大學(xué)物理第三章-三大守恒定律

1、力的時間和空間積累力的時間和空間積累 微分形式的牛頓第二定律是關(guān)于力與加微分形式的牛頓第二定律是關(guān)于力與加速度的瞬時關(guān)系，考慮中間的每個過程。速度的瞬時關(guān)系，考慮中間的每個過程。力力的的累積累積效應(yīng)效應(yīng)EArFIpttF, , )(對對 積累積累對對 積累積累第三章第三章 三大守恒定律三大守恒定律 一一 理解理解動量、沖量概念動量、沖量概念, 掌握動量定理和掌握動量定理和動量守恒定律動量守恒定律 。掌握角動量和角動量守恒定律。掌握角動量和角動量守恒定律。 二二 掌握掌握功的概念功的概念, 能計算變力的功能計算變力的功, 理解保理解保守力作功的特點及勢能的概念守力作功的特點及勢能的概念, 會計算

2、萬有引力、會計算萬有引力、重力和彈性力的勢能重力和彈性力的勢能 . 三三 掌握掌握動能定理動能定理 、功能原理和機(jī)械能守、功能原理和機(jī)械能守恒定律恒定律, 掌握運用守恒定律分析問題的思想和方掌握運用守恒定律分析問題的思想和方法法 . 四四 了解了解完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞的特點的特點 .第三章第三章 三大守恒定律三大守恒定律3-1 沖量沖量 質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理1. 1. 沖量沖量 質(zhì)點的動量定理質(zhì)點的動量定理牛頓第二定律的微分形式牛頓第二定律的微分形式 2121ddpppFttt經(jīng)歷時間從經(jīng)歷時間從t t1 1- -t t2 2，兩端積

3、分，兩端積分pFdd t12pp 左側(cè)積分表示力對時間的累積量，叫做左側(cè)積分表示力對時間的累積量，叫做沖量沖量。沖量沖量 21dtttFI動量動量vmp動量定理動量定理12ppI 動量定理動量定理12ppI 動量定理：動量定理：在在一段時間一段時間內(nèi)，物體在運動過程中所內(nèi)，物體在運動過程中所受到的合外力的沖量，等于該物體動量的增量。受到的合外力的沖量，等于該物體動量的增量。動量定理的幾點說明：動量定理的幾點說明：(1)(1)沖量的方向：沖量的方向： 沖量沖量 的方向一般不是某一瞬時力的方向一般不是某一瞬時力 的方向，的方向，而是所有元沖量而是所有元沖量 的合矢量的合矢量 的方向的方向。tF d

4、 21dtttFIF 21dtttFI(2)(2)在直角坐標(biāo)系中矢量方程的分量形式在直角坐標(biāo)系中矢量方程的分量形式xxttxxmvmvtFI1221d yyttyymvmvtFI1221d zzttzzmvmvtFI1221d (3)(3)動量定理在打擊或碰撞問題中用來求平均力。動量定理在打擊或碰撞問題中用來求平均力。t2t1tF 打擊或碰撞，力打擊或碰撞，力 的方向保持的方向保持不變，相互作用力很大且變化迅速不變，相互作用力很大且變化迅速但作用時間很短的力稱為但作用時間很短的力稱為沖力沖力。F 力力F F 曲線與曲線與t 軸所包圍的面積就是軸所包圍的面積就是t1到到t2這段時間內(nèi)力這段時間內(nèi)

5、力F F 的的沖量沖量的大小。的大小。21ttdtFt2t1tF動量定理動量定理根據(jù)根據(jù)動量定理：動量定理：1221ttdtFFttF(4)(4)動量定理是牛頓第二定律的積分形式，因此其適用動量定理是牛頓第二定律的積分形式，因此其適用范圍是范圍是慣性系慣性系。1212ttpp根據(jù)根據(jù)改變動量的等效性改變動量的等效性定義平均力。定義平均力。12ttF1221ppdtFtt例題例題3-1 質(zhì)量質(zhì)量M=3t的重錘，從高度的重錘，從高度h=1.5m處自由落到受鍛壓的工件上，工處自由落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生形變。如果作用的時間件發(fā)生形變。如果作用的時間(1) =0.1s， (2) =0.01s 。試

6、求錘對工件的平均沖力。試求錘對工件的平均沖力。hNgM解：解：以重錘為研究對象，分析受力，以重錘為研究對象，分析受力，作受力圖：作受力圖： 解法一：解法一：錘對工件的沖力變化很錘對工件的沖力變化很大，采用平均沖力計算，其反作用力大，采用平均沖力計算，其反作用力用平均支持力代替。用平均支持力代替。在豎直方向利用動量定理，取豎直向上為正。在豎直方向利用動量定理，取豎直向上為正。0)(MvMvMgN 動量定理動量定理0)(MvMvMgN 末狀態(tài)動量為末狀態(tài)動量為 0 0初狀態(tài)動量為初狀態(tài)動量為ghM2ghMMgN2)(得到得到/2ghMMgN 解得解得代入代入M、h、 的值，求得：的值，求得：(1)

7、(1) 1 . 0/5 . 18 . 928 . 9(1033 N牛頓51092. 1 hNgM)01. 0/5 . 18 . 928 . 9(1033 N牛頓6109 . 1 (2)(2)動量定理動量定理解法二：解法二：考慮從錘自由下落到靜止考慮從錘自由下落到靜止的整個過程，動量變化為零。的整個過程，動量變化為零。重力作用時間為重力作用時間為gh/2 支持力的作用時間為支持力的作用時間為 根據(jù)動量定理，整個過程合外力的沖量根據(jù)動量定理，整個過程合外力的沖量為零，即為零，即0)/2( ghMgN得到解法一相同的結(jié)果得到解法一相同的結(jié)果/2ghMMgN hNgM動量定理動量定理例題例題3-2 3

