第9章多元函數(shù)積分學(xué)PPT課件

1、9.1 二重積分的概念與性質(zhì) 9.1.1 兩個實例 9.1.2 二重積分的概念 定義 ；幾何意義；物理意義 9.1.3 二重積分的性質(zhì) 第1頁/共17頁9.1.1 兩個實例 1曲頂柱體的體積 求曲頂柱體的體積與求曲邊梯形的面積十分類似，可以用“分割”，“近似”，“求和”，“取極限”的方法來解決 2平面薄板的質(zhì)量 2平面薄板的質(zhì)量第2頁/共17頁9.1.3 二重積分的性質(zhì) 性質(zhì)1(齊次性質(zhì)) 性質(zhì)2(可加性質(zhì)) 性質(zhì)3(線性性質(zhì)) 性質(zhì)4(分域性質(zhì)) 性質(zhì)5(保號性質(zhì)) 性質(zhì)6(估值不等式) 性質(zhì)7(二重積分的中值定理) 性質(zhì)8(對稱性質(zhì)) ( , )d( , )dDDk f x ykf x y

2、 ( , )( , )d( , )d( , )dDDDf x yg x yf x yg x y( , )( , )d( , )d( , )dDDDkf x yhg x yk f x yh g x y12( , )d( , )d( , )dDDDf x yf x yf x y( , )d( , )dDDf x yx y( , )d( , )dDDf x yf x y(,)dDmfx yM(,) d(,)Dfxyf第3頁/共17頁9.2 二重積分的計算 9.2.1 在直角坐標(biāo)系下二重積分的計算方法 9.2.2 在極坐標(biāo)系下二重積分的計算方法 第4頁/共17頁9.2.1 在直角坐標(biāo)系下二重積分的計算

3、方法第5頁/共17頁9.3 二重積分的應(yīng)用 9.3.1 曲面的面積 9.3.2 平面薄片的重心 9.3.3 平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量 ， 2( , )dxDIyx y2( , )dyDIxx y第6頁/共17頁9.3.1 曲面的面積221( , )( , )dxyxyDAf x yf x y221d dxyDzzAx yxy第7頁/共17頁9.3.2 平面薄片的重心 薄片的重心的坐標(biāo)為 ， 均勻平面薄片的重心叫做該平面薄片的形心，形心坐標(biāo)公式為： ，( , )d( , )dyDDxx yMxMx y( , )d( , )dxDDyx yMyMx y1dDxxA1dDyyA第8頁/共17頁9.4 三重

4、積分 9.4.1 三重積分的概念 9.4.2 三重積分的計算方法 1. 先單后重法(或投影法) 2. “先重后單”法(或截面法) 3用柱面坐標(biāo)計算三重積分 9.4.3 三重積分的應(yīng)用第9頁/共17頁9.4.3 三重積分的應(yīng)用 在三重積分的應(yīng)用中也可采用微元法設(shè)物體占有空間區(qū)域 ，在點 處的體密度為 ，假定 在 上連續(xù)，與平面薄片類似，可計算該物體的質(zhì)量、重心坐標(biāo)和轉(zhuǎn)動慣量并有如下的計算公式：( , , )x y z( , , )x y z( , , )x y z( , , )dMx y zv111d ,d ,dxxvyyvzzvMMM222222() d ,() d ,() dxyzIyzv

5、Izxv Ixyv第10頁/共17頁9.5 對弧長的曲線積分 9.5.1 對弧長的曲線積分的概念與性 9.5.2 對弧長的曲線積分的算法 “一定、二代、三替換，下限必定小上限”. 9.5.3 對弧長的曲線積分的推廣 9.5.4 對弧長的曲線積分的應(yīng)用舉例 1. 曲線的弧長 2. 平面物質(zhì)曲線的質(zhì)心坐標(biāo) 3. 平面物質(zhì)曲線的轉(zhuǎn)動慣量第11頁/共17頁9.5.1 對弧長的曲線積分的概念與性 1. 引例 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 2. 對弧長的曲線積分的定義 物理意義 幾何意義 3. 對弧長的曲線積分的性質(zhì)第12頁/共17頁9.6 對坐標(biāo)的曲線積分 9.6.1 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性 9.6.2 對坐標(biāo)的曲線積分的算法 “一定、二代、三替換，起點必定對下限” 9.6.3 兩類曲線積分之間的關(guān)系第13頁/共17頁9.6.1 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性 1. 引例 變力沿曲線所作的功 2. 對坐標(biāo)的曲線積分的定義 3. 對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)第14頁/共17頁9.7 格林公式及其應(yīng)用 9.7.1 格林公式 9.7.2 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件 9.7.3 二元函數(shù)全微分的求積問題 1. 原函數(shù)的存在性 2. 原函數(shù)的求法 3. 用原函數(shù)計算與路徑無關(guān)的曲線積分 12ddddLLP xQ yP xQ y第15頁/共17頁9.7.1 格林公式 1. 兩個概念 平面單連通區(qū)域 區(qū)域邊界的正