大學(xué)物理振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)2

1、)sin(tAdtdxv)cos(222tAdtxda)cos(tAx位置、速度和加速度隨時(shí)間的變化AvmAam2簡(jiǎn)諧振動(dòng)：相對(duì)與平衡位置的位移是時(shí)間簡(jiǎn)諧振動(dòng)：相對(duì)與平衡位置的位移是時(shí)間的正弦或余弦函數(shù)這樣的振動(dòng)就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的正弦或余弦函數(shù)這樣的振動(dòng)就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)T1T2稱為稱為角頻率角頻率（或圓頻率）（或圓頻率）頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)kmT2mk21mk例如彈簧振子例如彈簧振子系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)所決定的周期（頻率系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)所決定的周期（頻率）, ,稱為稱為固有周期固有周期( (頻率頻率) )kmoxX2t相位 初相位初相位(初相初相)決定決定初始時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)初始時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài))sin(t

2、Av)cos(tAx)cos(2tAa相位是決定振動(dòng)物體相位是決定振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量的物理量已知的情況下在,A00, 0vvxxtcos0Ax sin0Av2020)(vxA00 xvtg)sin(tAv)cos(tAxmk2三個(gè)參量的計(jì)算 由初始條件求振幅和初相由初始條件求振幅和初相 解解: (1)cos(tAx22020vxA例例 1 一彈簧振子沿一彈簧振子沿X軸作簡(jiǎn)諧振軸作簡(jiǎn)諧振, 已知已知物體質(zhì)量為物體質(zhì)量為m=0.1kg. 在在t=0時(shí)物體對(duì)平時(shí)物體對(duì)平衡衡 位置的位移位置的位移X0=0.05m,速度為速度為v0= - 0.628m/s .mNk/8 .15求求: (1

3、) 振動(dòng)方程振動(dòng)方程 (2) 從初始位置到平衡從初始位置到平衡 位置所需最位置所需最短時(shí)間短時(shí)間14)/(57.121 . 08 .15ssradmkm22221007. 7)57.12()628. 0(05. 0cos0Ax sin0Av00 xvtgsmAv/628. 0sin0mtx)44cos(1007. 724或或0sin 445105. 057.12628. 0振幅已知，知道位振幅已知，知道位置和速度方向，就置和速度方向，就知道了相位知道了相位cos0Ax sin0AvX X0 0=0.05m,=0.05m,v v0 0= - 0.628m/s= - 0.628m/s時(shí)刻：設(shè)第一次

4、到平衡位置為t)44cos(02tAxst1610)44sin(2tAv244t 0.0707O0.050.0707x/mmtx)44cos(1007. 72例例2 已知某質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)曲線如圖，試根據(jù)圖中已知某質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)曲線如圖，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)寫出振動(dòng)表達(dá)式。數(shù)據(jù)寫出振動(dòng)表達(dá)式。 解：解：)cos(tAxxt02-22(m)(s)1當(dāng)當(dāng)t = 0時(shí)有：時(shí)有：0sin22cos200 vx4t = 1s時(shí)有時(shí)有: x=0, v00；3 0.24cos()3xtm所以振動(dòng)方程為所以振動(dòng)方程為: :o oA AP Px x t=0)(1t)(2t 32 23 x2): 畫出兩狀態(tài)對(duì)

5、應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量畫出兩狀態(tài)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)過的角度轉(zhuǎn)過的角度65st833. 065)3cos(24. 012. 01t21)3cos(1t3231t解析法解析法:時(shí)刻1tt時(shí)刻時(shí)刻0)3cos(2tv 02332tssttt83. 06512)(1t)(2t 32 23 x0)3sin(-1tA如何判定一個(gè)振動(dòng)是不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)？mk)cos(tAx 第2節(jié)：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)三個(gè)黃背底的式子可以互相推得，滿足這三個(gè)關(guān)系就三個(gè)黃背底的式子可以互相推得，滿足這三個(gè)關(guān)系就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)xa2makxF)cos(tAxmk稱為諧振動(dòng)的動(dòng)稱為諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程力學(xué)微分方程0222xdtxd并求其周期

6、。諧振動(dòng)這一結(jié)論常用來判斷簡(jiǎn)的平方根系數(shù)而且其角頻率就是諧振動(dòng)的形式變化就一定是簡(jiǎn)足上述微分方程，它的只要它隨時(shí)間的變化滿是什么量不管,xx在力學(xué)的范疇內(nèi)，上式依據(jù)牛頓定律、在力學(xué)的范疇內(nèi)，上式依據(jù)牛頓定律、轉(zhuǎn)動(dòng)定理得到該方程轉(zhuǎn)動(dòng)定理得到該方程0222xdtxd 續(xù)： 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程 單擺的振動(dòng)mgtFsinmgl222dtdml022lgdtd在角位移很小的時(shí)候，上式子可寫為：在角位移很小的時(shí)候，上式子可寫為：lgglT222ml0222xdtxd復(fù)擺的振動(dòng)sinmghCOmghOC 022ImghdtdImgh2角度很小時(shí)當(dāng)22dtdImghIT2可見可見, ,振動(dòng)的角頻率、周期完全

