《用樣本估計(jì)總體(一)》教案

1、用樣本估計(jì)總體【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學(xué)會(huì)列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖.2 .通過實(shí)例體會(huì)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征，從而恰當(dāng)?shù)剡x擇上述方法 分析樣本的分布，準(zhǔn)確地做出總體估計(jì).3 .正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差4 .能根據(jù)實(shí)際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并做出合理的解釋.5 .會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、頻率分布的概念頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小.一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布.其一般步驟為

2、：1 .計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差2 .決定組距與組數(shù)3 .將數(shù)據(jù)分組4 .列頻率分布表5 .畫頻率分布直方圖要點(diǎn)詮釋：頻率分布直方圖的特征：1 .從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢2 .從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了 .要點(diǎn)二、頻率分布折線圖、總體密度曲線1 .頻率分布折線圖的定義：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖2.總體密度曲線的定義：在樣本頻率分布直方圖中，樣本容量越大，所分組數(shù)越多，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線要點(diǎn)詮釋：

3、總體密度曲線能夠精確地反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比，它能給我們提供更加精細(xì)的信息，能夠精確的反映一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律要點(diǎn)三、莖葉圖當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè) 位數(shù)，即第二個(gè)有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出來的葉子，因此通 常把這樣的圖叫做莖葉圖.要點(diǎn)詮釋：莖葉圖的特征：(1)用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是在統(tǒng)計(jì)圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄，隨時(shí)添加，方便記錄與表示(2)莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)

4、，兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒有表示兩個(gè)記錄那么直觀，清晰 要點(diǎn)四、眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)1 .眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).如果變量是分類的，用眾數(shù)是很有必要的.例如班委會(huì)要作出一項(xiàng)決定，考察全班同學(xué)對(duì)它贊成與否就可以用眾數(shù)2 .中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間數(shù)據(jù)(或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做中位數(shù).中位數(shù)把樣本數(shù)據(jù)分成了相同數(shù)目的兩部分 .3 .平均數(shù)1樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即X-1(X1 X2 IH Xn).n要點(diǎn)詮釋：由于眾數(shù)僅能刻畫某一數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)較多，中位數(shù)對(duì)極端值不敏感，而平均數(shù)又受極端值左右，因此這些因素制約了僅依賴這些數(shù)字特征來估計(jì)總體數(shù)字特征的準(zhǔn)確

5、性要點(diǎn)五、標(biāo)準(zhǔn)差與方差1.標(biāo)準(zhǔn)差樣本數(shù)據(jù)Xi,X2, HI, Xn的標(biāo)準(zhǔn)差的算法：算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)X.(2)算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差：xi-X(i=1, 2,|, n)算出(2)中X X(i =1, 2,|, n)的平方.(4)算出(3)中n個(gè)平方數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差 .(5)算出(4)中平均數(shù)的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方 分散程度的工具：2s (即方差)來代替標(biāo)準(zhǔn)差，作為測量樣本數(shù)據(jù)12(X1 - X) nx)22III (Xn - X)要點(diǎn)詮釋：在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上, 準(zhǔn)差.數(shù)據(jù)的離散值程度可以用極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的

6、,方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小; 據(jù)對(duì)平均數(shù)的離散程度.但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo).極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度；樣本樣本方差的算術(shù)根表示樣本的標(biāo)準(zhǔn)差,它也描述了數(shù)【典型例題】類型一：頻率分布表、頻率分布直方圖例1.在學(xué)校開展的綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某班進(jìn)行了小制作評(píng)比，作品上交時(shí)間為日，評(píng)委會(huì)把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖5月1日至30(如下圖所示).已4： 1,第三組的頻數(shù)為12,請(qǐng)解答下列問題:(1)本次活動(dòng)共有多少件作品參加評(píng)比？(2)哪組上交的作品數(shù)最多？有多少件？問這兩組哪組獲獎(jiǎng)率較高?(3)經(jīng)過評(píng)比，第四組和第六組分別有

