函數(shù)展開成冪級數(shù)高教課堂

1、第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)1教育教學一、問題的提出一、問題的提出1.1.設(shè)設(shè))(xf在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,則有則有2.2.設(shè)設(shè))(xf在在0 x處可導處可導, ,則有則有例如例如, , 當當x很小時很小時, , xex 1 , , xx )1ln( )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下圖）（如下圖）)()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 2教育教學xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 3教育教學不足不足:問題問題:尋找函數(shù)尋找函數(shù))(xp, ,使得使得)()(xpxf 誤差誤差 )()()(xp

2、xfxr 可估計可估計1、精確度不高；、精確度不高； 2、誤差不能估計、誤差不能估計.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在含有在含有0 x的開區(qū)間的開區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階導數(shù)階導數(shù), ,)(xp為多項式函數(shù)為多項式函數(shù)nnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 誤差誤差 )()()(xpxfxrnn 4教育教學二、二、np和和nr的確定的確定0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxpn )()(00 xfxpn )()(00 xfxpn 2.若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來越好近似程度越來越好1.若在若在 點相

3、交點相交0 x5教育教學假設(shè)假設(shè) nkxfxpkkn, 2 , 1)()(0)(0)( ),(00 xfa 代入代入)(xpn中得中得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn 6教育教學三、泰勒三、泰勒(taylor)(taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(taylor)(taylor)中值定理中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在含有在含有0 x的某個開區(qū)間的某個開區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到) 1

4、( n階的導數(shù)階的導數(shù), ,則則當當x在在),(ba內(nèi)時內(nèi)時, , )(xf可以表示為可以表示為)(0 xx 的一個的一個n次多項式與一個余項次多項式與一個余項)(xrn之和之和: : )()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xrxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中其中10)1()()!1()()( nnnxxnfxr ( ( 在0 x與與x之間之間) ). .7教育教學證明證明: : 由假設(shè)由假設(shè), ,)(xrn在在),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階階導數(shù)導數(shù), ,且且兩函數(shù)兩函數(shù))(xrn及及10)( nxx在以在以0 x及及x為端點的為端點的區(qū)間上滿

5、足柯西中值定理的條件區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件, ,得得)()(1()(0011之間之間與與在在xxxnrnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxrxrxxxr0)()()()(0)(000 xrxrxrxrnnnnn8教育教學如此下去如此下去, ,經(jīng)過經(jīng)過)1( n次后次后, ,得得 兩函數(shù)兩函數(shù))(xrn 及及nxxn)(1(0 在以在以0 x及及1 為端點為端點的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件, ,得得0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxrrxnr !1)()()()1(10 nrxxxrnnnn ( (之之間間與與

6、在在nx 0, ,也在也在0 x與與x之間之間) )()(1()(1021022之間之間與與在在 xxnnrnn 9教育教學 nkkknxxkxfxp000)()(!)()(稱為稱為)(xf按按)(0 xx 的冪展開的的冪展開的 n n 次近似多項式次近似多項式 nknkkxrxxkxfxf000)()()(!)()(稱為稱為)(xf按按)(0 xx 的冪展開的的冪展開的 n n 階泰勒公式階泰勒公式 )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxrnnn 則由上式得則由上式得, 0)()1( xpnn)()()1()1(xfxrnnn 10教育教學拉格朗日形式的余項拉格朗日形

7、式的余項 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnmxxnfxr )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxrnnn 皮亞諾形式的余項皮亞諾形式的余項0)()(lim00 nnxxxxxr及及.)()(0nnxxoxr 即即11教育教學注意注意: :1.1. 當當0 n時時, ,泰勒公式變成拉氏中值公式泰勒公式變成拉氏中值公式 )()()()(000之間之間與與在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x, , 在在0與與x之間之間, ,令令)10( x 則余項則余項 1)1()!1()()( nn

8、nxnxfxr 12教育教學)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林麥克勞林(maclaurin)(maclaurin)公式公式13教育教學四、泰勒級數(shù)四、泰勒級數(shù)上節(jié)例題上節(jié)例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在冪級數(shù)在其收斂存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)為和函數(shù)問題問題: 1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成

