本科經(jīng)濟數(shù)學(xué)(多元函數(shù)的極限與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)全微分

1、1三、二元函數(shù)的極限三、二元函數(shù)的極限 （第（第196頁定義頁定義2）2說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似3例例4 4 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時，時， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立4例例 求極限求極限 .)sin(li

2、m22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 5例例 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在6（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxP，若若極極限

3、限值值與與k有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在；（2） 找找兩兩種種不不同同趨趨近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但兩兩者者不不相相等等，此此時時也也可可斷斷言言),(yxf在在點點),(000yxP處處極極限限不不存存在在確定極限確定極限不存在不存在的方法：的方法：7定定義義 2 2 設(shè)設(shè)n元元函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域為為點點集集0, PD是是其其聚聚點點，如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ，總總 存存 在在 正正 數(shù)數(shù) ， 使使 得得 對對 于于 適適 合合 不不 等等 式式 |00PP的的 一一 切切 點點DP ， 都都 有有 |

4、)(|APf成成立立，則則稱稱 A A 為為n元元函函數(shù)數(shù))(Pf當(dāng)當(dāng)0PP 時時的的極極限限，記記為為 APfPP )(lim0. .n元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限利用點函數(shù)的形式有利用點函數(shù)的形式有8 設(shè)設(shè)n元元函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域為為點點集集0, PD是是其其聚聚點點且且DP 0，如如果果)()(lim00PfPfPP 則則稱稱n元元函函數(shù)數(shù))(Pf在在點點0P處處連連續(xù)續(xù). . 設(shè)設(shè)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點點，如如果果)(Pf在在點點0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點點.四、二元函數(shù)的連續(xù)性四、二元函數(shù)的連續(xù)性 （第（

5、第197頁）頁）定義定義3 39例例 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化， 極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)(0,0)是函數(shù)的間斷點是函數(shù)的間斷點1021),(xyyxfz二元函數(shù)的間斷點可以是孤立點，也可二元函數(shù)的間斷點可以是孤立點，也可以是一條曲線以是一條曲線. 例如函數(shù)：例如函數(shù)：的間斷點就是一條拋物線的間斷點就是一條拋物線. 2xy 11五、閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的

6、性質(zhì)（第五、閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（第198頁）頁） 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的二元連續(xù)函數(shù)，在上的二元連續(xù)函數(shù)，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的二元連續(xù)函數(shù)，如果上的二元連續(xù)函數(shù)，如果在在D D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D D上取得上取得介于這兩值之間的任何值至少一次介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（3）介值定理）介值定理（2）有界性定理）有界性定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的二元連續(xù)函數(shù)，在上的二元連續(xù)函數(shù)，在D D

7、上一定有界上一定有界12二元初等函數(shù)二元初等函數(shù)：由二元多項式及基本初等函數(shù)：由二元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的二元函數(shù)叫二用一個式子所表示的二元函數(shù)叫二元初等函數(shù)元初等函數(shù)一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域13).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處處連連續(xù)續(xù)，于于是是點點在在的的定定義義域域的的內(nèi)內(nèi)點點，則則是是數(shù)數(shù)，且且是是初初等等

8、函函時時，如如果果一一般般地地，求求14例例).32(lim22312yxyyxxyx求解解22311231222原式. 515例例.11lim00 xyxyyx 求求解：解：)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 16堂上練習(xí)題堂上練習(xí)題) 12ln(12xyz、求定義域yxz、求定義域2xyzarcsin3、求定義域)1ln(44222yxyxz、求定義域221)ln(5yxxxyz、求定義域17堂上練習(xí)題堂上練習(xí)題.)lnlim12201yxexyyx（、求.42lim200 xyxyyx、求.lim32200yxxyyx、求22()4limx

9、yxyxye、求18上節(jié)課內(nèi)容小結(jié)：上節(jié)課內(nèi)容小結(jié)：1、空間兩點間距離公式、空間兩點間距離公式2、二元函數(shù)定義域的確定、二元函數(shù)定義域的確定3、二元函數(shù)極限的定義和求法、二元函數(shù)極限的定義和求法4、二元函數(shù)連續(xù)性的討論、二元函數(shù)連續(xù)性的討論19一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算方法（一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算方法（199頁）頁）三、高階偏導(dǎo)數(shù)三、高階偏導(dǎo)數(shù) （第（第202頁）頁）（偏增量比的極限）（偏增量比的極限） 純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)（相等的條件）（相等的條件）第二節(jié)、偏導(dǎo)數(shù)全微分第二節(jié)、偏導(dǎo)數(shù)全微分 (199-206頁頁)二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 （第（第201頁）頁）四、全微

