(完整word版)同濟(jì)大學(xué)高數(shù)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn),推薦文檔

1、高等數(shù)學(xué)（上）知識(shí)點(diǎn)高等數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)與極限（一） 函數(shù)1、 函數(shù)定義及性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性）；2、 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運(yùn)算；3、 初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)；4、 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)；函數(shù) f (x) 在 x0 連續(xù)lim f ( x) f ( x0 )x x0第一類(lèi)：左右極限均存在.間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)第二類(lèi)：左右極限、至少有一個(gè)不存在.無(wú)窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)5、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理及其推論 .（二） 極限1、定義1）數(shù)列極限lim xn a0,

2、N,n N , xnan2）函數(shù)極限lim f ( x) A0,0,x, 當(dāng) 0x x0時(shí)， f ( x) Axx0第1頁(yè)共12頁(yè)高等數(shù)學(xué)（上）知識(shí)點(diǎn)左極限： f ( x0 ) lim f ( x)右極限： f ( x0 ) lim f ( x)x x0x x0lim f ( x) A 存在f ( x0 ) f ( x0 )x x02、極限存在準(zhǔn)則1）夾逼準(zhǔn)則：1） ynxnzn ( n n0 )2） lim ynlim znalim xnannn2）單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限 .3、無(wú)窮?。ù螅┝?）定義：若 lim0 則稱(chēng)為無(wú)窮小量；若 lim則稱(chēng)為無(wú)窮大量 .2）無(wú)窮小的階：高階

3、無(wú)窮小、同階無(wú)窮小、等價(jià)無(wú)窮小、k 階無(wú)窮小Th1o() ;Th2, ,lim存在，則 limlim（無(wú)窮小代換）4、求極限的方法1）單調(diào)有界準(zhǔn)則；2）夾逼準(zhǔn)則；3）極限運(yùn)算準(zhǔn)則及函數(shù)連續(xù)性；4）兩個(gè)重要極限：lim sin x1lim (1 1) xa)1b)lim (1 x) xex 0xx 0xx5）無(wú)窮小代換：（ x0 ）a)x sin x tan x arcsinx arctanx第2頁(yè)共12頁(yè)高等數(shù)學(xué)（上）知識(shí)點(diǎn)b) 1 cos x 12c)ex1 xd)ln(1x) xe)(1x)1 二、導(dǎo)數(shù)與微分（一） 導(dǎo)數(shù)x2（ ax 1 x ln a ）（ loga (1 x) x）ln

4、ax1、定義： f ( x0 ) limf ( x)f (x0 )xx0xx 0左導(dǎo)數(shù)： f(x0 )f ( x) f ( x0 )limxx0xx0右導(dǎo)數(shù)： f( x0 )f ( x) f ( x0 )limxx0xx0函數(shù) f (x) 在 x0點(diǎn)可導(dǎo)f( x0 ) f ( x0 )2、幾何意義： f (x0 ) 為曲線 yf (x) 在點(diǎn) x0 , f ( x0 ) 處的切線的斜率 .3、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：4、求導(dǎo)的方法1） 導(dǎo)數(shù)定義；2） 基本公式；3） 四則運(yùn)算；4） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（鏈?zhǔn)椒▌t） ；5） 隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；6） 參數(shù)方程求導(dǎo)；第3頁(yè)共12頁(yè)高等數(shù)學(xué)（上）知識(shí)點(diǎn)7） 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

5、 .5、高階導(dǎo)數(shù)d 2 yddy1） 定義： dx2dxdxn2） Leibniz公式： uv ( n)Cnk u( k) v(n k )k0（二） 微分1） 定義：yf ( x0x)f ( x0 ) A xo(x) ，其中 A 與 x 無(wú)關(guān) .2） 可微與可導(dǎo)的關(guān)系：可微可導(dǎo)，且 dyf( x0 ) x f ( x0 )dx三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一） 中值定理1、 Rolle 羅爾定理：若函數(shù)f (x) 滿(mǎn)足：1） f ( x)C a, b ； 2） f ( x)D (a, b) ； 3 ） f (a)f (b) ；則( a,b), 使 f ( )0 .2、 Lagrange 拉格朗

6、日中值定理：若函數(shù)f (x) 滿(mǎn)足：1） f ( x)C a, b ； 2） f ( x)D (a, b) ；則(a, b), 使f (b)f (a)f ( )(b a) .3、 Cauchy 柯西中值定理：若函數(shù)f ( x), F ( x) 滿(mǎn)足：1）f ( x), F ( x)C a,b ；2 ）f ( x), F ( x) D (a, b) ；3）F ( x)0, x (a, b)則(a,b), 使 f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()第4頁(yè)共12頁(yè)高等數(shù)學(xué)（上）知識(shí)點(diǎn)（二） 洛必達(dá)法則（三） Taylor公式（四） 單調(diào)性及極值1、 單調(diào)性判別法： f (x)C a

