2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程優(yōu)秀(公開(kāi)課)PowerPoint 演示文稿

1、2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程仙女座星系星系中的橢圓星系中的橢圓 2F1F MM 一、橢圓的定義：一、橢圓的定義： 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)的距離的和等于常數(shù)（大于（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的橢圓的焦點(diǎn)焦點(diǎn)(F1、F2 )，兩焦點(diǎn)的距離叫做兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的橢圓的焦距焦距|F1F2|.1、橢圓的定義：、橢圓的定義： 平面內(nèi)到平面內(nèi)到兩兩個(gè)定點(diǎn)個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之的距離之和和等于等于常常數(shù)數(shù)（大于（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓橢圓。 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢

2、圓的焦點(diǎn)焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的叫做橢圓的焦距焦距。1F2FM幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：1、F1、F2是是兩個(gè)不同的點(diǎn)兩個(gè)不同的點(diǎn)；2、M是橢圓上任意一點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，且，且|MF|MF1 1| + |MF| + |MF2 2| = | = 常數(shù)常數(shù)；3、通常這個(gè)通常這個(gè)常數(shù)常數(shù)記為記為2a，焦距焦距記為記為2c，且，且2a2c；4、如果如果2a = 2c，則，則M點(diǎn)的點(diǎn)的軌跡是線段軌跡是線段F1F2.5、如果如果2a |F1F2|=4，故點(diǎn)，故點(diǎn)M的軌跡為的軌跡為橢圓。橢圓。因因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故點(diǎn)，故點(diǎn)M的軌跡的軌跡不是橢圓不是橢圓 (是線

3、段是線段F1F2)。，故點(diǎn)M的軌跡為橢圓，故點(diǎn)M的軌跡為橢圓2 22 2| |F FF F| |3 3| |MFMF| | |MFMF| |因因2 21 12 21 1 (3)到到F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為的距離之和為3的點(diǎn)的軌跡。的點(diǎn)的軌跡。因因|MF1|+|MF2|=4|F1F2|=4，故點(diǎn)故點(diǎn)M的軌跡不存在。的軌跡不存在。如圖，建立直角坐標(biāo)系如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，使使x軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1、F2，并且，并且點(diǎn)點(diǎn)O與線段與線段F1F2的中點(diǎn)重合的中點(diǎn)重合.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M(x, y)是橢圓上任一點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，橢圓的焦距為橢圓的焦距為2c(c0). 焦點(diǎn)焦點(diǎn)F1、F2

4、的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是 (c, 0)、(c, 0)又設(shè)又設(shè)M與與F1和和F2的距離的和等于常數(shù)的距離的和等于常數(shù)2a|MF1|MF2|2a2. 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：講授新課講授新課OXYF1F2M如圖所示：如圖所示： F1、F2為兩定為兩定點(diǎn)，且點(diǎn)，且|F1F2|=2c，求平面，求平面內(nèi)到兩定點(diǎn)內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2距離之距離之和為定值和為定值2a（2a2c)的動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡方程。的軌跡方程。 解：以解：以F1F2所在直線為所在直線為X軸，軸， F1F2 的中的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則焦點(diǎn)點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(-c

5、,0)、 (c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y) 設(shè)設(shè)M（x,y)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則則:|MF1|+ |MF2|=2aaycxycx2)()(:2222即OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)兩邊平方得：兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因?yàn)橐驗(yàn)?a2c，即，即ac，所以，所以a2-c20，令，令a2-c2=b2，其中，其中b0，代入上式可得：，代入上式可得：12222byax2222)(2)(ycxaycx所以2222222)()(44)( :

6、ycxycxaaycx兩邊平方得222)(:ycxacxa即b2x2+a2y2=a2b2兩邊同時(shí)除以兩邊同時(shí)除以a2b2得：得：(ab0)這個(gè)方程叫做這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓的它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x 軸上。軸上。(ab0).12222byax橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：是是F1(c, 0)、F2(c, 0)，且，且c2a2b2.它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)軸上，焦點(diǎn)講授新課講授新課oyx 1F 2F),(yxP 講授新課講授新課 如果使點(diǎn)如果使點(diǎn)F1、F2在在y軸上，點(diǎn)軸上，點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是F1(0,c)、F

7、2(0, c)，則橢圓方程為：則橢圓方程為：(ab0).12222 bxayoyx 1F 2F),(yxP oyx 2F 1F ),(yxP12222 byax12222 bxay如何根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？如何根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？ 橢圓的方程 012222 babyax與與 222210yxabab 橢圓的焦點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)在x軸上軸上 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大；項(xiàng)的分母較大； 橢圓的焦點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)在y軸上軸上 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大項(xiàng)的分母較大橢圓的方程aA1yOF1F2xB2B1A2cb橢圓方程的幾何意義：橢圓方程的幾

8、何意義：xyo1F2F0 12222babyax橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義定義圖形圖形方程方程焦點(diǎn)焦點(diǎn)a、b、c之之間的關(guān)間的關(guān)系系 0 12222 babyax 0 12222 baaybxF1F2MyxOyxOMF1F2|MF1|+|MF2|=2a (2a|F1F2|)(c,0)、( c,0)(0,c)、(0, c)b2=a2 c2分母分母哪個(gè)哪個(gè)大大，焦點(diǎn)焦點(diǎn)就在哪一根就在哪一根坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸上上 1169144222 yx）11625122 yx）答答:在在 x 軸上軸上(-3,0)和和(3,0）答答:在在 y 軸上軸上(0,-5)和和(0,5）1132222 mymx）答答:在在

9、y 軸上軸上(0,-1)和和(0,1)焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。判定下列橢圓的焦點(diǎn)在判定下列橢圓的焦點(diǎn)在 哪個(gè)軸上，寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)。哪個(gè)軸上，寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)。寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) a =4，b=1，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在 x 軸軸上上； (2) a =4，b=1，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上； 11622 yx11622yx11622yx或例、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是例、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(4, 0 )、( 4 , 0 )，橢圓上一點(diǎn)橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于到兩焦點(diǎn)距離之和等于10,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 12yoFFMx解：解： 橢圓的焦點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)在x軸上軸上設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: 1=by+ax22221=9y+25