大學文科數(shù)學2極限應用的一個例子連續(xù)函數(shù)

1、1第三節(jié) 極限應用的一個例子連續(xù)函數(shù)主要內(nèi)容： 一、連續(xù)函數(shù)的概念二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2一、連續(xù)函數(shù) 連續(xù)函數(shù)是微積分研究的主要對象連續(xù)函數(shù)是微積分研究的主要對象. .00000()()()()( )(. )yf xxf xyf xf xf xf xx 對對應應的的函函數(shù)數(shù)值值由由變變化化到到，其其差差稱稱作作函函數(shù)數(shù)的的增增量量，即即增量的定義增量的定義00,.xxxxxx 自自然然xyo)(xfy x 0 xxx 0y 3 注意注意: :x可能是正的可能是正的, ,也可能也可能 是負的是負的. .比如：比如：05 . 0; 5 . 1, 105 . 0; 5 .

2、1, 20000 xxxxxxxxxx4下面的問題幫助我們理解連續(xù)的定義：下面的問題幫助我們理解連續(xù)的定義： )(lim1xfx(1).f 1lim(1). 2xx( )1f xx 從從圖圖形形看看的的曲曲線線在在處處是是連連續(xù)續(xù)的的. .112lim ( )lim11xxxgxx 1(1)2limxx ( )1,( )1,.g xxg xx 而而在在處處沒沒有有定定義義 從從圖圖形形看看的的曲曲線線在在處處是是不不連連續(xù)續(xù)的的 是是間間斷斷的的( ), ( )1,1,f xg xxx 盡盡管管在在點點的的性性質(zhì)質(zhì)不不同同但但當當時時 它它們們的的極極限限卻卻是是一一樣樣的的. .( )1f

3、xx oxy 1。21( )1xg xx xoy1 5連續(xù)函數(shù)的定義連續(xù)函數(shù)的定義0000000(,),00lim0lim(0)xxf xu xxyf xffxxxxxyxf 設設函函數(shù)數(shù)（ ）在在內(nèi)內(nèi)有有定定義義 如如果果當當自自變變量量的的增增量量趨趨向向于于 時時，對對應應的的函函數(shù)數(shù)增增量量也也趨趨向向于于 ，即即，或或（）- -（），那那么么就就稱稱函函數(shù)數(shù)，也也定定義義一一（ ）在在點點連連續(xù)續(xù)是是的的 稱稱連連續(xù)續(xù)點點. .xy0)(xfy x 0 xxx 0y 6 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線. .xyo)(xfy 這個定義可以幫

4、助理解函數(shù)在一點連續(xù)這個定義可以幫助理解函數(shù)在一點連續(xù)的本質(zhì)：的本質(zhì)： 自變量變化很小時，函數(shù)值的變化也很小自變量變化很小時，函數(shù)值的變化也很小.7 在考慮函數(shù)的連續(xù)性時，我們一般分三在考慮函數(shù)的連續(xù)性時，我們一般分三步考慮：步考慮：1x ）先先給給定定；2y ）求求出出；030.xy ）考考察察當當時時，是是否否有有8例例1 證明證明 y = sinx 在定義域內(nèi)連續(xù)在定義域內(nèi)連續(xù).22sin, 1)2cos(xxxx xx sin由于由于xxxxy 2sin)2cos(2于是于是2sin)2cos(2sin)sin(xxxxxxy 證證2sin2cos2sinsin 000.xyxy 用用

5、定定義義一一證證明明函函數(shù)數(shù)在在某某點點連連續(xù)續(xù)， 需需先先求求出出，考考察察當當時時，是是 分分否否析析與與提提示示：90,x 顯顯然然當當時時0.y 因此因此 y = sinx 在定義域內(nèi)連續(xù)在定義域內(nèi)連續(xù).00 xy xxxxy 2sin)2cos(2于是于是10000lim ()()0 xf xxf x 即即f (x)000000(,)i,l mxxf xf xu xxxf xff xfxxx 設設函函數(shù)數(shù)（ ）在在內(nèi)內(nèi)有有定定義義如如果果當當時時，（ ）的的極極限限存存在在且且等等于于（），即即，那那么么就就（ ）= =（）（ ）在在點點稱稱函函數(shù)數(shù)定定義義二二 連連續(xù)續(xù). .0li

6、m0 xy 由由定定義義一一 0000lim0limxxxxf xf xf xf x （ ）- -（ ）（ ）= =（ ）. .1100 xx先先確確定定函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域，在在定定義義域域內(nèi)內(nèi)任任取取一一點點 ，再再由由 的的任任意意性性，從從而而證證明明函函數(shù)數(shù)在在定定義義域域內(nèi)內(nèi)分分析析是是與與提提示示：連連續(xù)續(xù)的的. .12( ).2f xx 例例 證證明明函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性000221()2xf xx 證證 設設 為為定定義義域域（- - ，- - ）（- - ，+ + ） 內(nèi)內(nèi)任任意意一一點點，顯顯然然, ,000111lim.2lim(2)2xxxxxxx又又1200

