Broyden方法的收斂條件

1、|維晉資訊 nHp:www.cqvip.coni晶29住黑1期2002年1月浙江大學(xué)學(xué)報(理學(xué)腹Journal of Zhejkiq; Lniveraily (Science Bditiw)VaL 29 Nc. 1Jan. 2002|維晉資訊 nHp:www.cqvip.coni|維晉資訊 nHp:www.cqvip.coniBroyden方法的收斂條件黃正達(dá)（浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系.浙江杭州310028）摘 要討it 了求斛拌致性方程組妁Broyden方法在珮l.tpchin親件下的半易部收址檔"殲蛤出7的牯計，由于Kantorovich型備件和弱Smale型條件都是弱Lipschitz型

2、鞋件帕特啊*所誅本文的結(jié)論fH Kantorovich型殺件和Smale型條伴下料琴論'勇算甘何"關(guān) * 詞：碼Lipschir雜件；Broyden方法卜半局押收我性中圈分類號.0242-23文標(biāo)識碼：丸文章塢號：1008-9497<2002>01-0025-06HU ANti Zhen呂 dak£>f/>arrmrrtf r>/ xVfuzAtmuf/rj, Zhejiang Umcntrsity * Hangzhau 310028 » China)Ou the convergent condiUon of I he Bro

3、yden method. Journal of Zhejiang University (Science Edition)» 2002,291 B：25 Ji<Abstract ： The nemi local convergent condition of the broydtn met hod for solving nonlinear quaticwi un-L is刖|i 尸 1七 + der weaker Lipschitz cotidtiion ofpiopyed. Ako th* error estimate of -川 甘 i脅©en. Results

4、 under the Kantornvich-iype ami Smale-typv conditions aye taken as special cbsm o tht rc-3uf under the weaker l.ipschiti condition,K«y words l eaker Ltpschttz condition; Broyden methotl ； seniilocnl convergence非線性方程組F（j-） = 0, F小二卅 f 疋的求僻是非線性數(shù)值方法研究的主要問題之一在眾多的擬Nfwbh方法中.Broyden方法= Xk Br'FCrt）

5、 *&+ 也場鬻.心=們1 .，P11 = I 卜 1 （不 + 刃電芯 一 | 野5/ = 4+ J h及其各種變形以其超收斂性態(tài)在多維擬Nion方法中占有重要地位.文獻(xiàn)1建立了住式的KanTorovjch型半局部收斂條件*文獻(xiàn)2對其作了修E耐后基于Smale的點(diǎn)估計理論韓叮*文獻(xiàn)5建立了 R"空間解析類上的收斂條件文獻(xiàn)6減弱了解析類要求，建立了弱Smale型癡的半局部收斂條件.本文在王興華"：提出的更加一般的弱Upschnz件下，討論（囂式的半局部收斂基致頊目匕國家亟點(diǎn)廉礎(chǔ)研憲專亜經(jīng)費(fèi)資肋項目13299悄2恥=祈江普目然科學(xué)基金費(fèi)帥項目門9加II浙tt省較育廳基

6、金資 助項 0<G?C<Ol"113h柞者簡介：黃正芯門州4一幾粵副敎?zhǔn)谵D(zhuǎn)士，主要從驪非線性方程求解和連軾問鏡時計IT盧榮性研丸.25浙江大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版）® 29#性態(tài)及解的唯一性、并就【弟式首次給出了 卷第窩J的怙計，即函數(shù)值在下像范數(shù)的遞 減速度可以由其優(yōu)函數(shù)值的遞減速度來控制得到的結(jié)論以文獻(xiàn)12,5.6的結(jié)果為待例.1 主要定理約定文中所涉及的模I * H為II II卜不失一般性，假定艮=（茁丄引人記號SCrc= |r G Rr I II -T.J II W 廠= MG R" I II 工一叭；| f , H© E Rk：定理 設(shè)F.

7、D C RN - RN于開凸集D連續(xù)可微、HE D, F満足I' |F5LF5J |-f I Cjjd I * 13r | |（j）| <! 、 Uu>Au, v jr.y e n,其中也uo y o為o.R上的單瀾遞堆連續(xù)甌數(shù)又設(shè)0C/> = 3pL（.u）（.t u）du 一孑十 R有最小正零點(diǎn)廠.如果頁?並優(yōu)TUD則起始于心耳=FCrJ由（2式產(chǎn)生的迭代序列收敘于方 程（1）在B（7?77n中的一個解、FL（7）| jri+J xk | < rA+t k = OU , |遲訐F5+JII 一 es L lEFlI W両丁 丄"其中址H由下列迭優(yōu)產(chǎn)