7、10件、2件作品獲獎(jiǎng),【答案】(1) 60 (2)四組18 (3)六組【解析】(1)依題意知第三組的頻率為第三組的頻數(shù)為12, 12本次活動(dòng)的參評(píng)作品數(shù)為 =60件).1 5(2)根據(jù)頻率分布直方圖，可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多，共有60=18 (件).105(3)第四組的獲獎(jiǎng)率是 =5,1891第六組上交的作品數(shù)量為 60 M1= 3 (件)，2 3 4 6 4 1第六組的獲獎(jiǎng)率為 2 =-. 3 9顯然第六組的獲獎(jiǎng)率較高.【總結(jié)升華】弄清所求問題是什么，并正確地運(yùn)算是做對(duì)題的關(guān)鍵. 本題主要考查同學(xué)們對(duì)頻 率分布直方圖的理解，只有熟悉它的特征，才能清楚數(shù)據(jù)分布的總體趨勢，根據(jù)直方圖反映

8、的信息正確解題.舉一反三：【變式1】某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取 200名，并統(tǒng)計(jì)這200名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖(如下圖所示).根據(jù)頻率分布直方圖推測，這 3000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績小于 60分的學(xué)生數(shù)是 .例2.閱高考試卷有一個(gè)環(huán)節(jié)叫“試批”.某省為了了解和掌握考生的實(shí)際答卷情況，隨機(jī)地抽取了 100名考生的數(shù)學(xué)成績，數(shù)據(jù)如下(單位：分) ： 135 98 10211099 12111096 100103125 97 117113110 92102109 104112105 124 8713197 102123104 1

9、04128109 123 111 103 105 92 114 108 104 102 129 126 97 100 115 111 106 117 104 109 111 89 110 121 80 120 121 104 108 118 129 99 90 99 121 123 107 111 91 100 99 101 116 97 102 108 101 95 107 101 102 108 117 99 118 106 119 97 126 108 123 119 98 121 101 113 102 103 104 108(1)列出頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖和折線圖；(3

10、)估計(jì)該省考生數(shù)學(xué)成績在100120分之間的比例；(4)設(shè)該省有20萬考生，估計(jì)該省考生數(shù)學(xué)成績不及格的人數(shù)(滿分 150分，90分及以上 視為及格)；(5)根據(jù)折線圖估計(jì)該省考生的數(shù)學(xué)成績在哪一個(gè)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)將會(huì)最多.【思路點(diǎn)撥】理解頻率分布直方圖的具體含義【解析】100個(gè)數(shù)據(jù)中，最大值為 135,最小值為80,極差為135 80=55.,極差 55把100個(gè)數(shù)據(jù)分成11組，這時(shí)組距=示1 =55=5.(1)頻率分布表如下:分組頻數(shù)頻率頻率組距80 , 85)10.010.00285 , 90)20.020.00490 , 95)40.040.00895 , 100)140.140.0281

11、00 , 105)240.240.0481105 , 110)150.150.030110 , 115)120.120.024115 , 120)90.090.018120 , 125)110.110.022125 , 130)60.060.0121130 , 13520.020.004合計(jì)10010.2，, 頻率，、，、一、一，、一，注：表中加上“二二” 一列，這是為畫頻率直方圖準(zhǔn)備的，因?yàn)樗穷l率直方圖的縱坐標(biāo).(2)根據(jù)頻率分布表中的有關(guān)信息畫出頻率分布直方圖及折線圖，見下圖.(0.60=60 %).(4) 100名考生中，數(shù)學(xué)成績不及格的頻率為0.01+0.02=0.03 .比例為3%

