改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法及其應(yīng)用

1、改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法及其應(yīng)用Modified Nodal Approach and Its ApplicationWANG Xiao-huaABSTRACT:This paper introduces the fundamental concepts of modified nodal approach(MNA) and the method to write node equations,.It analyses the application of MNA in writing multiport hybrid matrix, analysis of passive and active filte

2、r, obtaining state equations, analyzing multiphase coupled networks, time domain analysis of transformer , establishing generalized state equations and multipleport equations and improving the reliability of numerical circuit simulation. In addition, in order to decrease the order of equations ,this

3、 paper develops two new methods.called the compact modified node approach and two-figure modified nodal approach KEY WORDS:modified nodal approach application compact modified node approach two-figure modified nodal approach摘要：本文介紹了改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法(MNA)基本概念及其節(jié)點(diǎn)方程的列寫方法，簡單分析了改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法在列寫多端口混合矩陣、分析無源和有源濾波器、獲取狀態(tài)方程、分析多

4、相耦合網(wǎng)絡(luò)、對變壓器進(jìn)行時域分析、建立廣義狀態(tài)方程和多端口方程及提高數(shù)字電路仿真的可靠性等方面的應(yīng)用。另外，本文針對改進(jìn)節(jié)點(diǎn)存在冗余變量等不足提出了緊湊改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法及雙圖改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法關(guān)鍵詞：改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法 應(yīng)用 緊湊改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法 雙圖改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法1. 改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法概述1.1常規(guī)節(jié)點(diǎn)分析法電路分析和設(shè)計的首要任務(wù)是將一個實(shí)際的電路用一整套數(shù)學(xué)方程來描述,建立電路方程的方法很多,節(jié)點(diǎn)電壓法是分析、求解電路的最方便最快捷的方法。 所謂常規(guī)節(jié)點(diǎn)分析法就是以節(jié)點(diǎn)電壓為電路變量建立電路方程進(jìn)行分析計算的一種方法。它以(n-1)個獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓為變量,利用電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和支路約束方程,來建立電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程，由節(jié)點(diǎn)

5、電壓方程求得節(jié)點(diǎn)電壓后，便可根據(jù)KVL求出電路中各支路電壓，進(jìn)而根據(jù)各支路VAR求出各支路電流1。常規(guī)節(jié)點(diǎn)法與網(wǎng)孔電流法、支路法、表格法等相比具有顯著的優(yōu)越性,主要表現(xiàn)在它所涉及的變量少、方程數(shù)少,因而被廣泛采用。但常規(guī)節(jié)點(diǎn)電壓法有其局限性,常規(guī)節(jié)點(diǎn)分析只適用于支路具有壓控型特性方程的電路，對于具有流控型特性方程支路的電路，節(jié)點(diǎn)法無法進(jìn)行分析，這就妨礙了節(jié)點(diǎn)法在非線性網(wǎng)絡(luò)分析中的應(yīng)用。為了克服這一缺點(diǎn)，人們提出了改進(jìn)節(jié)點(diǎn)分析法（Modified Nodal Approach）2。1.2改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法改進(jìn)節(jié)點(diǎn)分析法是在節(jié)點(diǎn)分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，除了仍以節(jié)點(diǎn)電壓為變量外，還引入了流控型支路的電流和輸

6、出電流作為附加變量，這一方法已成為分析電路的第二種一般分析方法。改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法的要點(diǎn)是:增加零阻抗支路的支路電流作為待求變量,相應(yīng)地增添困難支路的支路電壓用節(jié)點(diǎn)電壓表示的補(bǔ)充方程。具體操作時,可以把受控電壓源當(dāng)獨(dú)立電壓源處理。相比較而言,改進(jìn)節(jié)點(diǎn)電壓法比常規(guī)節(jié)點(diǎn)電壓法具有更強(qiáng)的處理能力,尤其是當(dāng)電路結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜、方程組比較龐大時,借助專用軟件:如matlab或pspice等來求解電路時,改進(jìn)節(jié)點(diǎn)電壓法的優(yōu)點(diǎn)會顯得更加突出。2. 改進(jìn)節(jié)點(diǎn)方程2.1改進(jìn)節(jié)點(diǎn)方程簡介假設(shè)待分析的電路中有n個節(jié)點(diǎn)、b條支路，其中有bv條理想電壓源支路，包括電流源控制支路。那么，取n-1個非參考節(jié)點(diǎn)電壓Vn和bv個電壓定義