8、-2 一繩跨過一定滑輪，兩端分別拴有質(zhì)量為一繩跨過一定滑輪，兩端分別拴有質(zhì)量為m m及及的的M M 物體物體A A和和B B， M M 大于大于m m。B B靜止在地面上，當(dāng)靜止在地面上，當(dāng)A A自由下自由下落距離落距離h h后，繩子才被拉緊。求繩子剛被拉緊時兩物體后，繩子才被拉緊。求繩子剛被拉緊時兩物體的速度，以及能上升的最大高度。的速度，以及能上升的最大高度。MmBAh解：解：以物體以物體A和和B為系統(tǒng)作為為系統(tǒng)作為研究對象，采用隔離法分析受研究對象，采用隔離法分析受力，作出繩拉緊時的受力圖：力，作出繩拉緊時的受力圖：Agm1TBgM2T 繩子剛好拉緊前的瞬間，繩子剛好拉緊前的瞬間，物體物

9、體A的速度為：的速度為：ghv2 取豎直向上為正方向。取豎直向上為正方向。動量定理動量定理 繩子拉緊后，經(jīng)過短暫時間的繩子拉緊后，經(jīng)過短暫時間的作用，兩物體速率相等，對兩個物作用，兩物體速率相等，對兩個物體分別應(yīng)用動量定理，得到：體分別應(yīng)用動量定理，得到：)()(1mvmVtmgT 0)(2MVtMgT忽略重力忽略重力，考慮到繩不可伸長，有：，考慮到繩不可伸長，有：TTT21解得：解得：mMghmV 2MmBAhAgm1TBgM2Tghv2 動量定理動量定理 當(dāng)物體當(dāng)物體B上升速度為零時，達(dá)到上升速度為零時，達(dá)到最大高度最大高度022 VaHgmMmMa 222mMhmH MaMgTmaTmg

10、MmBAhAgm1TBgM2T定義：定義：n n個質(zhì)點的組成個質(zhì)點的組成系統(tǒng)（物體系，質(zhì)點系）系統(tǒng)（物體系，質(zhì)點系）內(nèi)力：內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點間的相系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點間的相 互作用力?；プ饔昧?。外力：外力：系統(tǒng)外其他物體對系統(tǒng)外其他物體對 系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點的作用力。系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點的作用力。2. 2. 質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系質(zhì)點系1m2m12f21f1F2F由兩個質(zhì)點組成的簡單系統(tǒng)由兩個質(zhì)點組成的簡單系統(tǒng)dtpdfF1121dtpdfF2212相加相加2112ff)(2121ppdtdFF動量定理動量定理)(2121ppdtdFF推廣到推廣到N個質(zhì)點的更一般情況個質(zhì)點的更一般情況iiiipdtdF質(zhì)點

11、系質(zhì)點系1m2m12f21f1F2FiiexFF：為系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點所受外力的矢量和。：為系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點所受外力的矢量和。iipp：為系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點動量的矢量和。：為系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點動量的矢量和。dtpdFex簡寫為pddtFex兩邊積分兩邊積分系統(tǒng)所受的合外力的沖量等于系統(tǒng)總動量的增量。系統(tǒng)所受的合外力的沖量等于系統(tǒng)總動量的增量。2121ppttexpddtF兩邊積分兩邊積分112121nttittexNnndtFdtFII各質(zhì)點所受外力的沖量的矢量和。各質(zhì)點所受外力的沖量的矢量和。ipp：為質(zhì)點系動量的增量，為各質(zhì)點動量：為質(zhì)點系動量的增量，為各質(zhì)點動量：為合外力的沖量，：為合外力的沖量，增量

12、的矢量和。增量的矢量和。微分形式微分形式積分形式積分形式12pppI1. 1. 動量守恒定律動量守恒定律0pvmpiii=常矢量常矢量 如果系統(tǒng)所受的外力之和為零（即如果系統(tǒng)所受的外力之和為零（即 ），則系），則系統(tǒng)的總動量保持不變。這個結(jié)論叫做動量守恒定律。統(tǒng)的總動量保持不變。這個結(jié)論叫做動量守恒定律。0iF條件條件0iF定律定律3-2 3-2 動量守恒定律動量守恒定律直角坐標(biāo)系下的分量形式直角坐標(biāo)系下的分量形式nxnxxvmvmvm2211=常量常量nynyyvmvmvm2211=常量常量nznzzvmvmvm2211=常量常量pddtFdtFiex 1）系統(tǒng)的系統(tǒng)的動量守恒動量守恒是指系

13、統(tǒng)的是指系統(tǒng)的總動量不變，系總動量不變，系統(tǒng)內(nèi)任一物體的動量是可變的統(tǒng)內(nèi)任一物體的動量是可變的, 各物體的動量必各物體的動量必相相 對于對于同一慣性參考系同一慣性參考系 。 2）守恒條件）守恒條件 合外力為零合外力為零 當(dāng)當(dāng) 時，可時，可 略去外力的作用略去外力的作用, 近似地近似地認(rèn)為系統(tǒng)動量守恒認(rèn)為系統(tǒng)動量守恒 . 例如在碰撞例如在碰撞, 打擊打擊, 爆炸等問題中爆炸等問題中. 0exexiiFFinexFF 3） 動量守恒定律只在動量守恒定律只在慣性參考系慣性參考系中成立中成立, 是自是自然界最普遍，最基本的定律之一然界最普遍，最基本的定律之一 。說明：說明：例題例題3-3 如圖所示如圖