10、分四、全微分 （第（第203頁）頁）20定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某一鄰的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在固定在0y而而x在在0 x處有增量處有增量x 時，相應(yīng)地函數(shù)有增量時，相應(yīng)地函數(shù)有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，則稱存在，則稱此極限為函數(shù)此極限為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對x的的偏導(dǎo)數(shù)，記為偏導(dǎo)數(shù)，記為一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算方法一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算方法21同理可定義同理可定義函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對y的偏導(dǎo)數(shù)，

11、的偏導(dǎo)數(shù)， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.22如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)任任一一點點),(yx處處對對x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在，那那么么這這個個偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是x、y的的函函數(shù)數(shù)，它它就就稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對對自自變變量量x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 記記作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定義函數(shù)同理可以定義函數(shù)),(yxfz 對自變量對自

12、變量y的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)，記作數(shù)，記作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.23一階偏導(dǎo)數(shù)的等價定義：一階偏導(dǎo)數(shù)的等價定義：,),(),(lim),(0000000 xxyxfyxfyxfxxx,),(),(lim),(0000000yyyxfyxfyxfyyy24偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 25三元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的等價定

13、義：三元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的等價定義：,),(),(lim),(0000000000 xxzyxfzyxfzyxfxxx,),(),(lim),(0000000000yyzyxfzyxfzyxfyyy.),(),(lim),(0000000000zzzyxfzyxfzyxfzzz26例例 1 1 求求 223yxyxz 在點在點)2 , 1(處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 27例例 2 2 設(shè)設(shè)yxz )1, 0( xx， 求求證證 zyzxxzyx2ln1 .證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx

14、ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立28解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy 29 yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在30證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 31偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xu 是是一一個個整整體體記記號號，不不能能拆拆分分;有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：、求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點

15、、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；定義求；32).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求設(shè)設(shè)例例如如 、求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；定義求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 000lim)0, 0(0yyfyy33.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求設(shè)設(shè)yxfyxyxyxxyyxf 例例解解,)0 , 0(),(時時當(dāng)當(dāng) yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22

16、222yxyxx 34,)0 , 0(),(時時當(dāng)當(dāng) yx按定義可知：按定義可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 00lim0 yy,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy35、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系例例如如,函函數(shù)數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定義義知知在在)0 , 0

17、(處處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數(shù)在該點處并不連續(xù)但函數(shù)在該點處并不連續(xù). 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，36例例 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化， 極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)(0,0)是函數(shù)的間斷點是函數(shù)的間斷點37二

18、、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 （201201頁）頁）,),(),(,(00000上上一一點點為為曲曲面面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖38 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲線線在在點點0M處處的的切切線線yTM0對對y軸軸的的斜斜率率.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義: : （201201頁）頁）39),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上

19、的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù). .三、高階偏導(dǎo)數(shù)三、高階偏導(dǎo)數(shù) （202頁）頁）40解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx41解解2238zxxyx3248zyx yy22268zxyx2222128zyxy216zxyx y 216zxyy x 342244zxyx y例求的二階偏導(dǎo)數(shù)。42例例 設(shè)設(shè) )ln(yxxz，求求二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). 解解,)ln(yxxyxxzyxxyz,)(2)(1

20、2222yxyxyxxyxyxxz,22yxxyz,)()(1222yxyyxxyxyxz222)()()(yxyyxxyxxyz43解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 44問題：問題：具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？45. 02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu 46,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(22

21、2222222222yxyxyxyyyxyu 2222yuxu. 0 2222222222)()(yxyxyxxy 證畢證畢4748xyyxzyxcos1xxxzyysinlnxyxyyzyxxsin) 1(2xxzyyy2lnxxyxxzyyxycosln11xxxyxzyyyxcosln1149yyezxxlnxxxyezyxezxy2yxzyyyezzxyxxy150),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏微微分分 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏增增量量由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)

22、系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得三、全微分三、全微分 （203-206頁）頁）51 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，并并設(shè)設(shè)),(yyxxP 為為這這鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的任任意意一一點點，則則稱稱這這兩兩點點的的函函數(shù)數(shù)值值之之差差 ),(),(yxfyyxxf 為為函函數(shù)數(shù)在在點點 P對對應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量yx ,的的全全增增量量，記記為為z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf （1）全增量的概念）全增量的概念 （第（第203頁）頁）52（2）全微分的定義）全微分的定義 （第（第203頁定義頁定義2） 函函數(shù)數(shù)若若在

23、在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點點處處處處可可微微分分，則則稱稱這這函函數(shù)數(shù)在在 D 內(nèi)內(nèi)可可微微分分.53 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分可微分, 則則函數(shù)在該點連續(xù)函數(shù)在該點連續(xù).事實上事實上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx處處連連續(xù)續(xù).54（3）可微的條件）可微的條件 （第（第204頁）頁）55證證如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某個個鄰鄰域域)( oyBxAz 總成立總成立,當(dāng)當(dāng)

