不定方程及不定方程組

1、不定方程及不定方程組作者：_日期:第二十七講不定方程、方程組不定方程（組）是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)的方程（組），其特點是解往往有無窮多個，不能惟一確定.對于不定方程（組），我們往往限定只求整數(shù)解，甚至只求正整數(shù)解，加上條件限制后，解就可確定.二元一次不定方程是最簡單的不定方程，一些復(fù)雜的不定方程（組）常常轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程問題加以解決，與之相關(guān)的性質(zhì)有：設(shè)a、b、c、d為整數(shù)，則不定方程ax by c有如下兩個重要命題：若（a, b）=d,且d卜c,則不定方程ax by c沒有整數(shù)解； xx bt （2）若xo, y0是萬程ax by c且（a, b）=1的一組整數(shù)解（稱特解），則（

2、t為整數(shù)）是y y° at方程的全部整數(shù)解（稱通解）.解不定方程（組），沒有現(xiàn)成的模式、固定的方法可循，需要依據(jù)方程 （組）的特點進行恰當?shù)淖冃?，并靈活運用以下知識與方法；奇數(shù)偶數(shù)，整數(shù)的整除性、分離整系數(shù)、因數(shù)分解。配方利用非負數(shù)性質(zhì)、窮舉，乘法公式，不等式分析等.舉例【例11正整數(shù)m、n滿足8m+9n=mn+6,則m的最大值為 .（新加坡數(shù)學競賽題）思路點拔 把m用含n的代數(shù)式表示，并分離其整數(shù)部分（簡稱分離整系數(shù)法）.再結(jié)合整除的知識，求出m的最大值.注：求整系數(shù)不定方程ax by c的整數(shù)解。通常有以下幾個步驟：（1）判斷有無整數(shù)解；（2）求一個特解；（3）寫出通解；（4）由

3、整數(shù)t同時要滿足的條件（不等式組），代入（2）中的表達式，寫出不定方程的正整數(shù)解.分離整系數(shù)法解題的關(guān)鍵是把其中一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)的代數(shù)敷式表示，結(jié)合整 除的知識討論.【例2】 如圖，在高速公路上從3千米處開始，每隔4千米設(shè)一個速度限制標志，而且從 10千米處開始，每隔9千米設(shè)一個測速照相標志，則剛好在 19千米處同時設(shè)置這兩種標志.問下一個同時設(shè)置這兩種標志的地點的千米數(shù)是 （）.A. 32千米 B. 37千米 C. 55千米 D. 90千米泡南省競賽題）AAA0QiOT|37 10 H 15（9 23|思路點撥 設(shè)置限速標志、照相標志千米數(shù)分別表示為 3+4x、10十9y（x, y為

4、自然數(shù)），問題轉(zhuǎn)化為求不定方程3+4x=0+9y的正整數(shù)解.【例3】（1）求方程15x+52y=6的所有整數(shù)解.（2）求方程x+y = x2 xy+y2的整數(shù)解.（莫斯科數(shù)學奧林匹克試題）、1115（3）求方程1 1 1 5的正整數(shù)解.x y z 6（“希望杯”邀請賽試題思路點撥 對于（1）通過觀察或輾轉(zhuǎn)相除法，先求出特解.對于 （2）易想到完全平方公式，從一、一 一, , _ 111,一一配萬人手，對于（2）易知x、v、z都大于1,不妨設(shè)l<x<y<z,則一一，將復(fù)雜的三兀 x y z不定方程轉(zhuǎn)化為一元不等式，通過解不等式對某個未知數(shù)的取值作出估計，逐步縮小其取值范圍，求出

5、其結(jié)果.注：方程和不等式的相關(guān)性質(zhì)，尋求并縮小某個字母的取值范圍，通過驗算獲得全部解【例4】一個盒子里裝有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4?；?粒地取出，最終粒盒內(nèi)都剩1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？ (2002年重慶市競賽題)思路點撥 無論怎么取，盒子里的棋子數(shù)不變，恰當設(shè)未知數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為求不定方程的正 整數(shù)解.【例5】中國百雞問題：一，值錢五，雞母一,值錢三，雞雛三，值錢一.百錢買百雞，問 雞翁、雞母、雞雛各幾何？出自中國數(shù)學家張丘建的著作算經(jīng))x y z 100思路點撥設(shè)雞翁、雞母、雞雛分別為x、y、z,則有匚。 z dnn5x 3y

6、- 1003通過消元，將問題轉(zhuǎn)化為求二元一次不定方程的非負整數(shù)解.【例6】 甲組同學每人有28個核桃，乙組同學每人有30個核桃，丙組同學每人有31個核桃，三組的核桃總數(shù)是365個，問三個小組共有多少名同學？(200件海峽兩岸友誼賽試題)思路點撥 設(shè)甲組學生a人，乙組學生b人，丙組學生c人，由題意得28a+30b+31c=365, 怎樣解三元一次不定方程？運用放縮法,從求出a+b+c的取值范圍入手.注：解不定方程組基本方法有：(1)視某個未知數(shù)為常數(shù)，將其他未知數(shù)用這個未知數(shù)的代數(shù)式表示；(2)通過消元，將問題轉(zhuǎn)化為不定方程求解；(3)運用整體思想方法求解.【例7】不定方程4x+7y=2001有