14、所示, 設(shè)炮車以仰角設(shè)炮車以仰角 發(fā)射一炮彈，炮發(fā)射一炮彈，炮車和炮彈的質(zhì)量分別為車和炮彈的質(zhì)量分別為M和和m，炮彈的出口速度為，炮彈的出口速度為v，求炮車的反沖速度求炮車的反沖速度V。炮車與地面間的摩擦力不計。炮車與地面間的摩擦力不計。解：解： 把炮車和炮彈看成一個系統(tǒng)。發(fā)炮前系統(tǒng)在豎把炮車和炮彈看成一個系統(tǒng)。發(fā)炮前系統(tǒng)在豎直方向上的外力有重力直方向上的外力有重力 和地面支持力和地面支持力 ，而，而且且 ，在發(fā)射過程中，在發(fā)射過程中 并不成立（想一并不成立（想一想為什么？），想為什么？），NGNGNG vmM動量守恒定律動量守恒定律GN系統(tǒng)所受的外力矢量和不為零，所以這系統(tǒng)所受的外力矢量和不

15、為零，所以這一系統(tǒng)的總動量不守恒。一系統(tǒng)的總動量不守恒。Vvu它的水平分量為它的水平分量為Vvux cos根據(jù)動量守恒定理有根據(jù)動量守恒定理有對地面參考系，炮彈相對地面的速度對地面參考系，炮彈相對地面的速度u cosvMmmV 由此得炮車的反沖速度為由此得炮車的反沖速度為 0cosVvmMV動量守恒定律動量守恒定律 vmMV解：物體的動量原等于零，炸裂時爆炸力是物體內(nèi)力，解：物體的動量原等于零，炸裂時爆炸力是物體內(nèi)力，它遠(yuǎn)大于重力，故在爆炸中，可認(rèn)為它遠(yuǎn)大于重力，故在爆炸中，可認(rèn)為動量守恒動量守恒。由此。由此可知，物體分裂成三塊后，這三塊碎片的動量之和仍可知，物體分裂成三塊后，這三塊碎片的動量

16、之和仍等于零，即等于零，即例題例題3-4 一個靜止物體炸成三塊，其中兩塊質(zhì)量相等，一個靜止物體炸成三塊，其中兩塊質(zhì)量相等，且以相同速度且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飛開，第三塊沿相互垂直的方向飛開，第三塊的質(zhì)量恰好等于這兩塊質(zhì)量的總和。試求第三塊的速的質(zhì)量恰好等于這兩塊質(zhì)量的總和。試求第三塊的速度（大小和方向）。度（大小和方向）。 所以，所以，這三個動量必處于這三個動量必處于同一平面內(nèi)同一平面內(nèi)，且第三塊的動量，且第三塊的動量必和第一、第二塊的合動量大必和第一、第二塊的合動量大小相等方向相反，如圖所示。小相等方向相反，如圖所示。因為因為v v1 1和和v v2 2相互垂直所以相互垂直所

17、以0332211vmvmvmm3v3m2v2m1v1 動量守恒定律動量守恒定律222211233)()()(vmvmvm 222211233)()()(vmvmvm smvvv/2 .21303021212222213 由于由于 和和 所成角所成角 由下式?jīng)Q定：由下式?jīng)Q定：1v3v 0180,45, 1012vvtg因因所以所以0135即即 和和 及及 都成都成 且三者都在同一平面內(nèi)且三者都在同一平面內(nèi)01353v1v2v由于由于 , ,所以所以 的大小為的大小為3vmmmmm2,321動量守恒定律動量守恒定律m3v3m2v2m1v1 3-4 功功 動能和動能定理動能和動能定理1. 功功功是表

18、示力對空間累積效應(yīng)的物理量。功是表示力對空間累積效應(yīng)的物理量。(1) 恒定外力對直線運動物體作功恒定外力對直線運動物體作功為力在質(zhì)點位移方為力在質(zhì)點位移方向的分量與位移大小的乘積向的分量與位移大小的乘積 . （功是標(biāo)量，過程量）功是標(biāo)量，過程量）cosFrrFA(2)(2)變力的功變力的功ba 物體在變力的作物體在變力的作用下從用下從a運動到運動到b。 怎樣計算這個力的功呢？怎樣計算這個力的功呢？采用微元分割法采用微元分割法iirFiAiirFiiiabAA第第i 段近似功：段近似功：總功近似：總功近似：第第2段近似功：段近似功：第第1段近似功：段近似功：222rFA111rFA 1F2F3F

19、iF4Fba3r1r2rir4r動能定理動能定理 當(dāng)當(dāng) 時時, 可用可用 表示表示, 稱為元位移稱為元位移; 用用 表示表示, 稱為元功。稱為元功。0irrdiAAd3-4 功功 動能和動能定理動能和動能定理元功的定義：元功的定義： 物體在力物體在力 的作用下發(fā)生一無限小的位移的作用下發(fā)生一無限小的位移 ( (元位移元位移) )時時, ,此力對它做的功定義為此力對它做的功定義為: :力在力的位移力在力的位移上的投影和此元位移大小的乘積。上的投影和此元位移大小的乘積。FrdrdFrdFdAcos其中其中為力與位移的夾角。為力與位移的夾角。當(dāng)當(dāng)0 0 00，力對物體做正功，力對物體做正功。當(dāng)當(dāng) =

20、 = /2/2時，時， d dA A =0=0，力對物體不做功，力對物體不做功。當(dāng)當(dāng) /2/2 時，時，d dA A 0L，試計算物體的初速度，試計算物體的初速度v0。 由于物體是勻質(zhì)的，在物體完全滑上臺面之前，由于物體是勻質(zhì)的，在物體完全滑上臺面之前，它對臺面的正壓力與滑上臺面的質(zhì)量成正比，所以，它對臺面的正壓力與滑上臺面的質(zhì)量成正比，所以，它所受臺面的摩擦力它所受臺面的摩擦力fr是變化的。是變化的。動能定理動能定理mgfLxgxLmfLxrr,0Lv0OxLs解：解：我們把變化的摩擦力表示為我們把變化的摩擦力表示為GNrf當(dāng)物體前端在當(dāng)物體前端在s處停止時，摩擦力做的功為處停止時，摩擦力做