12、.200000 X 3%=6 000 (人).估計(jì)該省考生數(shù)學(xué)成績不及格的有6000人.(5)折線圖的最高點(diǎn)位于100105之間，據(jù)此估計(jì)該省考生的數(shù)學(xué)成績在100105分這個(gè)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)將會(huì)最多.【總結(jié)升華】本例中，決定分點(diǎn)時(shí)，直接使用了最小值加組距，即 80+5k (k=1, 2,，11), 而沒有把最小值減去某一個(gè)數(shù)(例如 80 0.5=79.5 )作為第1個(gè)分點(diǎn)，這是因?yàn)?100個(gè)分?jǐn)?shù)是明 確的，即它們都在 80135之間.凡事都要具體問題具體分析，不可教條化.本例是把5分看成一個(gè)分?jǐn)?shù)段，統(tǒng)計(jì)各段的情況.舉一反三：組距【變式1】一個(gè)容量為20的樣本，分組后，組距與頻數(shù)如下10, 20

13、, 2; (20, 30, 3; (30,40 , 4; (40, 50 , 5;(50, 60 , 4; (60, 70 , 2,則樣本在(8,50上的頻率為(【解析】710根據(jù)頻率的計(jì)算公式頻率頻數(shù)樣本容量求解.頻率=235二里 2 3 4 5 4 2 20710【變式2】對(duì)某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下:壽命/ h100200200300300400400500500600個(gè)數(shù)2030804030(1)列出頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計(jì)該電子元件壽命在 100400 h以內(nèi)的占總體的比例;(4)估計(jì)該電子元件壽命在 400 h以上的在總體中占的比例.(1)樣本頻率

14、分布表如下:壽命/ h頻數(shù)頻率100200200.1020030030040400500400.20500600300.15合計(jì)2001(2)頻率分布直方圖如下圖所示；A頻率1 Hje0,005 0.004 卜-1仇0.002 卜i。沖一rTTT 口 .0 §9看小序$壽命布(3)估計(jì)該電子元禰看命;在 100400 h以內(nèi)占總體的比例為 65%;(4)估計(jì)該電子元件壽命在 400 h以上的在總體中占的比例為 35%. 類型二：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)例3.據(jù)報(bào)道，某公司的 33名職工的月工資(以元為單位)如下:職務(wù)董事長:副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)1

15、1215320工資(元)5500500035003000250020001500(1)求該公司人員月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)； (精確到元)(2)假設(shè)副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從 5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？(精確到元)(3)你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司人員的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法.【思路點(diǎn)撥】理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念.【答案】(1) 2091 1500 1500(2) 3288 (3)中位數(shù)和眾數(shù)【解析】(1)平均數(shù)是4000 3500 2000 2 1500 1000 5 500 3 0 20

16、x =1500 1500 591 : 209133(元)，中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元.(2)平均數(shù)是x'=150028500 18500 2000 2 1500 1000 5 500 3 0 2033：1500 1788 =3288(元)，中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元.(3)在這個(gè)問題中，中位數(shù)和眾數(shù)均能反映該公司人員的工資水平.因?yàn)楣局猩贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個(gè) 公司人員的工資水平.【總結(jié)升華】 (1)深刻理解和把握平均數(shù)、中 位數(shù)、眾數(shù)在反映樣本數(shù)據(jù)上的特點(diǎn)， 結(jié)合實(shí)際情況， 靈活運(yùn)用.(2)

17、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)三者比較，平均數(shù) 更能體現(xiàn)每個(gè)數(shù)據(jù)的特征，它是各數(shù)據(jù)的重心.舉一反三：頻率/組距o90100 110 120 130 140 150 次數(shù)【變式1】為了了解高一學(xué)生的體能情況， 某校 抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試， 將所得數(shù)據(jù) 整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右 各小長方形面積之比為 2: 4: 17: 15: 9: 3,第二 小組頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？在這次測試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個(gè)小組內(nèi)？請(qǐng)說明理由在頻率分布直方圖中，各小

18、長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長方形的高與頻數(shù)成正比, 各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于 1.【答案】(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為：=0.082 4 17 15 9 3又因?yàn)轭l率第二小組頻數(shù)樣本容量所以樣本容量第二小組頻數(shù)第二小組頻率12二1500.08(2)由圖可估計(jì)該學(xué)校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為17 15 9 32 4 17 15 9 3100% =88%(3)由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6, 12, 51, 45, 27, 9,所以前三組的頻數(shù)之和為69,前四組的頻數(shù)之和為114,所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi).類型