7、支路的電流Iv作為未知的電路變量，這樣列寫出來的方程稱為改進(jìn)的節(jié)點(diǎn)電壓方程，它保留了方程階數(shù)低的優(yōu)點(diǎn)，而且克服了基本節(jié)點(diǎn)法不能直接處理理想電壓源支路、阻抗為零支路以及流控器件的缺點(diǎn)。改進(jìn)節(jié)點(diǎn)電壓方程可由直觀法寫出，它由兩部分組成，一部分是以節(jié)點(diǎn)電壓為變量列寫所有獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電壓方程，每遇到一個流控型支路就在方程中引入對應(yīng)的電流作為附加變量；另一部分方程是由節(jié)點(diǎn)電壓和附加電流表示的流控型支路的方程和輸出支路方程。改進(jìn)節(jié)點(diǎn)電壓方程一般比稀疏表格方程少，但沒有表格方程概念清晰。2.2改進(jìn)節(jié)點(diǎn)方程的建立建立改進(jìn)的節(jié)點(diǎn)電壓方程的基本思想是將網(wǎng)絡(luò)中的元件分為三類：第一類：用導(dǎo)納描述的元件。這些元件只需選節(jié)點(diǎn)

8、電位作為方程變量。第二類：不用導(dǎo)納描述的元件，如獨(dú)立電壓源、受控電壓源。此外，還包括那些需要支路電流作為輸出變量的元件，如電感、互感元件等。第三類：獨(dú)立電流源。這三類元件的特性方程分別為： （1） （2） （3）同樣，將A表示的KCL和KVL也分為相應(yīng)的三部分： （4） （5）推導(dǎo)得： (6)為便于描述，將上述方程改寫為 (7)這就是把理想電壓源支路當(dāng)作電流源 Iv 寫出節(jié)點(diǎn)分析方程，再以 Vn 和 Iv 為變量寫出電壓定義支路的支路關(guān)系便得到的 MNA 方程。下面討論各種元件對上述方程的貢獻(xiàn)。假設(shè)獨(dú)立電壓源所在支路節(jié)點(diǎn)為，其元件特性方程為：為獨(dú)立電壓源所在支路的電流，與電壓滿足關(guān)聯(lián)參考方向。

9、則上式可改寫為若寫成矩陣，則為：其中，和分別為該理想電壓源作為電流源看待時，附加到的部分，即，所以，,對比即可知，是理想電壓源支路對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣，,當(dāng)該支路為理想電壓源時，支路中的串聯(lián)電阻為零，也即導(dǎo)納為零，因此有。將上述矩陣寫成表的形式。如此類推，可得其它典型元件對應(yīng)的表單值。根據(jù)支路方程，線性電阻電路中常用的八種典型元件支路對矩陣 Y、B、V、D 和向量 J、E 的貢獻(xiàn)如表1所示。根據(jù)表1便可以很容易的由算法程序根據(jù)輸入的電路網(wǎng)絡(luò)模型列寫出矩陣 Y、B、V、D 和向量 J、E，即 MNA方程，完成線性電路方程的建立。表1：八種典型元件支路對矩陣 Y、B、V、D 和向量 J、E 的貢

