高二數(shù)學(xué)人教A版選修21學(xué)案2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、2.2 橢圓一、橢圓的定義活動與探究1已知命題甲：動點p到兩定點a，b的距離之和|pa|pb|2a，其中a為大于0的常數(shù)；命題乙：p點軌跡是橢圓，則命題甲是命題乙的( )a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分又不必要條件遷移與應(yīng)用1下列說法中準(zhǔn)確的是( )a已知f1(4,0)，f2(4,0)，到f1，f2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓b已知f1(4,0)，f2(4,0)，到f1，f2兩點的距離之和為6的點的軌跡是橢圓c到f1(4,0)，f2(4,0)兩點的距離之和等于點m(5,3)到f1，f2的距離之和的點的軌跡是橢圓d到f1(4,0)，f2(4,0)兩點距離相等的點的

2、軌跡是橢圓2橢圓1上一點p到其一個焦點的距離為3，則p到另一焦點的距離為_由橢圓的定義可知，點的集合pm|mf1|mf2|2a(其中|f1f2|2c)表示的軌跡有三種情況：當(dāng)ac時，軌跡為橢圓；當(dāng)ac時，軌跡為線段f1f2；當(dāng)ac時，軌跡不存有在利用橢圓的定義判斷相關(guān)點的軌跡問題時一定要注意所給常數(shù)與已知兩定點之間距離的大小關(guān)系二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程活動與探究2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點坐標(biāo)分別是(3,0)，(3,0)，橢圓經(jīng)過點(5,0)；(2)兩個焦點坐標(biāo)分別是(0,5)，(0，5)，橢圓上一點p到兩焦點的距離之和為26；(3)中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過a(，2)和

3、b(2，1)兩點遷移與應(yīng)用1已知橢圓焦點在x軸上，且a4，c2，則橢圓方程為( )a1 b1c1 d12已知橢圓過點p和點q，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟是先定型，后計算所謂定型，就是確定方程的類型，即確定橢圓的焦點所在的坐標(biāo)軸，從而可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；計算就是求解a2與b2的值另外采取設(shè)橢圓方程的一般形式的方法，能夠避免討論，當(dāng)已知橢圓經(jīng)過的兩個點的坐標(biāo)時常采用這種方法三、焦點三角形活動與探究3已知p為橢圓1上一點，f1，f2是橢圓的焦點，f1pf260°，求f1pf2的面積遷移與應(yīng)用1橢圓的焦點為f1，f2，點p在橢圓上若|pf1|=4，則|pf2|=_，f1pf

4、2的大小為_2已知橢圓的方程為1，橢圓上有一點p滿足pf1f290°(如圖)求pf1f2的面積1橢圓上一點p與橢圓的兩焦點f1，f2構(gòu)成的f1pf2稱為焦點三角形，解關(guān)于橢圓中的焦點三角形問題時要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識2焦點三角形的周長等于2a2c答案：課前·預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1距離的和焦點焦距預(yù)習(xí)交流1：提示：在橢圓定義中，要求常數(shù)應(yīng)該大于兩定點f1，f2之間的距離，這是一個非常重要的條件如果常數(shù)等于|f1f2|，動點的軌跡應(yīng)是一條線段；如果常數(shù)小于|f1f2|，其軌跡將不存在在應(yīng)用橢圓定義判斷動點軌跡時務(wù)必注意這一隱含條件21(

5、7;c,0)預(yù)習(xí)交流2：提示：給出一個橢圓方程1(其中m0，n0，mn)，判斷該橢圓焦點所在的坐標(biāo)軸時，可用如下方法：橢圓的焦點在x軸上mn；橢圓的焦點在y軸上mn，這是判斷橢圓焦點所在坐標(biāo)軸的重要方法課堂·合作探究【問題導(dǎo)學(xué)】活動與探究1：思路分析：利用橢圓定義，結(jié)合充要條件定義作出判斷b解析：若p點軌跡是橢圓，則一定有|pa|pb|2a(a0，為常數(shù))所以甲是乙的必要條件反過來，若|pa|pb|2a(a0，為常數(shù))，當(dāng)2a|ab|時，p點軌跡是橢圓；當(dāng)2a|ab|時， p點軌跡是線段ab；當(dāng)2a|ab|時，p點的軌跡不存在，所以甲不是乙的充分條件綜上，甲是乙的必要不充分條件遷移與

