弈完美納什均衡實現(xiàn)的總得益組都是重復博弈的子博弈完美納什均衡實現(xiàn)的總得益組合分別為（合分別為（3+ ，3+ ）、（）、（1+ ，1+ ）。）。15三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 總結(jié)：總結(jié)：16子博弈

10、完美納什均衡路徑子博弈完美納什均衡路徑兩次重復博弈實現(xiàn)的總得益組合兩次重復博弈實現(xiàn)的總得益組合1：（M，M），（），（M，M）（3+3，3+3）2：（L，L），（），（M，M）（1+3，1+3）3：（M，M），（），（L，L）（3+，3+）4：（L，L），（），（L，L）（1+，1+）5：觸發(fā)策略實現(xiàn)的博弈路徑：觸發(fā)策略實現(xiàn)的博弈路徑（5+3，5+3）三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 觸發(fā)策略：觸發(fā)策略： 博弈方博弈方1 1：第一次選擇：第一次選擇H H；如果第一次博弈的結(jié)果為（；如果第一次博弈的結(jié)果為（H H，H H），），則在第二次博弈時選擇則在第二次博弈時選擇MM，

11、如果第一次博弈的結(jié)果為其他策略，如果第一次博弈的結(jié)果為其他策略組合，則在第二次博弈時選擇組合，則在第二次博弈時選擇L L。 博弈方博弈方2 2：同博弈方：同博弈方1 1。17HMLH5，50，60，2M6，03，30，2L2，02，01，1三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 觸發(fā)策略實現(xiàn)的可能博弈路徑觸發(fā)策略實現(xiàn)的可能博弈路徑 (H,H) ,(H,H) , (M,M)(M,M) 非非(H,H)(H,H)策略組合策略組合 ， (L,L)(L,L)18HMLH5，50，60，2M6，03，30，2L2，02，01，1第一次選擇第一次選擇H H；如果第一次博弈的結(jié)；如果第一次博弈

12、的結(jié)果為（果為（H H，H H），則在第二次博弈時選），則在第二次博弈時選擇擇MM，如果第一次博弈的結(jié)果為其他，如果第一次博弈的結(jié)果為其他策略組合，則在第二次博弈時選擇策略組合，則在第二次博弈時選擇L L。三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 當當1/2時時,觸發(fā)策略實現(xiàn)的博弈路徑必為觸發(fā)策略實現(xiàn)的博弈路徑必為(H,H)， (M,M), 是是一個子博弈完美納什均衡。一個子博弈完美納什均衡。首先，考察最后一個階段（即第二次重復）的首先，考察最后一個階段（即第二次重復）的博弈結(jié)果。博弈結(jié)果。觸發(fā)策略實現(xiàn)的可能博弈路徑為觸發(fā)策略實現(xiàn)的可能博弈路徑為 (H,H)， (M,M)或或非非

13、(H,H)策略組合，策略組合， (L,L)。 也也就是說，在觸發(fā)策略組合下，第二次重復的博就是說，在觸發(fā)策略組合下，第二次重復的博弈結(jié)果不外乎是（弈結(jié)果不外乎是（M,M）或（）或（L,L）。這兩種）。這兩種博弈結(jié)果都是納什均衡！博弈結(jié)果都是納什均衡！19第一次選擇第一次選擇H H；如果第一次博弈的結(jié)果為；如果第一次博弈的結(jié)果為（H H，H H），則在第二次博弈時選擇），則在第二次博弈時選擇MM，如果第一次博弈的結(jié)果為其他策略組合，如果第一次博弈的結(jié)果為其他策略組合，則在第二次博弈時選擇則在第二次博弈時選擇L L。HMLH5，50，60，2M6，03，30，2L2，02，01，1三價博弈的兩次重

14、復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 其次，考察倒數(shù)第二階段（即第一次重復）的博弈結(jié)果。其次，考察倒數(shù)第二階段（即第一次重復）的博弈結(jié)果。 基于對第二次重復的博弈結(jié)果分析，得到兩博弈方在第一次重復博基于對第二次重復的博弈結(jié)果分析，得到兩博弈方在第一次重復博弈時的得益矩陣。利用劃線法不難發(fā)現(xiàn)（弈時的得益矩陣。利用劃線法不難發(fā)現(xiàn)（M，M）和（）和（L，L）均為）均為納什均衡。納什均衡。20HMLH5+3，5+30+，6+0+，2+M6+，0+3+，3+0+，2+L2+，0+2+，0+1+，1+三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 為使得（為使得（H H，H H）為納什均衡，那么