10、獻(xiàn)表元件支路方程對矩陣Y、B、V、D和向量J、E的貢獻(xiàn)電導(dǎo)G獨(dú)立電壓源VS（第k條電壓定義支路）獨(dú)立電流源CS電壓控制電流源VCCS電壓控制電壓源VCVS（第k條電壓定義支路）電流控制電壓源CCVS(第k1、k2條電壓定義支路)電流控制電壓源CCVS（第k1,k2條電壓定義支路）理想運(yùn)算放大器IOPAMP非理想運(yùn)算放大器OPAMP電壓控制電壓源VCVS3.改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法的應(yīng)用3.1改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法在列寫多端口混合矩陣中的應(yīng)用4n端口混合矩陣經(jīng)常用于解決許多實(shí)際問題，比如說處理非線性網(wǎng)絡(luò)，列寫狀態(tài)方程和列寫診斷方程等等。用混合矩陣來描述多口網(wǎng)絡(luò)的一般形式如下：其中矩陣只有當(dāng)多端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)有獨(dú)立源時才出現(xiàn)，為

11、混合矩陣。目前得到混合矩陣一般基于圖論，會產(chǎn)生大量的方程，與此相比，利用改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法獲取混合矩陣的主要優(yōu)勢在于減少了大量的方程并且網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)渚仃嚜?dú)立。以線性電路為例，設(shè)電路有p個端口，n個節(jié)點(diǎn)，b條支路且其中m條支路為非壓控支路，則利用MNA解決該問題需要m+n個方程，與2b個方程相比較要少得多。而且利用添加支路法我們可以很直接的得到電路的MNA方程。舉例來說，假設(shè)一個多口網(wǎng)絡(luò)的所有端口都以非口器終止，則矩陣形式MNA方程為：經(jīng)過一系列矩陣變換，我們得到：，其中為單位陣。對比可得,我們可以比較容易的得到混合矩陣。綜上，利用MNA我們可以比較簡單明了的得到多端口網(wǎng)絡(luò)的混合矩陣，而且這種方法也適用于

12、計算機(jī)編程使用。3.2利用改進(jìn)節(jié)點(diǎn)電壓分析無源和有源濾波器5濾波器是一種信號處理器，分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器。模擬濾波器用來處理模擬信號或者連續(xù)時間信號，數(shù)字濾波器用來處理離散的時間信號或者數(shù)字信號。模擬濾波器又可以分為無源濾波器和有源濾波器。無源濾波器是諧波抑制的傳統(tǒng)方法，采用電力電容器和電抗器等無源器件適當(dāng)組合構(gòu)成的無源濾波器與需治理的非線性負(fù)載并聯(lián)，為諧波形成一個低阻通路的同時，在基波下，也為負(fù)載提供所需的無功功率，這種方法在濾除諧波的同時也能補(bǔ)償無功功率。由于采用的基本原件是電容和電抗，因此成本低，技術(shù)成熟，結(jié)構(gòu)比較簡單。有源電力濾波器是一種可以動態(tài)濾波諧波、補(bǔ)償無功功率的新型電力電

13、子裝置，它能對大小和頻率都變化的諧波以及變化的無功進(jìn)行補(bǔ)償，其應(yīng)用可以克服無源濾波器等傳統(tǒng)諧波抑制和無功補(bǔ)償?shù)娜秉c(diǎn)。濾波器根據(jù)頻響一般設(shè)計成四種，分別為巴特沃斯濾波器，橢圓濾波器，切比雪夫?yàn)V波器和貝塞爾湯姆森濾波器，本文我們以擁有巴特沃斯特性的帶通無源濾波電路和低通有源濾波電路為例。RLC串聯(lián)帶通無源濾波電路如圖1：CLRVS圖1：RLC串聯(lián)帶通無源濾波電路通過實(shí)例利用MNA建立RLC串聯(lián)帶通無源濾波電路的電路方程，通過仿真可得其頻率增益特性和頻率輸出特性,如圖2：圖2：RLC串聯(lián)帶通無源濾波電路仿真頻率增益特性和頻率輸出特性二階巴特沃斯低通有源濾波電路如圖3：VOVS圖3：二階巴特沃斯低通有