21、的功為LsLrxmgxgxLmxfxFA0dddd動能定理動能定理Lv0OxLsLxgxLmfr0LxmgfrLsmgLmg2)2(Lsmg再由動能定理得再由動能定理得20210)2(mvLsmg即得即得)2(20Lsgv4.4.兩體碰撞兩體碰撞CpFFiiinex 碰撞碰撞 兩物體互相接觸時間極短而互作用力較大兩物體互相接觸時間極短而互作用力較大的相互作用的相互作用 .CEEE2k1kk 完全彈性碰撞完全彈性碰撞 兩物體碰撞之后，兩物體碰撞之后， 它們的動能之它們的動能之和不變和不變 .2021012211vmvmvmvm2202210122221121212121vmvmvmvm即即 非對

22、心碰撞非對心碰撞 對心碰撞對心碰撞 如果兩球在碰撞前的速度在兩球的中心連線上，如果兩球在碰撞前的速度在兩球的中心連線上，那么，碰撞后的速度也都在這一連線上，這種碰撞那么，碰撞后的速度也都在這一連線上，這種碰撞稱為稱為對心碰撞（對心碰撞（或稱或稱正碰撞）。正碰撞）。 設(shè)設(shè) 和和 分別表示兩球在碰撞前的速度，分別表示兩球在碰撞前的速度， 和和 分別表示兩球在碰撞后的速度，分別表示兩球在碰撞后的速度， 和和 分別為兩球分別為兩球的質(zhì)量。應(yīng)用動量守恒定律得的質(zhì)量。應(yīng)用動量守恒定律得10v20v1m2v2m1v2211202101vmvmvmvm10v20v1f2f1v2v1m2m1m1m2m2m碰撞后

23、碰撞后碰撞前碰撞前碰撞時碰撞時 （1 1）. . 完全彈性碰撞完全彈性碰撞2202210122221121212121vmvmvmvm2202210122221121212121vmvmvmvm2211202101vmvmvmvm21202102112)(mmvmvmmv21101201222)(mmvmvmmv （1 1）. . 完全彈性碰撞完全彈性碰撞完全彈性碰撞完全彈性碰撞 （1 1）設(shè)）設(shè) 得得 ， 兩球兩球經(jīng)過碰撞將交換彼此的速度。經(jīng)過碰撞將交換彼此的速度。 21mm 102,201vvvv討論：討論：21202102112)(mmvmvmmv21101201222)(mmvmvmm

24、v 同樣大小的球相碰同樣大小的球相碰 （2 2）設(shè)）設(shè) ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 的物體在碰撞的物體在碰撞前靜此不動，即前靜此不動，即2m21mm 020v2110211)(mmvmmv2110122mmvmv 如果如果12mm 101vv02v21202102112)(mmvmvmmv21101201222)(mmvmvmmv如果如果21mm 101vv 1022vv 質(zhì)量極大并且靜止的物體，經(jīng)碰撞后，幾乎仍靜質(zhì)量極大并且靜止的物體，經(jīng)碰撞后，幾乎仍靜止不動，而質(zhì)量極小的物體在碰撞前后的速度方向相止不動，而質(zhì)量極小的物體在碰撞前后的速度方向相反，大小幾乎不變。反，大小幾乎不變。完全彈性碰撞完全彈性碰

25、撞 大球碰撞小球大球碰撞小球 小球碰撞大球小球碰撞大球 （2 2）完全非彈性碰撞）完全非彈性碰撞: :兩物體碰撞后兩物體碰撞后,以同一速度運動以同一速度運動 .2120210121mmvmvmvvvvmmvmvm21202101201012vvvve 牛頓的牛頓的碰撞定律碰撞定律：碰撞后兩球的分離速度：碰撞后兩球的分離速度 ，與碰撞前兩球的接近速度與碰撞前兩球的接近速度 成正比，比值由兩球的成正比，比值由兩球的材料性質(zhì)決定。材料性質(zhì)決定。 )(12vv )(2010vv 恢復(fù)系數(shù) -完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞。0e -非彈性碰撞非彈性碰撞。10 e - -完全彈性碰撞完全彈性碰撞。1e3-5

26、 勢能勢能 功能原理功能原理 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律1. 1. 作用力與反作用力的功作用力與反作用力的功 設(shè)有兩個質(zhì)點設(shè)有兩個質(zhì)點1 1和和2 2，質(zhì)量分別為，質(zhì)量分別為 和和 ， 為為質(zhì)點質(zhì)點1 1受到質(zhì)點受到質(zhì)點2 2的作用力，的作用力， 為質(zhì)點為質(zhì)點2 2受到質(zhì)點受到質(zhì)點1 1的作的作用力，它們是一對作用力和反作用力。用力，它們是一對作用力和反作用力。1m12f2m21f1m2m1r2r21r12f21fxyzO2rd1rd 計算兩個粒子計算兩個粒子發(fā)生微小位移發(fā)生微小位移 和和 的元過程中，作的元過程中，作用力和反作用力所用力和反作用力所做的功。做的功。1rd2rd成對力的功成對

27、力的功1121ddrfA1221rdrdf2212ddrfA2121drf 由此可見，成對作用力與反作用力所作的總功由此可見，成對作用力與反作用力所作的總功只與作用力只與作用力 及相對位移及相對位移 有關(guān)，而與每個質(zhì)點有關(guān)，而與每個質(zhì)點各自的運動無關(guān)。各自的運動無關(guān)。f21dr1m2m1r2r2rd1rd21r12f21fxyzO2112ff1221rrdf221112drdfrdfAbarfA2121d第第2 2個粒子個粒子相對于相對于第第1 1個粒個粒子的位置由子的位置由a a點變到點變到b b點。點。 表明表明：任何一對作用力和反作用力所作的總功：任何一對作用力和反作用力所作的總功具有與