7、振動(dòng)的角頻率、周期完全由振動(dòng)系統(tǒng)本身來決定。由振動(dòng)系統(tǒng)本身來決定。 glT20222xdtxdI為為m繞繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。Iox設(shè)平衡時(shí)侵入液體中的體積為設(shè)平衡時(shí)侵入液體中的體積為V,以平衡以平衡時(shí)比重計(jì)下端為原點(diǎn)建立如圖所示坐標(biāo)時(shí)比重計(jì)下端為原點(diǎn)建立如圖所示坐標(biāo)Vgmg是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。動(dòng)推后，在豎直方向的運(yùn)，證明比重計(jì)經(jīng)下直徑為的液體中，比重計(jì)圓管為的比重計(jì)放在密度質(zhì)量為dm例例1ox浮力浮力：xgdVgF22重力：重力：mgxgdF22合mFa/合xgmddtxd4222gmd422坐標(biāo)為坐標(biāo)為x時(shí)的浮力：時(shí)的浮力：0222xdtxd例例2 設(shè)想地球內(nèi)有一光滑隧道，如圖所

8、示。證明質(zhì)點(diǎn)設(shè)想地球內(nèi)有一光滑隧道，如圖所示。證明質(zhì)點(diǎn)m在在此隧道此隧道 內(nèi)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)周期。地球質(zhì)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)周期。地球質(zhì)量量Me和半徑已知和半徑已知ReMRrrGmF332建立建立oy坐標(biāo)系：坐標(biāo)系：解解:rRGmMe3OsinFFysin3rRGmMe0221rqkqF 1q2q0322 yRGMdtyde滿足簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程，故為簡(jiǎn)滿足簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程，故為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其周期為諧振動(dòng)。其周期為min3 .84223 eGMRT sinFFyyRGmMdtydme322 sin3rRGmMeyRGmMe30O0222xdtxd0Omin3 .84223 e

9、GMRT 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量彈簧振子的動(dòng)能彈簧振子的動(dòng)能221mvEk)(sin2122tkA)(sin21222tAm)sin(tAv2max21kAEk0minkEkmoxX)cos(tAxmk2221kxEp)(cos2122tkAPEkEt)cos(tAx)(sin2122tkAEkkmoxX彈簧振子的勢(shì)能及機(jī)械能pkEEE221kA簡(jiǎn)諧振動(dòng)的總能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的總能量：系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒TPdttkATE022)(cos211241kA221kxEp)(cos2122tkA)(sin2122tkAEk平均動(dòng)能及平均勢(shì)能20411kAdtETEtKk動(dòng)能和勢(shì)能動(dòng)能和勢(shì)能平均來說都平均

10、來說都不占優(yōu)勢(shì)不占優(yōu)勢(shì)PEkEt簡(jiǎn)諧振動(dòng)能量與動(dòng)力學(xué)方程之間的關(guān)系pkEEE222121kxdtdxm0dtdE0222xdtxd一種新的證明簡(jiǎn)諧振動(dòng)、求簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期一種新的證明簡(jiǎn)諧振動(dòng)、求簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期的方法的方法 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程求解途徑簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程求解途徑1.1.由分析受力出發(fā)由分析受力出發(fā)(由牛頓定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律由牛頓定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程列方程)2. 由分析能量出發(fā)由分析能量出發(fā)(將將能量能量守恒式對(duì)守恒式對(duì)t求導(dǎo)求導(dǎo))例例3 一勁度系數(shù)為一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，一端固定在墻上，另一的輕彈簧，一端固定在墻上，另一端連結(jié)一質(zhì)量為端連結(jié)一質(zhì)量為m1的物體，放在光滑的水平面上。將的物體，

11、放在光滑的水平面上。將一質(zhì)量為一質(zhì)量為m2的物體跨過一質(zhì)量為的物體跨過一質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R的定滑輪的定滑輪與與m1相連，求其系統(tǒng)的振動(dòng)圓頻率。相連，求其系統(tǒng)的振動(dòng)圓頻率。解法一：以彈簧的固有長(zhǎng)度的端點(diǎn)為坐標(biāo)解法一：以彈簧的固有長(zhǎng)度的端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右為正建立坐標(biāo)。原點(diǎn)，向右為正建立坐標(biāo)。由牛頓第二定律由牛頓第二定律22111ddtsmamksTOm1m2m2g/kRMkm1kST1T1T2T2m2gRMs22111ddtsmamksT222222ddtsmamTgm21221)(MRIRTTOm1m2m2g/kRMkm1kST1T1T2T2m2gRMs22dd1tSRRa解上面的方程