14、源濾波電路通過實(shí)例利用MNA建立二階巴特沃斯低通有源濾波電路的電路方程，通過仿真可得其頻率增益特性和頻率輸出特性，如圖4：圖4：二階巴特沃斯低通有源濾波電路仿真得頻率增益特性和頻率輸出特性3.3利用改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法獲取狀態(tài)方程6以前所了解的獲取狀態(tài)和輸出方程的方法是圖論法、混合矩陣法或多端口法，這些方法包含大量的矩陣加法、乘法和矩陣變換，當(dāng)狀態(tài)變量是電容電壓和電感電流時就會有一定的局限性。當(dāng)利用改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法時多數(shù)變量為節(jié)點(diǎn)電壓，電路方程形式如：其中和是兩個階方陣，為階矩陣（其中為輸入量個數(shù)），為包含初始條件的相量，為階矩陣（其中為輸出量個數(shù)），包括節(jié)點(diǎn)電壓、電感電流和電壓源電流。經(jīng)過一系列變換，經(jīng)多次

15、循環(huán)計算即可得到電路狀態(tài)方程。利用改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法建立電路方程更直接且更容易應(yīng)用于計算機(jī)。3.4利用改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法分析多相耦合網(wǎng)絡(luò)7在線性網(wǎng)絡(luò)的符號和數(shù)字分析方面改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法比傳統(tǒng)的分析方法有明顯的優(yōu)勢，這引起了人們對改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法在處理多相耦合電阻方面功效的研究，比如說多導(dǎo)體傳輸線和電纜，它們的電長度較短所以網(wǎng)絡(luò)元件是離散的集總電阻。以連接a點(diǎn)和b點(diǎn)多導(dǎo)體傳輸線為例，約束方程為：其中和分別為a、b兩點(diǎn)的電壓，為阻抗矩陣，為流過的電流，從a到b。如果強(qiáng)制和分別從a點(diǎn)和b點(diǎn)流入，則將（摻入MNA矩陣）如：其中是單位陣。3.5利用改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法對變壓器進(jìn)行時域分析8變壓器是電力系統(tǒng)最重要的組成部分在利用計算機(jī)分析電力

16、系統(tǒng)時建立變壓器合適的數(shù)學(xué)模型非常重要，模型的效率取決于建模所用的方法。在系統(tǒng)分析中有兩種方法可以獲取電路方程：改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法和狀態(tài)變量法。狀態(tài)變量法依靠圖論，不適用于分析開關(guān)系統(tǒng)。利用MNA對變壓器進(jìn)行時域分析的基本特性就是能夠簡單快速的獲取系統(tǒng)方程，基于系統(tǒng)方程給出一個包含所有和與變壓器相關(guān)的等效電路參數(shù)的模型。通過具體實(shí)例，對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果和利用MNA得到的仿真結(jié)果，兩者差別很小，僅為測量誤差和讀入誤差。另外，利用MNA還可以得到傳遞函數(shù)和沖擊響應(yīng)。3.6廣義狀態(tài)方程和多端口方程的建立9對線性時不變有源網(wǎng)絡(luò)有兩種節(jié)點(diǎn)分析法：降階改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法（RMNA）和降階零器節(jié)點(diǎn)法（RNAN）。其中RNAN的應(yīng)

17、用范圍更加廣泛，原因如下：1）獨(dú)立源和四種受控源都有其零器等效模型，一些設(shè)備，如理想運(yùn)算放大器，利用零器可以精確建模，但利用獨(dú)立源只能建立近似模型。2）在含零器網(wǎng)絡(luò)中僅需要四種類型的元件導(dǎo)納、獨(dú)立電流源和零器，編程更加簡單。通過分析，RMNA和RNAN可用于線性和非線性網(wǎng)絡(luò)的分析，由此獲得的廣義狀態(tài)方程和多端口方程階數(shù)比鍵表法獲得方程的階數(shù)低。RMNA和RNAN不需要選擇樹，比自由端口法簡單。3.7利用改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法提高數(shù)字電路仿真的可靠性10改進(jìn)節(jié)點(diǎn)分析是電路仿真中最適用的方法，一旦寫出節(jié)點(diǎn)電壓方程和流控支路的附加變量方程就可以得到非線性系統(tǒng)的代數(shù)或微分方程。通過線性的多步積分，微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榉?/p>