7、011lim(),22xxf xxx001( )( )2xxf xf xx 該該函函數(shù)數(shù)在在點點連連續(xù)續(xù)，由由任任意意性性可可知知在在定定義義域域內(nèi)內(nèi), ,是是連連續(xù)續(xù)的的. .oxy13函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點0( ):f xx函函數(shù)數(shù)在在點點處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個個條條件件0(1)( );f xx在在點點處處有有定定義義0(2) lim( );xxf x存存在在).()(lim)3(00 xfxfxx 00,( )(),( )().f xxxf x 上上述述三三個個條條件件中中只只要要有有一一個個不不滿滿足足則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在點點處處不不不不連連續(xù)續(xù)點點連連續(xù)續(xù) 或或或或

8、間間間間斷斷并并稱稱點點為為點點的的斷斷14,1,2)( )1,1,2xxyf xx 從圖形中可以看出從圖形中可以看出 x = 1是分段是分段點點,)1(1)(lim1fxfx 1x 所所以以是是間間斷斷點點. .)311) (0,f xxx 在在處處沒沒有有定定義義例例0.x 所所以以是是間間斷斷點點00lim( )()xxf xf x xoy2111 xxf1)( yxo1500sin0( ),0 ,3) ( )1 ,0 ,sin,lim( )lim1(0)xxxxf xxf xxxxf xfx 是是的的分分段段點點但但是是0sin:lim1.xxx 這這里里用用到到第第一一個個重重要要極

9、極限限0()xfx 所所以以是是的的連連續(xù)續(xù)點點. . 分分段段函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點點只只可可能能在在分分須須注注意意：段段點點處處. .16000( )()(imlim)lxxxxxf xfxf 代入法代入法: : 利用連續(xù)函數(shù)的定義利用連續(xù)函數(shù)的定義, ,求函數(shù)極求函數(shù)極限的方法限的方法. .例例4211)lim(234)xxx 21lim(2)xx . 1 1lim3xx 1lim( 4)x212(lim )34xx 21lim(234)xxx 方方法法二二 21(234)xxx 212 13 14. lim.f函函數(shù)數(shù)符符號號 與與求求極極限限符符號號可可以以交交換換次次序序解解（方

10、方法法一一）由求極限四由求極限四則運算法則則運算法則由連續(xù)函數(shù)由連續(xù)函數(shù)的定義的定義17二、初等函數(shù)的連續(xù)性000( ),( ),( )( )( ),( )( ),( ()0)( )f xg xxf xf xg xf xg xg xg xx 若若函函數(shù)數(shù)在在點點處處連連續(xù)續(xù) 則則 定定理理在在點點處處 也也連連續(xù)續(xù). .例如例如, ,sin ,cos(,),xx 在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)tan,cot,sec,cscxxxx故故在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù). .四則運算的連續(xù)性四則運算的連續(xù)性18反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性定理定理 嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)的連續(xù)嚴格單調(diào)

11、的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)的連續(xù) 反函數(shù)反函數(shù).推論推論 反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù). .arcsinyx arctanyx 19該定理表明極限符號可以與函數(shù)符號互換該定理表明極限符號可以與函數(shù)符號互換. .22222sinsilinmlimsinxxyxxx （例例如如：）2,sinxuuy 00000( ),(),( ),). (uxxxxuyf uuuyfxxx 設設函函數(shù)數(shù)在在點點連連續(xù)續(xù) 且且而而函函數(shù)數(shù)在在點點連連續(xù)續(xù)則則復復合合函函數(shù)數(shù)在在定定點點理理連連續(xù)續(xù) 也也 2sin.42 20 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基

12、本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. . 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的連續(xù)的. .定義區(qū)間是指定義域內(nèi)的子區(qū)間定義區(qū)間是指定義域內(nèi)的子區(qū)間. .21例例51limsin1.xx 求求e e1sin1原原式式e esin1. e e例例62011lim.xxx 求求解解解解2220( 11)( 11)lim( 11)xxxxx 原原式式11lim20 xxx20 0. sin1sin,1,sin1,xxxyu u 是是由由復復合合而而得得的的是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù) 所所以以由由代代入入法法e ee ee e2,11xx是是初初等等函函數(shù)數(shù)它它是是連連續(xù)續(xù)的的. .2