28、參考系選擇無關(guān)的性質(zhì)。具有與參考系選擇無關(guān)的性質(zhì)。3-5 勢能勢能 功能原理功能原理 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律2. 2. 保守力和非保守力保守力和非保守力 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m的物體在重力的物體在重力的作用下從的作用下從a點任一曲線點任一曲線acacb運運動到動到b點。點。（1 1） 重力作功重力作功Ghbahh ahabcbh 在元位移在元位移 中，重力中，重力 所做的元功是所做的元功是 rGrdGdAmgdh 由此可見，重力作功僅僅與物體的始末位置有關(guān)，由此可見，重力作功僅僅與物體的始末位置有關(guān)，而與運動物體所經(jīng)歷的路徑無關(guān)。而與運動物體所經(jīng)歷的路徑無關(guān)。dAAbahhmgdhbamgh

29、mgh 重力作功重力作功bamghmghA 設(shè)物體沿任一閉合設(shè)物體沿任一閉合路徑路徑 運動一周，運動一周，重力所作的功為：重力所作的功為：adbcabaadbmghmghAabbcamghmghAGhbahh ahabcbhd0bcaadbAAA0dsGA 表明：在重力場中物體沿任一閉合路徑運表明：在重力場中物體沿任一閉合路徑運動一周時重力所作的功為零。動一周時重力所作的功為零。（2 2） 萬有引力的功萬有引力的功 兩個物體的質(zhì)量分別為兩個物體的質(zhì)量分別為M和和m，它們之間有萬有，它們之間有萬有引力作用。引力作用。以以M為原點為原點O建立坐標(biāo)系，研究建立坐標(biāo)系，研究m相對相對M的運動。的運動。

30、rdrdbbrfraarmOMrfAdd3rrdrGmM2rdrGmM3rrGmMfrdrdrrrdrdr222萬有引力的功萬有引力的功rdrdbbrFraarmOMbarrAAdbarrrdrGmM2)11(barrGmM 由此可見，萬有引力作功也僅僅與質(zhì)點的始由此可見，萬有引力作功也僅僅與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，與具體路徑無關(guān)。末位置有關(guān)，與具體路徑無關(guān)。2rdrGmMdA（3 3） 彈性力的功彈性力的功 彈簧勁度系數(shù)為彈簧勁度系數(shù)為k ，一端固定于墻壁，另一端系，一端固定于墻壁，另一端系一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的物體，置于光滑水平地面。以彈簧無變的物體，置于光滑水平地面。以彈簧無變形時小球所在位置

31、為坐標(biāo)原點，建立形時小球所在位置為坐標(biāo)原點，建立X X軸。軸。XOXOx0lkxfkxdxdAxbxababaxxxxxkxdAAd222121bakxkx 由此可見，彈性力作功也僅僅與質(zhì)點的始末位置由此可見，彈性力作功也僅僅與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，與具體路徑無關(guān)。有關(guān)，與具體路徑無關(guān)。mgfmgdsdA11LLmgdsA1mgS222mgSmgdsALL（4 4）摩擦力做功）摩擦力做功mf2L2Sab1Sf1Lm摩擦力做的元功摩擦力做的元功1L 沿著路徑沿著路徑 運動，摩擦力運動，摩擦力所做的總功為所做的總功為2L沿著路徑沿著路徑 運動，摩擦力所做的總功為運動，摩擦力所做的總功為摩擦力做功和具

32、體路徑無關(guān)。摩擦力做功和具體路徑無關(guān)。 功的大小只與物體的始末位置有關(guān)，而與所經(jīng)功的大小只與物體的始末位置有關(guān)，而與所經(jīng)歷的路徑無關(guān)，這類力叫做歷的路徑無關(guān)，這類力叫做保守力。保守力。不具備這種性不具備這種性質(zhì)的力叫做質(zhì)的力叫做非保守力。非保守力。保守力的功保守力的功ppbpabaccEEErdFA（4 4）保守力和非保守力）保守力和非保守力或或0rdFAcc3. 3. 勢能勢能 定義定義 為為勢能：勢能：質(zhì)點在保守力場中與位置相質(zhì)點在保守力場中與位置相關(guān)的能量。它是一種潛在的能量，不同于動能。關(guān)的能量。它是一種潛在的能量，不同于動能。pE保守力做功等于勢能增量的負(fù)值。保守力做功等于勢能增量的

33、負(fù)值。3. 3. 勢能勢能ppbpabaEEEA保守力做功等于勢能增量的負(fù)值。保守力做功等于勢能增量的負(fù)值。a點的勢能點的勢能pbbapaEAE規(guī)定規(guī)定b點的勢能為點的勢能為00darF0aA 物體在空間中任意物體在空間中任意a點的點的勢能勢能等于物體由等于物體由a點沿點沿任意路徑移到勢能零點的過程中保守力所做的功。任意路徑移到勢能零點的過程中保守力所做的功。幾種常見的勢能：幾種常見的勢能：重力作功重力作功bamghmghAmgh重力勢能重力勢能mghEph=0處為勢能零點處為勢能零點萬有引力的功萬有引力的功barGmMrGmMA11彈性力的功彈性力的功222121bakxkxArGmM122

34、1kx幾種常見的勢能：幾種常見的勢能：萬有引力勢能萬有引力勢能rMmGEp處為勢能零點處為勢能零點彈性勢能彈性勢能221kxEp彈簧自由伸長狀態(tài)為彈簧自由伸長狀態(tài)為坐標(biāo)原點和勢能零點坐標(biāo)原點和勢能零點 勢能具有勢能具有相對相對性，勢能性，勢能大小大小與勢能與勢能零點零點的選取的選取有關(guān)有關(guān) 。),(ppzyxEE 勢能是勢能是狀態(tài)狀態(tài)函數(shù)函數(shù)討論討論ppbpacEEEAAEAzyxEp0p),( 勢能計算勢能計算 勢能是屬于勢能是屬于系統(tǒng)系統(tǒng)的的 。屬于保守內(nèi)力相互作用的系。屬于保守內(nèi)力相互作用的系統(tǒng)，勢能是一種相互作用能。統(tǒng)，勢能是一種相互作用能。0),(p0dEzyxrF 勢能差有絕對意義