18、線性的代數(shù)方程。雖然許多情況下電腦的精度不是問題，但有一些經(jīng)常出現(xiàn)的特殊情況會導(dǎo)致在最初始形成電路方程的時候出現(xiàn)病態(tài)矩陣或奇異矩陣，這種不足在出現(xiàn)非線性元件或者積分時間步長較短時發(fā)生。另一種情況，電容器的伴隨模型中存在大電導(dǎo)時會引入舍入誤差。將MNA改進(jìn)一下就可以解決上述問題。它建立在將傳統(tǒng)MNA的變量和方程重組的基礎(chǔ)上，很容易應(yīng)用到計算機(jī)仿真中。4. 基于改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法的新分析法目前，改進(jìn)點(diǎn)法(MNA)已廣泛用于網(wǎng)絡(luò)的計算機(jī)輔助分析和設(shè)計，用來系統(tǒng)地列寫網(wǎng)絡(luò)方程。然而，它的缺點(diǎn)電是明顯的就是它在處理電壓源(獨(dú)立或受控)時，總要引入其支路電流作為附加變量，在處理含有控制電流的電阻、電導(dǎo)和電容等元件

19、時，也要將其控制電流作為附加變量，結(jié)果導(dǎo)致方程數(shù)目的增加。另外，在某種情況下其網(wǎng)絡(luò)矩陣會出現(xiàn)主對角線零元或主對角線奇異矩陣塊，在采用高斯消元法和稀疏矩陣技術(shù)求解時，會導(dǎo)致算法中斷或產(chǎn)生很大誤差。因此，基于改進(jìn)節(jié)點(diǎn)電壓法人們提出了新的分析法，本文簡單介紹緊湊改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法和雙圖改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法。4.1緊湊改進(jìn)節(jié)點(diǎn)11針對改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法存在的上述問題，我們提出了緊湊改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法，其基本思想是用一個封閉面將連接電壓源的節(jié)點(diǎn)包圍起來，對這個廣義節(jié)點(diǎn)應(yīng)用KCL關(guān)系寫出割集方程，再補(bǔ)充上與電壓源有關(guān)的KVL關(guān)系。這樣就可避免列出不必要的方程，從而減小方程維數(shù)。4.2雙圖改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法12雙圖改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法簡稱雙圖法，是將由一個拓

20、樸圖描述電路拓樸信息的改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法改為由兩個拓樸圖描述的改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法。從雙圖法的定義可看出，雙圖法的基本思想是用兩個不同拓 樸圖來描述同一個網(wǎng)絡(luò)電路，即用來描述支路電壓之間的關(guān)系，列KVL方程；用來描述電路 電流之間的關(guān)系，列KCL方程。從而消除了改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法方程組中的一些冗余變量，降低了方程組的階數(shù)。建立I一圖和V一圖的一般規(guī)則1）如果電路中某支路電流為零，則在I一圖中略去該支路。2）如果電路中某支路電壓為零，則在V一圖中略去該支路。3）如果電路中某支路的特性方程中不存在支路電流變量，而且對該支路電流不感興趣 則可在I一圖中略去該支路。4）如果電路中某支路的特性方程中不存在電壓變量，而且對該支路電