13、21）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2112( ) , , , , , (),( ).(),(f xf xa bxf xxa bxa bf xf x 若若在在上上連連續(xù)續(xù) 則則使使得得有有abxoy)(xfy 2x1x23注意注意: :定理中的兩個條件缺一不可定理中的兩個條件缺一不可. . 若區(qū)間是開區(qū)間，定理不一定成立若區(qū)間是開區(qū)間，定理不一定成立; ; 若區(qū)間內(nèi)有間斷點，定理不一定成立若區(qū)間內(nèi)有間斷點，定理不一定成立. .例如例如: :,0,1()f xxx （ ）f（x）無最大值和最小值）無最大值和最小值. . xoy1124xyo)(xfy 211(

14、)0 2( )1( )(2)1(1)0.f xf xxf xff 的的定定義義域域（ ，不不是是閉閉區(qū)區(qū)間間，在在該該區(qū)區(qū)間間不不連連續(xù)續(xù)，是是不不連連續(xù)續(xù)點點，但但既既有有最最大大值值，也也有有最最小小值值01( )112xxf xxx ，25( ) , ( )( ),( )( )( )( )( , )( ).2f xa bf af bf af bf af ba bf 設設函函數(shù)數(shù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)，且且或或，則則至至少少存存在在一一個個內(nèi)內(nèi)點點得得值值定定理理使使）介介xyo1 2 3 f (b)ab)(xfy b f (a)a ( ).yf xy 連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧與與水水平

15、平直直線線至至少少有有一一個個交交點點26( )0( , ).f xa bx 即即方方程程在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個個實實根根( ) , ( )( )( , )( )0.f xa bf af ba bf設設函函數(shù)數(shù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)，且且與與異異號號，則則至至少少存存在在一一個個內(nèi)內(nèi)點點，推推論論（根根的的存存在在定定使使得得理理） xyo( )f xba ( )0f b ( )0f a ( )0f 27例例733112.xx 證證明明方方程程在在 和和 之之間間至至少少有有一一實實根根 由由已已知知先先做做一一個個輔輔助助函函數(shù)數(shù)，再再根根據(jù)據(jù)“根根 的的存存在在定定理理”，看

16、看它它是是否否滿滿足足定定理理的的已已 知知條條件件，即即可可證證明明提提存存示示與與分分析析：在在實實根根. .331yxx 28證證3( )31,1 2f xxx 令令該該函函數(shù)數(shù)是是初初等等函函數(shù)數(shù)，在在，上上連連續(xù)續(xù)，(1)3 0,(2)10,ff 又又由推論由推論,(1,2),( ), 0f 存存在在使使3310,即即3310(1,2).xx 方方程程在在內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一個個實實根根例例733112.xx 證證明明方方程程在在 和和 之之間間至至少少有有一一實實根根29四、極限和連續(xù)的應用78mm 第第一一章章的的應應用用問問題題中中例例 ，給給出出了了每每期期結結算算次次的的復

17、復利利模模型型，如如果果結結算算次次數(shù)數(shù)越越來來越越多多，且且趨趨于于，意意味味著著每每個個瞬瞬時時立立即即存存入入立立即即結結算算，這這樣樣的的復復利利成成為為連連續(xù)續(xù)復復利利. .這這歸歸例例 結結為為 連連續(xù)續(xù)復復利利問問題題下下面面的的極極限限: :lim(1)mtmram 30即本利和將按照指數(shù)規(guī)律增長即本利和將按照指數(shù)規(guī)律增長. .現(xiàn)實世界中不少現(xiàn)象的數(shù)學模型是現(xiàn)實世界中不少現(xiàn)象的數(shù)學模型是如細胞的繁衍，放射元素的衰變，樹木的生如細胞的繁衍，放射元素的衰變，樹木的生長等長等. .(1)mtmraam 1lim(1)exxx e e 1lim(lim(1)1).mtrtn tnmrr

18、amnmnramna 令令，當當時時，從從而而得得到到 e e3110km10km1010km20km20km1520km30km30km209某某城城市市的的出出租租汽汽車車，出出租租費費用用如如下下：路路程程在在之之內(nèi)內(nèi)，包包括括，為為元元，到到，包包括括，為為元元，到到，包包括括，為為元元，依依此此類類推推，寫寫出出出出租租汽汽車車的的價價格格函函數(shù)數(shù)，并并討討論論此此函函數(shù)數(shù)在在分分例例 出出租租汽汽車車段段點點的的極極限限及及的的價價格格函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)性性. .32km( )10,010 ,( )15,1020 ,20,2030 .xc xxc xxx 解解 設設 表表示示路路程程（）， 表表示示價價格格函函數(shù)數(shù)（元元）， 則則： 20202020, li