19、三：方差、標(biāo)準(zhǔn)差例4.在一次科技知識(shí)競賽中，兩組學(xué)生的成績?nèi)缦卤恚悍謹(jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組4416121212已經(jīng)算得兩個(gè)組的平均分都是80分.請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，進(jìn)一步判斷這兩個(gè)組在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰劣，并說明理由.【解析】 (1)甲組成績的眾數(shù)為 90分，乙組成績的眾數(shù)為 70分，從成績的眾數(shù)比較看，甲 組成績好些.(2) s2 =12(50 80)2+5(60 80)2+10(70 80) 2+13(80 80) 2+14(902 5 10 13 14 6 80)2+6(100 80)2= (2 X 900+5X 400+10 X 100+1

20、3 X 0+14 X 100+6 X 400)=172 ,5021，CCC_ _. _ _ c C /C "Cc C電=一 (4 X 900+4X 400+16- 100+2X 0+12X 100+12X400)=256 .50.22, s甲 < 包，甲組成績較乙組成績穩(wěn)定，故甲組成績好些.(3)甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中，甲組成績在80分以上的有33人，乙組成績在80分以上的有26人，從這一角度看，甲組的成績總體較好.(4)從成績統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績大于或等于90分的人數(shù)為14+6=20 (人)，乙組成績大于或等于90分的人數(shù)為12+12=24 (人)，乙組

21、成績集中在高分段的人數(shù)較多，同時(shí)，乙組得滿分的 人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人，從這一角度看，乙組的成績較好【總結(jié)升華】要正確解答這道題，首先要抓住問題中的關(guān)鍵詞語. 全方位地進(jìn)行必要的計(jì)算， 而不能習(xí)慣地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績好，像這樣的實(shí)際問題還得從實(shí)際的角度去分析，如本例的“滿分人數(shù)”；其次要在恰當(dāng)?shù)卦u(píng)估后，組織好正確的語言作出結(jié)論.舉一反三：【變式1】甲、乙兩臺(tái)機(jī)床在相同的技術(shù)條件下，同時(shí)生產(chǎn)一種零件，現(xiàn)在從中抽測10個(gè)，它們的尺寸分別如下(單位：mm) 甲機(jī)床：10.210.110.09.89.910.39.710.09.910.1乙機(jī)床：10.310.49.69.910

22、.110.98.99.7 10.210.0分別計(jì)算上面兩個(gè)樣本的平均數(shù)和方差.如圖紙規(guī)定零件的尺寸為10 mm,從計(jì)算的結(jié)果來看哪臺(tái)機(jī)床加工這種零件較合適？【解析】- 1.C-八 1x 甲=一(10.2 +10.1 +10.1) = M 100 =10,1010- 1 /、1x 乙=一 (10.3+10.4+10)= 父10=10.1010 s: = 1 110.210)2 +(10.1 -10)2 + (10.110)2 0.03 mm210sI =110.3 10)2 +(10.410)2 +(1010)2 1=0.06 mm2.10''' S甲 v s用甲機(jī)床比乙機(jī)床穩(wěn)定，即用甲機(jī)床加工較合適類型四：莖葉圖例5.某中學(xué)高二(2)班甲、乙兩名學(xué)生自進(jìn)入高中以來，每次數(shù)學(xué)考試成績情況如下：甲：95, 81, 75, 91, 86, 89, 71, 65, 76, 88, 94, 110, 107;乙：83, 86, 93, 99, 88, 103, 98, 114, 98, 79, 78, 106, 101 .畫出兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖對(duì)兩人的成績進(jìn)行比較.【思路點(diǎn)撥】莖葉圖便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù).【答案】乙同學(xué)的成績比較穩(wěn)定【解析】 甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖如圖所示.5 66