12、組得解上面的方程組得0)()21(22221kgmSkt dSdMmmkgmSx2令：02dd2122xMmmktx系統(tǒng)的振動(dòng)角頻率系統(tǒng)的振動(dòng)角頻率221Mmmk0222xdtxdOm1m2m2g/kRMk解法二：在該系統(tǒng)的振動(dòng)過程中，只有重力和彈簧的彈性解法二：在該系統(tǒng)的振動(dòng)過程中，只有重力和彈簧的彈性力做功，因此該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。力做功，因此該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。gSmvmIvmkS222221221212121常數(shù)常數(shù)Om1m2m2g/kRMk彈簧原長(zhǎng)時(shí)為零重力勢(shì)能點(diǎn)，則彈簧伸長(zhǎng)為彈簧原長(zhǎng)時(shí)為零重力勢(shì)能點(diǎn)，則彈簧伸長(zhǎng)為S時(shí)：時(shí)：代入和將221MRIRv0)(dd)21(22221kgmS

13、ktSMmm2/21Mmmk上式對(duì)上式對(duì)t求導(dǎo)并整理可得求導(dǎo)并整理可得gSmvmIvmkS222221221212121常數(shù)常數(shù)Om1m2m2g/kRMkU形管中液體形管中液體的振動(dòng)的振動(dòng) 例題例題4在橫截面為在橫截面為S的的U形管中有適量液液體總長(zhǎng)度為形管中有適量液液體總長(zhǎng)度為L(zhǎng),質(zhì)質(zhì)量為量為m,密度為密度為 ,求液面上下起伏的振動(dòng)頻率（忽略液體求液面上下起伏的振動(dòng)頻率（忽略液體與管壁間的摩檫）與管壁間的摩檫） 選如圖所示的坐標(biāo)，并選選如圖所示的坐標(biāo)，并選兩液面相齊時(shí)的平衡位置為坐兩液面相齊時(shí)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，且取平衡時(shí)液體勢(shì)能標(biāo)原點(diǎn)，且取平衡時(shí)液體勢(shì)能為零。為零。 解解: 液體受到初始

14、擾動(dòng)后，液體受到初始擾動(dòng)后，振動(dòng)過程中沒有機(jī)械能損失，振動(dòng)過程中沒有機(jī)械能損失，因此我們用能量方法來分析。因此我們用能量方法來分析。yyOy由于液體的由于液體的“不可壓縮性，不可壓縮性，因此整個(gè)液體的動(dòng)能因此整個(gè)液體的動(dòng)能2)(21dtdym2)(21dtdymdtdy左面液面的速度為左面液面的速度為由能量守恒得由能量守恒得yyOy兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)平衡位置（兩液面高平衡位置（兩液面高度相同）為零勢(shì)點(diǎn)度相同）為零勢(shì)點(diǎn)常量2gSymgs2gsmT222gLT22LSm常量22)(21gSydtdym0222ymgsdtyd例例5 如圖所示，彈性系數(shù)為如圖所示，彈性系數(shù)為k，質(zhì)量為，質(zhì)量

15、為M的彈簧振子靜止的彈簧振子靜止地放置在光滑的水平面上，一質(zhì)量為地放置在光滑的水平面上，一質(zhì)量為m的子彈以水平速度的子彈以水平速度v1射入射入M中，并很快與之一起運(yùn)動(dòng)。選中，并很快與之一起運(yùn)動(dòng)。選m、M開始共同運(yùn)開始共同運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻為動(dòng)的時(shí)刻為 t = 0，求固有頻率、振幅和初相位。，求固有頻率、振幅和初相位。 解解kMV1mmMk 0 碰撞過程中動(dòng)量守恒：碰撞過程中動(dòng)量守恒：mMmvv 1020)(21vmM整個(gè)體系的能量整個(gè)體系的能量221kA)cos(0 tAx2120)(vmMkmvkmMA kMV1mxmMk 0 振動(dòng)學(xué)一個(gè)基本的思路振動(dòng)學(xué)一個(gè)基本的思路振動(dòng)疊加原理振動(dòng)疊加原理任何一個(gè)