8、生/! = Oi = o, 1汽=f +響.12 L（w）du關(guān)于解的唯一性*在定理1的條件卜二有定理2 設(shè)廠VK.如果©在W."內(nèi)恒不為零+則方程（"在ECrzT U <xT） 0 D內(nèi)有唯一解.定理3 如果還有一個次小正苓點(diǎn)廣 <血則方程U）在） 1）£（盹丁"仃0內(nèi) 有唯一解.例1 取Lu）=K.K為正常數(shù)，定理1及定趣3即為Kantorovich型條件當(dāng)6 = 0時的較弱 形式-O1V例2 取Uu= 亡兀（八丁為正數(shù)n定理1及定理3即為弱Smale型條件的等價形式.1i s2例 3 取 £3 =翕仃一< 2）

9、Tp = y + £> 0,函數(shù)5r）= 一 J _制-_予+號十j當(dāng)£<0時只有一個正零點(diǎn)廠當(dāng)£>0時有兩個正零點(diǎn)廠口<2.又叫莠|=°，故當(dāng)珂取刃 滿足定理條件時迭代 所產(chǎn)生的序列g(shù) 當(dāng) Y0時，收做于式在b（u u片斑圜 n7:E-< -j-T| 維普資訊 h ttp:/27謫正aBroyden方袪的收散茱件D中的唯一零點(diǎn).當(dāng)E> 0時收斂于（1）式在班“廣）U> n D屮的唯 零點(diǎn).2 定理的證明首先.我們討論（4）N"式的若干性質(zhì)，引理1設(shè)由（4）式所定丈并滯足定理1的條件，則少在0“上單調(diào)遞

10、增冬U,等號最哆只能在f =t"處取到.證明 直接計算得單調(diào)遞增.且<O） =- L血果U）在2*八）間曲一個零點(diǎn)？.則 少3 ou 6 九 即e在Eo,r 上單調(diào)遞增-但（o> = > so廣> -<i,故在 心" > 間存在另一零點(diǎn).這與廠的意義矛盾！引理得證.引理2 令3“由（式所定義，若 弧門講足定理1的條件則由（“式產(chǎn)主的序列"計單調(diào) 增加收斂于廣.證明 由引理1 當(dāng)u</<r時.3 Lah )<1w =賞(燈鼻(L J u1 2 Lu ）d（/ > 1 Jr- 故“）在。才上有定義+由|上也&

11、gt;dw1 一 2| A<y）dw （1 - 2| Hd*）J_ III得在Of上單調(diào).于是若0 < ft<r 則6 < h+i =（ < 埶廣> 由數(shù)學(xué)歸納法及門的連續(xù)性.引理得證.記F* (u + &(,v u)J巴（/>沖）=，（護(hù)+弘燈一戶）p內(nèi) R,IU III引理3 設(shè)U V尸V / < r V滿足II U J*h | M f,| V .T(l | < 5.廠.| V 一 U i| 農(nóng)廠 zv V | W E $、 這里尺由定理1所定義.若F(P滿足定理L的條件*則I F't J*d )' JF(U )

12、 | M證明 記Gm= I lAuu.當(dāng)0 < < 1時有d ll'| M + g( 1/ U、 J7 | + F、< R *II tl &(V if J i； | + | ( 1 一 U) XT ) |! W $ + &(f 由O式|! F" (、TfJ TF* (M 十 0ztr V ) F' tu +一 w) J II M+ | < 1 i*> | )一 G( fl w + (v u)G | 1/ + “(匚r if )2B浙江大孚學(xué)報I理學(xué)版）第藥卷G（s + 8i 一 5） 一 G（r + 枇$ 一 r）>

13、 = 心 + 一 jB 一 您“一 m.依J嚴(yán)幾，的構(gòu)造，引理得證.定理1的證陰首先證明C5）式易知當(dāng)左=0時佔式為真假設(shè)對于所式成立則II - - -Ta II W 九 V 廣.T"由引理 3 及.幾一民=C J） + Bir_ |） | I :; , " | I" 一買IIW v Rw（>見文獻(xiàn)口幾歸納可證II raoru. 一 艮| 筮幾“必知）.（9）又F（X-i）= F（x,+ J -鳳3+i -齊）= BjCr卄】wJ .10）故1 F（磯廠FCr卄J | C II r（jru）（A - £fj | 不+ 斗 | W（匚 M.+l ）（

14、如十 1 rj =（/” + e©（fj -a仏亠）2 眠!仏+ 1）帆比）+ <*+L 匚唱仏©（人亠 J 才end* + M仏+1 Q ） e u仏）L f J V。仏+"Cll）又由R小一J" = （./n &）（ I -誓+得iliru.）-,-沖環(huán) II ruori - jj p + 11 FgLix 序（心門 | w2J叫心“匚亠J = 2G 十0（臨+ 1 （）dS忑Jo2G（如聞 =?J： "從町血 V 1*依Banach引理*II arMJB,+ l）- ' | 益V （12）1 目 * Hu）dti結(jié)合