35、，而勢能只有相對意義。勢勢能差有絕對意義，而勢能只有相對意義。勢能零點可根據(jù)問題的需要來選擇。能零點可根據(jù)問題的需要來選擇。pEzOmgzE p彈性彈性勢能曲線勢能曲線0, 0pEx重力重力勢能曲線勢能曲線0, 0pEz引力引力勢能曲線勢能曲線0,pErxOpE2p21kxExOpErmmGEp 勢能曲線勢能曲線 表明：保守力沿某方向的分量等于勢能對此方向的表明：保守力沿某方向的分量等于勢能對此方向的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。也就是高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。也就是高等數(shù)學(xué)中的梯度梯度。pppEEEA)(12pEd d dlr 令lEfpdd保dArfd保dlfEpd 保則3. 3. 由勢能函數(shù)求保守力由勢能函

36、數(shù)求保守力 質(zhì)點在保守力質(zhì)點在保守力 的作用下移動了無限小的位移的作用下移動了無限小的位移 ，所做的元功為所做的元功為保frd勢能曲線勢能曲線lEfpdd保表明：保守力沿某方向的分量等于表明：保守力沿某方向的分量等于勢能對此方向的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。勢能對此方向的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中xEfpxdd保yEfpydd保zEfpzdd保kzEjyEixEfpppdddddd保zkyjxi rEp例題例題3-7 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m=1kg的物體，在保守力的物體，在保守力F（x）的作用下，沿）的作用下，沿x 軸正向運動（軸正向運動（x0）。與該保守力相應(yīng)的勢能是）。與該保守力相應(yīng)的勢能是式中

37、式中x以以m為單位，勢能以為單位，勢能以J為單位，為單位，a =1Jm2,b=2J m 。（a）畫畫出物體的勢能曲線；出物體的勢能曲線；（b）設(shè)物體的總能量設(shè)物體的總能量E =-0.50J 保持不變，保持不變，這表明物體的運動被引力束縛在一定范圍之內(nèi)。試分別用作圖和這表明物體的運動被引力束縛在一定范圍之內(nèi)。試分別用作圖和計算的方法求物體的運動范圍。計算的方法求物體的運動范圍。)0()(2 xxbxaxEp解解 （a） 根據(jù)根據(jù))0()(2 xxbxaxEp取下列數(shù)據(jù)來取下列數(shù)據(jù)來 畫出勢能曲線畫出勢能曲線保守力保守力 勢能勢能x/mEp(x)/J0.20.51.501-1.0-0.75-0.5

38、5-0.44234求物體的平衡位置求物體的平衡位置232xbxadxdEFp 令令F=0,解得解得 x=1m ，這就，這就是物體的平衡位置，在該點，是物體的平衡位置，在該點，勢能有極小值，如圖所示。勢能有極小值，如圖所示。 10 01 12 21 12 23 34 4x /mEP /J保守力保守力 勢能勢能（b）當(dāng)物體的總能量）當(dāng)物體的總能量E=-0.50J保持不變時，令保持不變時，令Ep(x)=E就可求就可求得物體的得物體的Ek=E-Ep為為0的位置，的位置，因此，令因此，令由此解得由此解得Jxbxa50.02 mmmx14.359.0)22(保守力保守力 勢能勢能 10 01 12 21

39、12 23 34 4 x /mEP /J 設(shè)系統(tǒng)由兩個質(zhì)點設(shè)系統(tǒng)由兩個質(zhì)點1 1和和2 2組成，它們的質(zhì)量分別組成，它們的質(zhì)量分別為為m1 和和m2。5. 5. 功能原理功能原理1F2F12f21fm1m2 質(zhì)點系動能定理：質(zhì)點系動能定理：所有所有外外力力與所有與所有內(nèi)力內(nèi)力對質(zhì)點系做功之對質(zhì)點系做功之和等于質(zhì)點系總動能的增量。和等于質(zhì)點系總動能的增量。kkakbEEEAA內(nèi)內(nèi)外外非保內(nèi)保內(nèi)內(nèi)AAAkakbEEAAA非保內(nèi)保內(nèi)外 外力和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功的總和等于質(zhì)點系外力和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功的總和等于質(zhì)點系的機(jī)械能的增量。的機(jī)械能的增量。kakbEEAAA非保內(nèi)保內(nèi)外papbEEA保內(nèi)pap

40、bkakbEEEEAA非保內(nèi)外 pakapbkbEEEE機(jī)械能機(jī)械能pkEEE功能原理功能原理abEEAA非保內(nèi)外例題例題3-8 3-8 一汽車的速度一汽車的速度v v0 0=36km/h,=36km/h,駛至一斜率為駛至一斜率為0.0100.010的斜坡時，關(guān)閉油門。設(shè)車與路面間的摩擦阻力為車重的斜坡時，關(guān)閉油門。設(shè)車與路面間的摩擦阻力為車重G G的的0.050.05倍，問汽車能沖上斜坡多遠(yuǎn)？倍，問汽車能沖上斜坡多遠(yuǎn)？解解 解法一：取汽車為研究對象。解法一：取汽車為研究對象。Ns 系統(tǒng)的功能原理系統(tǒng)的功能原理rfNG受力分析受力分析: :重力重力 , ,方向豎直向下；斜坡對物體方向豎直向下；