15、需要：）為納什均衡，那么需要：2115362三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 很顯然，當很顯然，當1/2時，時，5+36+3+1+ 。 所以，當所以，當1/2時，納什均衡（時，納什均衡（H，H）實現(xiàn)的是兩博弈方的最佳得）實現(xiàn)的是兩博弈方的最佳得益，因此兩博弈方必然會采用它！益，因此兩博弈方必然會采用它！22三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 總結(jié)：總結(jié)：23子博弈完美納什均衡路徑子博弈完美納什均衡路徑兩次重復博弈實現(xiàn)的總得益組合兩次重復博弈實現(xiàn)的總得益組合1：（M，M），（），（M，M）（3+3，3+3）2：（L，L），（），（M，M）（1+3，1+3

16、）3：（M，M），（），（L，L）（3+，3+）4：（L，L），（），（L，L）（1+，1+）三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） ？當當1/21/2時，策略組合時，策略組合5 5（觸發(fā)策略）為什么能夠?qū)崿F(xiàn)較（觸發(fā)策略）為什么能夠?qū)崿F(xiàn)較有效的總得益組合呢有效的總得益組合呢原因在于它具有原因在于它具有“報復機制報復機制”。24三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 在觸發(fā)策略下，在第一個重復階段，給定博弈方在觸發(fā)策略下，在第一個重復階段，給定博弈方2選擇選擇H，如果博弈方，如果博弈方1不選擇不選擇H，而選擇，而選擇M，得益增加，得益增加1單位；單位；但這個偏離后

17、果是他在第二階段的得益將由但這個偏離后果是他在第二階段的得益將由3單位下降單位下降為為1單位。這樣，如果單位。這樣，如果11/2），博弈方），博弈方1偏離（偏離（H，H）是得不償失的，他將沒有積極性偏離。）是得不償失的，他將沒有積極性偏離。同理，當同理，當1/2時，博弈方時，博弈方2也將沒有積極性偏離（也將沒有積極性偏離（H，H）。）。 25HMLH5，50，60，2M6，03，30，2L2，02，01，1第一次選擇第一次選擇H；如果第一次博弈的結(jié)果為；如果第一次博弈的結(jié)果為（H，H），則在第二次博弈時選擇），則在第二次博弈時選擇M，如果第一次博弈的結(jié)果為其他策略組合，如果第一次博弈的結(jié)果為其

18、他策略組合，則在第二次博弈時選擇則在第二次博弈時選擇L。三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 觸發(fā)策略觸發(fā)策略 觸發(fā)策略實際上是一種典型的策略。在這類典觸發(fā)策略實際上是一種典型的策略。在這類典型策略中，兩博弈方首先試探合作，一旦發(fā)現(xiàn)型策略中，兩博弈方首先試探合作，一旦發(fā)現(xiàn)對方不合作則也用不合作相報復。這樣的策略對方不合作則也用不合作相報復。這樣的策略在博弈論中通常被稱為在博弈論中通常被稱為“觸發(fā)策略觸發(fā)策略”(Trigger (Trigger Strategy)Strategy)。26第一次選擇第一次選擇H H；如果第一次博弈的結(jié)果為；如果第一次博弈的結(jié)果為（H H，H H）

19、，則在第二次博弈時選擇），則在第二次博弈時選擇MM，如果第一次博弈的結(jié)果為其他策略組合，如果第一次博弈的結(jié)果為其他策略組合，則在第二次博弈時選擇則在第二次博弈時選擇L L。三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） 策略組合策略組合5（觸發(fā)策略）在第一階段可以達到原博弈中比較（觸發(fā)策略）在第一階段可以達到原博弈中比較有效的非納什均衡（有效的非納什均衡（H，H）。）。27第一次選擇第一次選擇H H；如果第一次博弈的結(jié)果為；如果第一次博弈的結(jié)果為（H H，H H），則在第二次博弈時選擇），則在第二次博弈時選擇MM，如果第一次博弈的結(jié)果為其他策略組合，如果第一次博弈的結(jié)果為其他策略組合，則在第二次博弈時選擇則在第二次博弈時選擇L L。三價博弈的兩次重復博弈（三價博弈的兩次重復博弈（續(xù)續(xù)） （推廣）對更一般問題進行敘述來總結(jié)前述（推廣）對更一般問題進行敘述來總結(jié)前述“有趣有趣”的結(jié)果：的結(jié)果：如果原博弈如果原博弈G G是具有多重納什均衡的完全是具有多重納什均衡的完全信息靜態(tài)博弈，那么可能（但不必）存在信息靜態(tài)博弈，那么可能（但不必）存在重復博弈重復博弈G(T)G(T)的子博弈完美納什均衡