24、0 y時時，上上式式仍仍成成立立，此時此時| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 56一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在57例如，（教材例如，（教材203頁最后一段）頁最后一段）.000),(222222 yxyxyxxyyxf在點在點)0 , 0(處有處有0)0 , 0()0 , 0( yxff58)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考慮慮點點),(yxP 沿沿

25、著著直直線線xy 趨趨近近于于)0 , 0(，則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,0 當(dāng)當(dāng) 時，時，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函函數(shù)數(shù)在在點點)0 , 0(處處不不可可微微.59說明說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在，微分存在，證證),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf 60),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一個方括號內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理在第一個方括

26、號內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）且且當(dāng)當(dāng)0, 0 yx時時，01 .其其中中1 為為yx ,的的函函數(shù)數(shù),61xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx處處可可微微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 當(dāng)當(dāng)0 y時時，02 ,62習(xí)慣上，記全微分為習(xí)慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個通

27、常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況63解解233zxyx343zyxy23(33 )(43 ).dzxy dxyx dy所求全微分所求全微分64解解,10463xyyxz,3012522yxxyyz.)3012()104(52263dyyxxydxxyydz所求全微分所求全微分65解解221zyxx y221zxyx y(2,1)1,5zx(2,1)2,5zy12.55dzdxdy所求全微分所求全微分66解解,1yyxxz,ln xxyzy, 1)1

28、 , 2(xz, 2ln2)1 , 2(yz.2ln2dydxdz所求全微分所求全微分67解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 68（4）全微分在近似計算中的應(yīng)用）全微分在近似計算中的應(yīng)用 （第（第205頁）頁）都較小時，有近似等式都較小時，有近似等式連續(xù)，且連續(xù)，且個偏導(dǎo)數(shù)個偏導(dǎo)數(shù)的兩的兩在點在點當(dāng)二元函數(shù)當(dāng)二元函數(shù)yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可寫成也可寫成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx

29、 69解解.),(yxyxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)1,2,0.02,0.04.xyxy 取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得2.04(1.02)12 0.020 0.04 1.0470上節(jié)課內(nèi)容小結(jié)：上節(jié)課內(nèi)容小結(jié)：1、偏導(dǎo)數(shù)及其求法、偏導(dǎo)數(shù)及其求法2、高階偏導(dǎo)數(shù)及其求法、高階偏導(dǎo)數(shù)及其求法3、全微分公式及其求法、全微分公式及其求法71一、多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一、多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) （第（第207頁）頁）二、全微分形式的不變性二、全微分形式的不變性 （第（第209頁）頁）第三節(jié)、多元復(fù)合函

30、數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)第三節(jié)、多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則法則 （第（第207-211頁）頁）三、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)三、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) （第（第210頁）頁）72證證),()(tttu 則則);()(tttv 一、多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（第一、多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（第207頁）頁），獲獲得得增增量量設(shè)設(shè)tt 73由由于于函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在點點),(vu有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),21vuvvzuuzz 當(dāng)當(dāng)0 u，0 v時時，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 當(dāng)當(dāng)0 t時時， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv 74.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定

31、理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如如dzz duz dvz dwdxu dxv dxw dxuvwxzdzdx公式中的稱為全導(dǎo)數(shù)。75 上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：而是多元函數(shù)的情況：).,(),(yxyxfz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在點點),(yx具具有有對對x和和y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在對對應(yīng)應(yīng)點點),(vu具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxfz 在在對對應(yīng)應(yīng)點點),(yx的的兩兩個個偏偏導(dǎo)

32、導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .76uvxzy鏈?zhǔn)椒▌t如圖示鏈?zhǔn)椒▌t如圖示 （208頁）頁） xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 77 類似地再推廣，設(shè)類似地再推廣，設(shè)),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都在點都在點),(yx具有對具有對x和和y的偏導(dǎo)數(shù)，復(fù)合的偏導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)函數(shù)),(),(),(yxwyxyxfz 在對應(yīng)點在對應(yīng)點),(yx兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計算兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx7

33、8解解dzz duz dvzdxu dxv dxxsincosxveuxxcossincosxxexexx(cossin )cosxexxx79解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu)cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu)cossin(vvxeu, )cos()sin(yxyxyexy。)cos()sin(yxyxxexy80例：設(shè)例：設(shè),2,2,2yxvyxuvuz求：求：.,yzxz解解 xz uzxu vzxv 1)(2222vuvu22)2()2(2)24yxyxyxyx（ yz uzyu vzyv ）（ 2)(1222vuvu22)2()2