6、應(yīng)用：1c解析：a中常數(shù)8|f1f2|，b中常數(shù)6|f1f2|，所以軌跡都不是橢圓；可計算c中常數(shù)等于4|f1f2|，符合橢圓定義，軌跡是橢圓；d中點的軌跡應(yīng)該是一條直線，故選c 27解析：設(shè)f1，f2為橢圓的兩焦點，且a225，即a5又|pf1|pf2|2a10，設(shè)|pf1|3|pf2|7，即p到另一焦點的距離為7活動與探究2：解：(1)橢圓的焦點在x軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)2a10,2c6，a5，c3b2a2c216所求橢圓方程為1(2)焦點在y軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)2a26,2c10，a13，c5b2a2c2144所求橢圓方程為1(3)方法一：當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)橢圓的

7、標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，依題意，有解得所求橢圓的方程為1當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)依題意，有解得ab，不合題意，所求橢圓的方程為1方法二：設(shè)所求橢圓方程為ax2by21(a0，b0且ab)，依題意，得解得所求標(biāo)準(zhǔn)方程為1遷移與應(yīng)用：1b解析：依題意a216，b2a2c216412，又焦點在x軸上，所以橢圓方程為12解：設(shè)所求橢圓方程為ax2by21(a0，b0，ab)，則有解得故此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21活動與探究3：思路分析：由|pf1|·|pf2|·sinf1pf2可知，只要求得|pf1|·|pf2|即可，而|f1f2|是已知的，可結(jié)合余弦

8、定理求得|pf1|·|pf2|解：如圖所示，在pf1f2中，|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|·|pf2|cos 60°，即25|pf1|2|pf2|2|pf1|·|pf2|由橢圓的定義得10|pf1|pf2|，即100|pf1|2|pf2|22|pf1|·|pf2|由得|pf1|·|pf2|25，所以|pf1|·|pf2|·sin 60°遷移與應(yīng)用：12120°解析：如題圖，|pf1|pf2|2a6，|pf2|6|pf1|2在f1pf2中，cosf1pf2，f1pf2120&#

9、176;2解：由已知得a2，b，所以c1從而|f1f2|2c2在pf1f2中，由勾股定理可得|pf2|2|pf1|2|f1f2|2，即|pf2|2|pf1|24又由橢圓定義知|pf1|pf2|2×24，所以|pf2|4|pf1|從而有(4|pf1|)2|pf1|24解得|pf1|所以pf1f2的面積s|pf1|·|f1f2|××2當(dāng)堂檢測1已知定點f1，f2，且|f1f2|8，動點p滿足|pf1|pf2|8，則動點p的軌跡是()a橢圓 b圓c直線 d線段答案：d解析：由于|pf1|pf2|f1f2|，所以動點p的軌跡不是橢圓，而是線段f1f22若p是以f

10、1，f2為焦點的橢圓上一點，則三角形pf1f2的周長等于()a16 b18 c20 d不確定答案：b解析：依題意a5，c4，所以pf1f2的周長是|pf1|pf2|f1f2|2a2c108183已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是()a9m25 b8m25c16m25 dm8答案：解析：由于橢圓的焦點在y軸上，所以解得8m254已知f1，f2為橢圓的兩個焦點，過f1的直線交橢圓于a，b兩點，若|f2a|f2b|12，則|ab|_答案：8解析：由橢圓的定義得|af1|af2|2a10，|bf1|bf2|2a10，|af1|af2|bf1|bf2|20又|f2a|f2b|12，|ab|af1|bf1|85一個動圓與已知圓q1：(x3)2y21外切，與圓q2：(x3)2y281內(nèi)切，試求這個動圓圓心的軌跡方程答案：解：由已知兩定圓的圓心和半徑分別為q1(3,0)，r11；q2(