9、冪級數(shù)在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?14教育教學證明證明即即內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010定理定理 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xu 內(nèi)具有任意階導內(nèi)具有任意階導數(shù)數(shù), , 且在且在)(0 xu 內(nèi)內(nèi)能能展開成展開成)(0 xx 的冪級數(shù)的冪級數(shù), ,即即 nnnxxaxf)()(00 則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開式是唯一的且展開式是唯一的. .15教育教學 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 , 1

10、, 0()(!10)( nxfnann泰勒系數(shù)是唯一的泰勒系數(shù)是唯一的,.)(的展開式是唯一的的展開式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐項求導任意次逐項求導任意次,得得泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)16教育教學 如果如果)(xf在點在點0 x處任意階可導處任意階可導, ,則冪級數(shù)則冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點在點0 x的的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù). .nnnxnf 0)(!)0(稱為稱為)(xf在點在點00 x的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù). .問題問題nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 定義定義泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級數(shù)在收斂區(qū)

11、間是否收斂于f(x)? 不一定不一定.17教育教學 0, 00,)(21xxexfx例如例如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的麥氏級數(shù)為的麥氏級數(shù)為. 0)(),( xs內(nèi)和函數(shù)內(nèi)和函數(shù)該級數(shù)在該級數(shù)在可見可見).()(,0 xfxfs于于的麥氏級數(shù)處處不收斂的麥氏級數(shù)處處不收斂外外除除 在在x=0點任意可導點任意可導,18教育教學定理定理 2 2 )(xf在點在點0 x的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù), ,在在)(0 xu 內(nèi)收內(nèi)收斂于斂于)(xf在在)(0 xu 內(nèi)內(nèi)0)(lim xrnn. .證明（略）證明（略）定定理理 3 3 設(shè)設(shè))(xf在在)(0 xu上上

12、有有定定義義, ,0 m, ,對對),(00rxrxx , ,恒恒有有 mxfn )()(), 2 , 1 , 0( n, ,則則)(xf在在),(00rxrx 內(nèi)內(nèi)可可展展開開成成點點0 x的的泰泰勒勒級級數(shù)數(shù). .19教育教學二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.1.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(mxfrnnn 或或討論討論).(xf斂于斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收20教育教學例例1解解.)(展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)將將xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1

13、)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112, 0 m上上在在,mm xnexf )()(me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于m的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx21教育教學例例2.sin)(的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開成展開成將將xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x22教育教學

14、例例3.)()1()(的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開成展開成將將xrxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 r23教育教學若若內(nèi)內(nèi)在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利用利用24教育教學)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx

15、)(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且兩邊積分兩邊積分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 25教育教學即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2)1 , 1( x牛頓二項式展開式牛頓二項式展開式注意注意: :.1的取值有關(guān)的取值有關(guān)處收斂性與處收斂性與在在 x);1 , 1(1 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為;1 , 1(11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為.1 , 11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為26教育教學有有時時當當,21, 1 )1 , 1()1(1

16、1132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx雙階乘雙階乘27教育教學2.2.間接法間接法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運算四則運算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導逐項求導, 逐項積分逐項積分等方等方法法,求展開式求展開式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxx

17、xnn28教育教學 xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x29教育教學例例4處展開成泰勒級數(shù)處展開成泰勒級數(shù)在在將將141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并求并求的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開成展開成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 x30教育教學xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 31教育教學),

18、(!1! 2112 xxnxxenx)!12() 1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x)!2()1(!41!211cos242nxxxxnn),( xnxnnxxx!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (2211,( 11)1nxxxxx2311( 1),( 11)1nnxxxxxx 231ln(1)( 1),( 11)231nnxxxxxxn （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）32教育教學三、小結(jié)三、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級數(shù)如何求函數(shù)的泰勒級數(shù);2.泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條件泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法.33教育教學思考題思考題什么叫冪級數(shù)的間接展開法？什么叫冪級數(shù)的間接展開法？34教育教學思考題解答思考題解答 從已知的展開式出發(fā)從已知的展開式出發(fā), 通過變量代換、四則運通過變量代換、四則運算或逐項求導、逐項積分等辦法算或逐項求導、逐項積分等辦法,求出給定函數(shù)求出給定函