16、復(fù)雜的振動(dòng)都可以看成任何一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)都可以看成是一種最基本的振動(dòng)合成的是一種最基本的振動(dòng)合成的簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)研究清楚了簡(jiǎn)諧振動(dòng)，再清楚了它們的研究清楚了簡(jiǎn)諧振動(dòng)，再清楚了它們的合成問題，就可以研究任何復(fù)雜振動(dòng)了合成問題，就可以研究任何復(fù)雜振動(dòng)了分振動(dòng)：分振動(dòng)：x1 =A1cos( 1 t+ 1 ) x2 =A2cos( 2 t+ 2 )合振動(dòng)：合振動(dòng)： x= x1+x2=A1cos( 1 t+ 1 )+ A2cos( 2 t+ 2 ) 振動(dòng)疊加原理振動(dòng)疊加原理簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成21xxx更一般的形式：更一般的形式：如果一個(gè)物體同如果一個(gè)物體同時(shí)參與了幾個(gè)振時(shí)參與了幾個(gè)振動(dòng)，則物體

17、將按動(dòng)，則物體將按它們的和振動(dòng)來它們的和振動(dòng)來運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)分振動(dòng)：分振動(dòng)：x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A2cos( t+ 2 )合振動(dòng)：合振動(dòng)： x= x1+x2=A1cos( t+ 1 )+ A2cos( t+ 2 ) 同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率同方向不同頻率分振動(dòng)：分振動(dòng)：x1 =A1cos( 1 t+ 1 ) x2 =A2cos( 2 t+ 2 )合振動(dòng)：合振動(dòng)： x= x1+x2=A1cos( 1 t+ 1 )+ A2cos( 2 t+ 2 ) 我們要講四種情形我們要講四種情形分振動(dòng)：分振動(dòng)：x =A1cos( t+ 1 ) y =A2cos( t+ 2

18、 )振動(dòng)方向垂直的同頻率振動(dòng)方向垂直的同頻率分振動(dòng)：分振動(dòng)：x =A1cos( 1 t+ 1 ) y =A2cos( 2 t+ 2 )合振動(dòng)：合振動(dòng)：j yi xrjtAitA)cos()cos(2211振動(dòng)方向垂直的不同頻率振動(dòng)方向垂直的不同頻率j yi xr合振動(dòng)：合振動(dòng)：jtAitA)cos()cos(222111我們要講四種情形我們要講四種情形一一 同方向同頻率的同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1.分振動(dòng)分振動(dòng) :x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)11cosA22cosA2AA1A21合振動(dòng)是合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)嗎？嗎？振幅多大？振幅多大？周期

19、多少？周期多少？XY0 x1=A1cos( t+ 1)x2=A2cos( t+ 2)2.合振動(dòng)合振動(dòng) : x = x1+ x2x =A cos( t+ )合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng), 其頻率仍為其頻率仍為 )cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintgAAAA2AA1A21X11cosA22cosA11sinA22sinAY兩種特殊情況(1)若兩分振動(dòng)若兩分振動(dòng)同相同相 2 1= 2k (k=0,1,2,)2AA1A則則A=A1+A2 , 兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)合振幅最大合振幅最大(2)若兩分振動(dòng)若兩分振動(dòng)反相反相 2 1= (2k+1) (

20、k=0,1,2,)則則A=|A1-A2|, 兩分振動(dòng)相互減弱兩分振動(dòng)相互減弱2AA1A如如 A1=A2 , 則則 A=0(3)一般情況：一般情況：|2121AAAAA1A2AA例例4 有兩個(gè)振動(dòng)方向相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方有兩個(gè)振動(dòng)方向相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程分別為程分別為cm)2cos(41txcm)2/2cos(32tx 求它們的合振動(dòng)方程；求它們的合振動(dòng)方程；2) 另有一同方向的簡(jiǎn)諧另有一同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)cm)2cos(233tx問當(dāng)問當(dāng) 3 為何值時(shí)，為何值時(shí)，x1+x3的振動(dòng)為最大值？當(dāng)?shù)恼駝?dòng)為最大值？當(dāng) 3為為何值時(shí)，何值時(shí)，x1+x3的振動(dòng)為最小值？的振動(dòng)為最小值？)2co

21、s(0tAx解：解：1) 兩個(gè)振動(dòng)方向相同，頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)兩個(gè)振動(dòng)方向相同，頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后還是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，合振動(dòng)方程為合成后還是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，合振動(dòng)方程為)2cos(0tAx)cm(5)cos(212212221AAAAA43coscossinsintan221122110AAAA)cm()5/42cos(5tx所求的振動(dòng)方程為所求的振動(dòng)方程為540590相位相同時(shí)當(dāng),), 2, 1, 0(213kk2)，振幅最大即), 2, 1, 0(23kk相位相反時(shí)（當(dāng),), 2, 1, 0() 1213kk，振幅最小即), 2, 1, 0(23kkcm)2cos(41txcm)2cos(233txX(m)o)(st4