15、Cll ）,（12）式得| r*-觀+i | W | （滬（航-出“-】| iifujtfU,| Cg + J 一 - ._ *戸g十n=4-1 *1 一 目;Uli這說期當(dāng)點(diǎn)=卉十1時M5）式亦咸立.掖歸納法心）式對任何 心。成立.由引理2,3 J- EET而訂用.tNm幾=才.竹1）式中皆川一 s得列才=由（1O）J11）式仿照12式，甲亠XII F5LF5+lM iiFgLg幾| | craywyL | Hrcxj-j | <3EKJ777|維普贄訊 nw|第1期黃正達(dá):Brcyden方志的收斂條件29如"）r +1| f心 mj |1 2£(r)d«

16、,、II F,| jpp”_ !| J7 / - 1 II整理得仍式定理1得證" 定理2的證明Ft.Fi = o.則 m 了；f n. |II r（z,）1 f、+ eG -丄由題設(shè)*心 在（o.T）內(nèi)恒負(fù)若m匚e頁云J u Rg、T n寧一孔|7； < 7 .因此當(dāng)0V日V 時.Liu)d« ££ e( 7"7,】+ 1 <Z 1.由Banach引理* |園5） LFr < j-'創(chuàng)_r 才° ）d6可逆，從而方程“ nI十 x* Jd(7 才=Fm F<-r' ) = 0有唯一解x j

17、9; =0 +即j- = -r證畢"定理3的證朋 設(shè)m 7 E禺兀誌）u日（卄廠“丿n D,趴j F（了） 0.記<,=|一亠| J =0.：心 由武所產(chǎn)生令憐“）=3U> P作迭代卜* =k = 0* 11 '*»h 6 Eo./" >.則由 z 在U.L"）中的單調(diào)性及其凸性*歸納可證r . v S“ S" h（lim Si4-* »仿(11) I ()式的證明可得若=in十Sj +中就環(huán))t'i 11 汪1 一 2(14)(15)又 3 /' it '1 , s. t. (中)=

18、仏 即3( Littidtf = 0,故當(dāng)£ = i：時*2 Lili )du A 1 J I)21 £( u )d« = » k = 0,1.'*-J mJ成立.從而由M5）式得譏一冬回齢十* > 典,勺幾&t. j 4竜申(巧 十p*)用=0*1*+| =與阿幾& = U、1.依上式歸納得0 異 * i 十 Ci+ < tfj_( <t .< 1-t)式.lim w. = f * 故 lini g = ii 即芒=x'.證畢.令TC f1 DEXN1S Jk J E. (Jn the cnver

19、gfinee of HmAden's rrkrihurl for nonJincar systems of equationsLJl' MalhrmMl）- / II = | pyFj十皿一工、一f吐門 | cic» uf Computation. 1 "1,25< 115) ；559367»叮 李比弊 對于Broyden方祓和Schubert方袪Kantorovich勒分析朗一些改迸J)工程數(shù)學(xué)學(xué)報"9肺胡(1)： 135-138.LI Ciuang-ye. Son* improvements on the Kantorovich

20、 type analysis ol Broydrn's and Schuberths methods J. Jnurnjil of Enpineerinp Mathcmslics-198512(1 )： 135 138.Ci SMALE S. Newton met hod estimates from date nt one point LA- Tbt Merging uf Discipllaca ± New Directions in Pure. Applied id CompuULlional Mathematics_C1. New York : Spring. 1986

21、- lft5"196-EC 王興華韓丹耒點(diǎn)怙計中的優(yōu)序列方法W S Smsk定理的條件和結(jié)論的最ffiftLJJ.中科拿A輯人 l&8A,32<9h9O5-51S.WAX( Xinfi-hma* HAN Dan-fu. On dominating sequejice method in the point estimate and Smale th?nrem IJ. Science in Chinn<Edhwn A) i 1989320 ：905 &13，E5王徳U*超鳳光.再論Brnyden方法的收斂性Jl «學(xué)年刊.】993】狎一349.WA

22、N(i Ik-rpn ZHA() Feng gunng. A furiher discus Man on con vvr gene? of the Hroyden method LJ T Clii* nese Annal of Mathematics 199314A3>i341 349.M黃正達(dá)*洪滅.謁條件下Hroy血n方法的收斂性J丄杭用大學(xué)學(xué)報(胃橫科學(xué)版九W胡亡5(® ：6-H. HI.JANC heng-da T HONG Ho” l)n rhe convergence of Broyden method under a weak condition J . Journal uf Han算mIkmi UniversJty (Nalure Sdtnce Kdition) 199S J) ：6 1 LL7J壬興華.弱條件下HdJky康選代的收斂性!：J1 14學(xué)罐報199了，4£("：119一121.WAN&l