41、斜坡對物體的的支持力支持力 ；沿斜坡方向向下的；沿斜坡方向向下的摩擦力摩擦力 。 設(shè)汽車能沖上斜坡的距離設(shè)汽車能沖上斜坡的距離為為s s，此時汽車的末速度為，此時汽車的末速度為0 0。根據(jù)根據(jù)動能定理動能定理20210sinmvGssfr （1）frGcosGfr2021sincosmvGsGs 按題意，按題意，tgtg =0.010=0.010，表示，表示斜坡與水平面的夾角很小，所斜坡與水平面的夾角很小，所以以sinsin tgtg ，coscos 1,1,并因并因G=mg,G=mg,上式可化成上式可化成2021vgstggs （2）系統(tǒng)的功能原理系統(tǒng)的功能原理sGNfr )(220 tgg

42、vs 2021sincosmvGsGsmm85)010. 005. 0(8 . 92102)021()sin020 mvGssfr （ sin2120GsmvGs 解法二：解法二：取汽車和地球這一系統(tǒng)為研究對象取汽車和地球這一系統(tǒng)為研究對象，則系，則系統(tǒng)內(nèi)只有汽車受到統(tǒng)內(nèi)只有汽車受到 和和 兩個非保守外力的作用，兩個非保守外力的作用，運用系統(tǒng)的運用系統(tǒng)的功能原理功能原理，以水平面為勢能零點有，以水平面為勢能零點有rfN系統(tǒng)的功能原理系統(tǒng)的功能原理sGNfr 化簡后得相同結(jié)果?；喓蟮孟嗤Y(jié)果。mgRmvEEAAB221解解 在物體從在物體從A A到到B B的下滑過程中，受到的力：的下滑過程中，

43、受到的力： 重力重力 G G，摩擦力，摩擦力F F（變力），（變力），正壓力正壓力N N（變力）。（變力）。它們的差值就是摩擦力所作的功，它們的差值就是摩擦力所作的功，例題例題3-9 3-9 在圖中，一個質(zhì)量在圖中，一個質(zhì)量m=2kgm=2kg的物體從靜止開始，的物體從靜止開始，沿四分之一的圓周從沿四分之一的圓周從A A滑到滑到B B，已知圓的半徑，已知圓的半徑R=4mR=4m，設(shè)，設(shè)物體在物體在B B處的速度處的速度v=6m/sv=6m/s，求在下滑過程中，摩擦力所，求在下滑過程中，摩擦力所作的功。作的功。 ORABNGfrv系統(tǒng)的功能原理系統(tǒng)的功能原理采用采用功能原理功能原理進(jìn)行計算，把物

44、體和地球作為系統(tǒng)，進(jìn)行計算，把物體和地球作為系統(tǒng)，物體在物體在A A點時系統(tǒng)的能量點時系統(tǒng)的能量 E EA A是是系統(tǒng)的勢能系統(tǒng)的勢能 mgRmgR，在在B B點時系統(tǒng)的能量點時系統(tǒng)的能量 E EB B則是動能則是動能 mvmv2 2/2/2，mgRmvEEAAB221 負(fù)號表示摩擦力對物體作負(fù)功，即物體反抗摩負(fù)號表示摩擦力對物體作負(fù)功，即物體反抗摩擦力作功擦力作功42.4J42.4J系統(tǒng)的功能原理系統(tǒng)的功能原理例題例題3-9 3-9 在圖中，一個質(zhì)量在圖中，一個質(zhì)量m=2kgm=2kg的物體從靜止開始，的物體從靜止開始，沿四分之一的圓周從沿四分之一的圓周從A A滑到滑到B B，已知圓的半徑，

45、已知圓的半徑R=4mR=4m，設(shè)，設(shè)物體在物體在B B處的速度處的速度v=6m/sv=6m/s，求在下滑過程中，摩擦力，求在下滑過程中，摩擦力所作的功。所作的功。 ORABNGfrvJJ48 . 9262212J4 .42 機(jī)械能守恒定律：機(jī)械能守恒定律：如果一個系統(tǒng)非保守內(nèi)力與如果一個系統(tǒng)非保守內(nèi)力與外力的總功為零，則系統(tǒng)機(jī)械能的總值保持不變。外力的總功為零，則系統(tǒng)機(jī)械能的總值保持不變。6. 6. 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律條件條件常量0EEEEPk定律定律功能原理功能原理abEEAA非保內(nèi)外0非保內(nèi)外AA7. 7. 能量轉(zhuǎn)化與守恒定律能量轉(zhuǎn)化與守恒定律 一個孤立系統(tǒng)經(jīng)歷任何變化時，該系統(tǒng)

46、的所有一個孤立系統(tǒng)經(jīng)歷任何變化時，該系統(tǒng)的所有能量的總和是不變的，能量只能從一種形式轉(zhuǎn)化能量的總和是不變的，能量只能從一種形式轉(zhuǎn)化為另外一種形式，或從系統(tǒng)內(nèi)一個物體傳遞給另為另外一種形式，或從系統(tǒng)內(nèi)一個物體傳遞給另一個物體。這就是普遍的能量轉(zhuǎn)化與守恒定律一個物體。這就是普遍的能量轉(zhuǎn)化與守恒定律。能量守恒定律能量守恒定律 到十九世紀(jì)，能量概念才逐步由力的概念中分到十九世紀(jì)，能量概念才逐步由力的概念中分離出來。實際上，只有在能量的轉(zhuǎn)換和守恒定律發(fā)離出來。實際上，只有在能量的轉(zhuǎn)換和守恒定律發(fā)現(xiàn)以后，人們才認(rèn)識功、動能和勢能的真實含義?，F(xiàn)以后，人們才認(rèn)識功、動能和勢能的真實含義。二十世紀(jì)初，愛因斯坦建