21、壓不感興趣，則可在V一圖中略去該支路。按照上述原則，對同一電路建立的I一圖和V一圖，其結(jié)構(gòu)、節(jié)點(diǎn)數(shù)和支路數(shù)可能不同，當(dāng)然其關(guān)聯(lián)矩陣也相同。根據(jù)I一圖和V一圖以及雙圖法的特點(diǎn)直接寫出電路節(jié)點(diǎn)方程組我們根據(jù)雙圖法建立改進(jìn)節(jié)點(diǎn)方程組的特點(diǎn)，可歸納出直接填寫電路節(jié)點(diǎn)方程組的一般步驟，步驟如下：第一步，根據(jù)電路圖畫出原拓樸圖，再根據(jù)I一圖和V一圖的規(guī)則畫出此電路圖的I一圖和V一圖。第二步，根據(jù)此電路圖的I一圖和V一圖填寫Yn1子陣。Yn1子陣的矩陣元素Gmn的值為第一個腳標(biāo)對應(yīng)I一圖節(jié)點(diǎn)m還原為原拓樸圖的節(jié)點(diǎn)m，第二個腳標(biāo)對應(yīng)V一圖節(jié)點(diǎn)n,還原為原拓樸圖的節(jié)點(diǎn)n后，節(jié)點(diǎn)m與節(jié)點(diǎn)n之間的導(dǎo)納。如果m=n則

22、為自導(dǎo)納，否則為互導(dǎo)納。第三步，根據(jù)此電路圖的I一圖和V一圖列出非導(dǎo)納描述元件的特性方程，再根據(jù)特性 方程，在已經(jīng)形成的子矩陣(最初為Yn1子陣)的基礎(chǔ)上，依次增加一行或一列，從而實(shí)現(xiàn)對系數(shù)矩陣和右端的送值。為了填寫方便，可列出常用元件的送值表，這里從略。第四步，把所列出的節(jié)點(diǎn)方程組中的分圖變量還原成原拓樸圖的變量。雙圖改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法大大降低了方程組的階數(shù)，非零元也顯著減少，但由于列方程時要附加拓樸圖的運(yùn)算，編程略顯復(fù)雜些。雙圖法在處理含有較多受控源或短路的情況下，其效果較為明顯，尤其是處理開關(guān)電容電路。此外，假如非線性網(wǎng)絡(luò)中僅包含電壓控制的電組元件和電壓控制的電流源，或者能轉(zhuǎn)換成電壓控制的電流源

23、的其它受控源，也可用雙圖法建立網(wǎng)絡(luò)方程組。5 結(jié)論1）常規(guī)節(jié)點(diǎn)電壓法有其局限性,常規(guī)節(jié)點(diǎn)分析只適用于支路具有壓控型特性方程的電路，對于具有流控型特性方程支路的電路，常規(guī)節(jié)點(diǎn)法無法進(jìn)行分析，因此人們提出了改進(jìn)節(jié)點(diǎn)分析法。2）改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法(MNA)基本概念及其節(jié)點(diǎn)方程的列寫方法簡單明了，而且適合計算機(jī)運(yùn)算。3）改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法在列寫多端口混合矩陣、分析無源和有源濾波器、獲取狀態(tài)方程、分析多相耦合網(wǎng)絡(luò)、對變壓器進(jìn)行時域分析、建立廣義狀態(tài)方程和多端口方程及提高數(shù)字電路仿真的可靠性等方面均有應(yīng)用，且效果良好。4）改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法存在冗余變量，且在網(wǎng)絡(luò)矩陣出現(xiàn)主對角零元或主對角線奇異矩陣塊時會出現(xiàn)很大誤差，由此提出了緊

24、湊改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法及雙圖改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法致 謝參 考 文 獻(xiàn)1梁貴書，電網(wǎng)絡(luò)分析理論M華北電力大學(xué)，2005：168-174.2梁貴書，董華英.電路理論基礎(chǔ)（第三版）M.中國電力出版社。2009:65-83.3 Wedepohl L M, Jackson L. Modified nodal analysis: an essential addition to electrical circuit theory and anaIysis J. Engineering science and education journal,2002,11(3):84-924Augusto A S, Almeida C F

25、 B. Use of modified nodal analysis to write multiport hybrid matrixJ.Electronics Letters,1991,27(19):1750-17525Kelebekler E,Yildiz A B.Analysis of passive and active filters using modified nodal approachC. 5th International Conference and Workshop on Compatibility in Power Electronics,Gdansk, POLAND ,20076Nata