7、 組正整數(shù)解.思路點撥49十7y=3X667易知x 667是其一組特解，.其通解為y 667x 667 7ty 667 4t 't z,96<t< 166667 7t 0,解之得667 4t 1一. t可取整數(shù)值共71個.4x+7y=2001有71組正整數(shù)解.學力訓練1 .已知 x、y、z滿足 x+y=5 及 z2=xy+y 9,x+2y+3z=.（2002年山東省競賽題）.2x2 3y2 6z22 .已知 4x 3y 6z=0, x+2y - 7c=0（xyz 豐 0）,那么一222-的值為-x 5y 7z3 .用一元錢買面值4分、8分、1角的3種郵票共18張，每種郵票至

8、少買一張，共有 一種 不同的買法.4,購買5種數(shù)學用品A1、A2、A3、A4、A5的件數(shù)和用錢總數(shù)列成下表:名件數(shù)AAA3A4A總錢數(shù)第一次購件 數(shù)l34561992（元 ）第二次購件 數(shù)1579112984（元 ）則5種數(shù)學用品各買一件共需 一元.北京市競賽題）5 .希望中學收到王老師捐贈的足球、籃球、排球共 20個，其總價值為330元，這三種球的價格分別是足球每個60元，籃球每個30元，排球每個10元，那么其中排球有 個.溫州市中考題）6 .方程(x+1)2+(y-2)2=1的整數(shù)解有().A. 1組 B. 2組 C. 4組 D.無數(shù)組7 .二元方程x+y+z=1999的非負整數(shù)解的個數(shù)有

9、().(“希望杯”邀請賽試題8 .以下是一個六位數(shù)乘上一個一位數(shù)的豎式，各代表一個數(shù) (不一定相同)，則a+b+c+d+e+f=().A. 27 B. 24 C. 30 D.無法確定(“五羊杯”邀請賽試題9 .求下列方程的整數(shù)解:(1)1lx+5y=7; (2)4x+y=3xy .10 .在車站開始檢票時，有a(a>0)名旅客在候車室排隊等候檢票進站.檢票開始后，仍有旅客繼續(xù)前來排隊檢票進站，設(shè)旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度也是固定的，若開放一個檢票口，則需30分鐘才可將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢；若開放兩個檢票口，則只需10分鐘便可將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢；如果要在

10、5分鐘內(nèi)將排隊等侯檢票的旅客全部檢票完畢，以便后來到站的旅客能隨到隨檢，至少要同時開放幾個檢票口？廣州市中考題)11 .下面是同學們玩過的“錘子、剪子、布”的游戲規(guī)則：游戲在兩位同學之間進行，用伸出手掌表示“布”，兩人同時口念“錘子、剪子、布"，一念到“布”時，同時出手，“布”贏”錘子 “錘子”贏“剪子”，“剪子”贏“布” .現(xiàn)在我們約定：“布”贏“錘子”9分給，“錘子”贏“剪子”5徐,“剪子”贏”布導(dǎo)2分.小明和某同學玩此游戲過程中，小明贏了 21次，得108分，其中“剪子”贏”7次.聰明 的同學，請你用所學的數(shù)學知識求出小明“布”贏“錘子”、“錘子”贏“剪子”各多少次(2)如果小

11、明與某同學玩了若干次，得了 30分，請你探究一下小明各種可能的贏法，并選擇 其中的三種贏法填人下表.13.有理數(shù)x, y, z滿足x 6 3y2x 3y 2xy 2z,則22y+z的值為014 . 1998年某人的年齡恰等于他出生的公元年數(shù)的數(shù)字之和，那么他的年齡是一歲.15 .江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用 2臺抽水機抽水，40分鐘可抽完；如果用4臺抽水機抽水，16分鐘可抽完.如果要在10分鐘內(nèi)抽完水，那么，至少需要抽水機一臺.16 .有甲、乙、丙3種商品，某人若購甲3件、乙7件、丙1件共需24元，若購甲4件、乙10件、內(nèi)l件共需33元，則此人購甲、

12、乙、丙各1件共需 元.17 . 一個布袋中裝有紅、黃、藍三種顏色的大小相同的小球，紅球上標有數(shù)字1,黃球上標有數(shù)字2,藍球上標有數(shù)字3,小明從布袋中摸出10個球，它們上面所標數(shù)字的和等于 21,則小明摸出的球中紅球的個數(shù)最多不超過 一個.18 . （1）求滿足y4+2x4+1=4x2y的所有整數(shù)對（x, y）;（2）求出所有滿足5（xy+yz+zx） = 4xyz的正整數(shù)解.（新加坡奧林匹克試題）19 .兄弟二人養(yǎng)了一群羊，當每只羊的價錢（以元為單位）的數(shù)值恰等于這群羊的只數(shù)時，將 這群羊全部賣出，兄弟二人平分賣羊得來的錢：哥哥先取 10元，弟弟再取10元；這樣依次 反復(fù)進行，最后，哥哥先取10元，弟弟再取不足10元，這時哥哥將自己的一頂草帽給了弟 弟，兄弟二人所得的錢數(shù)相等.問這頂草帽值多少錢 ？北京市競賽題）20 .某人家的電話號碼是八位數(shù)，將前四位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得14405,將前三位數(shù)組成的數(shù)與后五位數(shù)組成的數(shù)相加得16970,求此人家的電話號碼.武漢市選拔賽試題）21 .某布店的一頁賬簿上沾了墨水，如下表所示：月日摘要數(shù)量（米）單價（元/ 米）金額（元）113全毛花呢XX49.36XXX7.28所賣呢料米數(shù)看不清楚了，但記得是賣了整數(shù)米；金額項目只看到后面3個數(shù)碼7.