47、立了狹義相對論，得到了二十世紀(jì)初，愛因斯坦建立了狹義相對論，得到了“質(zhì)能關(guān)系質(zhì)能關(guān)系”，進(jìn)一步揭示能量和質(zhì)量的相當(dāng)性，進(jìn)一步揭示能量和質(zhì)量的相當(dāng)性，對于能量的認(rèn)識才更深入了一步。對于能量的認(rèn)識才更深入了一步。與機(jī)械運動直接相關(guān)的能量是機(jī)械能。與機(jī)械運動直接相關(guān)的能量是機(jī)械能。例題例題3-10 起重機(jī)用鋼絲繩吊運一質(zhì)量為起重機(jī)用鋼絲繩吊運一質(zhì)量為m 的物體，以的物體，以速度速度v0作勻速下降。當(dāng)起重機(jī)突然剎車時，物體因慣作勻速下降。當(dāng)起重機(jī)突然剎車時，物體因慣性進(jìn)行下降，問使鋼絲繩再有多少微小的伸長？性進(jìn)行下降，問使鋼絲繩再有多少微小的伸長？(設(shè)鋼設(shè)鋼絲繩的勁度系數(shù)為絲繩的勁度系數(shù)為k，鋼絲繩的

48、重力忽略不計，鋼絲繩的重力忽略不計)。這樣。這樣突然剎車后，鋼絲繩所受的最大拉力將有多大？突然剎車后，鋼絲繩所受的最大拉力將有多大？GTv0守恒定律守恒定律解：解：由物體、地球和鋼絲繩由物體、地球和鋼絲繩組成的系統(tǒng)。組成的系統(tǒng)。 重力和鋼絲繩中的彈性重力和鋼絲繩中的彈性力是保守力，系統(tǒng)的機(jī)械能力是保守力，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。守恒。守恒定律守恒定律解：解：x0hv0 起重機(jī)突然停止的那個瞬時位起重機(jī)突然停止的那個瞬時位置置，物體的動能為，物體的動能為20121mvEk 這時鋼絲繩的伸長量為這時鋼絲繩的伸長量為x0，系統(tǒng)，系統(tǒng)的彈性勢能為的彈性勢能為20121kxEp 彈彈 如果物體因慣性繼續(xù)下降的

49、微小距離為如果物體因慣性繼續(xù)下降的微小距離為h，以這，以這最低位置作為重力勢能的零位置，那么系統(tǒng)這時的重最低位置作為重力勢能的零位置，那么系統(tǒng)這時的重力勢能為力勢能為mghEp 重重1系統(tǒng)在這位置的總機(jī)械能為系統(tǒng)在這位置的總機(jī)械能為mghkxmvEEEEppk202011112121重彈守恒定律守恒定律x0hv0系統(tǒng)的彈性勢能應(yīng)為系統(tǒng)的彈性勢能應(yīng)為物體下降到最低位置時物體下降到最低位置時物體的動能物體的動能E Ek2k2=0=0，202)(21hxkEp 彈彈重力勢能重力勢能02 重重pE系統(tǒng)最低位置的總機(jī)械能為系統(tǒng)最低位置的總機(jī)械能為202222)(21hxkEEEEppk 重重彈彈系統(tǒng)在初

50、位置的總機(jī)械能為系統(tǒng)在初位置的總機(jī)械能為mghkxmvEEEEppk202011112121重彈按機(jī)械能守恒定律，應(yīng)有按機(jī)械能守恒定律，應(yīng)有E E1 1E E2 2，按機(jī)械能守恒定律，應(yīng)有按機(jī)械能守恒定律，應(yīng)有E E1 1E E2 2，于是，于是202020)(212121hxkmghkxmv 021)(212002 mvhmgkxkh 由于物體作勻速運動時，鋼絲繩的伸長由于物體作勻速運動時，鋼絲繩的伸長x0量滿足量滿足x0=G/k=mg/k，代入上式后得，代入上式后得0202mvkh0vkmh 即即守恒定律守恒定律x0hv0鋼絲繩所受的最大拉力鋼絲繩所受的最大拉力)(0hxkTm 由此式可見

51、，如果由此式可見，如果v0較大，較大，Tm也較大。所以對也較大。所以對于一定的鋼絲繩來說，應(yīng)規(guī)定吊運速度于一定的鋼絲繩來說，應(yīng)規(guī)定吊運速度v0不得超過不得超過某一限值。某一限值。守恒定律守恒定律x0hv00vkmh )(0vkmkmgk0vkmmg 例題例題 3-11 用一彈簧將質(zhì)量分別為用一彈簧將質(zhì)量分別為m1和和m2的上下兩水的上下兩水平木板連接如圖所示，下板放在地面上。（平木板連接如圖所示，下板放在地面上。（1）如以）如以上板在彈簧上的平衡靜止位置為重力勢能和彈性勢能上板在彈簧上的平衡靜止位置為重力勢能和彈性勢能的零點，試寫出上板、彈簧以及地球這個系統(tǒng)的總勢的零點，試寫出上板、彈簧以及地

52、球這個系統(tǒng)的總勢能。（能。（2）對上板加多大的向下壓力）對上板加多大的向下壓力 F ，才能因突然，才能因突然撤去它，使上板向上跳而把下板拉起來？撤去它，使上板向上跳而把下板拉起來？x0 xOxFx1x2守恒定律守恒定律解解（1）取上板的平衡位置為）取上板的平衡位置為x 軸的原點，并設(shè)彈簧軸的原點，并設(shè)彈簧為原長時上板處在為原長時上板處在x0位置。系統(tǒng)的彈性勢能位置。系統(tǒng)的彈性勢能x0 xOx0220202121)(21kxxkxkxxxkEpe gxmEpg1 系統(tǒng)的重力勢能系統(tǒng)的重力勢能守恒定律守恒定律所以總勢能為所以總勢能為pgpepEEEgxmxkxkx10221 上板在彈簧上的平衡條件得上板在彈簧上的平衡條件得kx0=m1g，代入