7、, b ， f ( x) D (a, b) ，則若 f (x)0 ，則f ( x) 單調(diào)增加；則若 f(x) 0 ，則 f (x) 單調(diào)減少 .2、 極值及其判定定理：a)必要條件： f (x) 在 x0可導(dǎo)，若 x0為 f (x) 的極值點(diǎn)，則 f ( x0 )0.b)第一充分條件： f (x) 在 x0 的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 f (x0 ) 0 ，則若當(dāng) xx0時(shí)， f (x)0 ，當(dāng) xx0 時(shí)， f (x)0 ，則 x0 為極大值點(diǎn)； 若當(dāng) xx0時(shí)， f (x)0 ，當(dāng) xx0 時(shí)， f (x)0 ，則 x0 為極小值點(diǎn)；若在x0 的兩側(cè) f ( x) 不變號(hào)，則 x0 不是極值點(diǎn) .c

8、) 第二充分條件： f ( x)在 x0 處二階可導(dǎo)，且f (x0 )0 ， f( x0 ) 0 ，則若 f ( x0 ) 0 ，則 x0為極大值點(diǎn)；若 f( x0 )0 ，則 x0為極小值點(diǎn) .3、 凹凸性及其判斷，拐點(diǎn)1） f (x) 在區(qū)間 I 上連續(xù)，若 x1 , x2I , f ( x1x2 )f (x1 )f (x2 ) ，則稱(chēng) f (x) 在22區(qū)間 I上的圖形是凹的；若 x1 , x2I , f ( x1x2 )f (x1 )f ( x2 ) ，則稱(chēng) f (x) 在22區(qū)間 I上的圖形是凸的 .2）判定定理： f (x) 在 a, b 上連續(xù)，在 (a, b) 上有一階、二階導(dǎo)

9、數(shù)，則a)若x( a, b), f ( x)0, 則 f (x) 在 a, b 上的圖形是凹的；b)若x(a, b), f ( x)0, 則 f (x) 在 a, b 上的圖形是凸的 .3）拐點(diǎn)：設(shè) yf (x) 在區(qū)間 I上連續(xù)， x0 是 f (x) 的內(nèi)點(diǎn)，如果曲線 yf ( x) 經(jīng)第5頁(yè)共12頁(yè)高等數(shù)學(xué)（上）知識(shí)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) ( x0 , f ( x0 ) 時(shí)，曲線的凹凸性改變了， 則稱(chēng)點(diǎn) ( x0 , f ( x0 ) 為曲線的拐點(diǎn) .（五） 不等式證明1、 利用微分中值定理；2、 利用函數(shù)單調(diào)性；3、 利用極值（最值） .（六） 方程根的討論1、 連續(xù)函數(shù)的介值定理；2、 Rolle

10、定理；3、 函數(shù)的單調(diào)性；4、 極值、最值；5、 凹凸性 .（七） 漸近線1、 鉛直漸近線： lim f ( x)，則 xa 為一條鉛直漸近線；xa2、 水平漸近線： lim f ( x)b ，則 yb 為一條水平漸近線；x3、 斜漸近線： lim f ( x)k lim f ( x)kx b 存在，則 ykx b 為一條斜xxx漸近線 .（八） 圖形描繪四、不定積分（一） 概念和性質(zhì)1、原函數(shù)：在區(qū)間I 上，若函數(shù) F (x) 可導(dǎo)，且 F ( x)f ( x) ，則 F (x) 稱(chēng)為f (x) 的一個(gè)原函數(shù) .第6頁(yè)共12頁(yè)高等數(shù)學(xué)（上）知識(shí)點(diǎn)2、不定積分：在區(qū)間I 上，函數(shù) f (x)

11、的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱(chēng)為f (x) 在區(qū)間 I 上的不定積分 .3、基本積分表（ P188，13 個(gè)公式）；4、性質(zhì)（線性性） .（二） 換元積分法1、 第一類(lèi)換元法（湊微分） ：f ( x)( x)dxf (u)du u( x)2、 第二類(lèi)換元法（變量代換） ：f ( x) dxf (t )(t )dtt1( x)（三） 分部積分法：udv uv vdu（四） 有理函數(shù)積分1 、“拆”；2 、變量代換（三角代換、倒代換、根式代換等） .五、定積分（一） 概念與性質(zhì)：bn1、 定義： a f ( x)dxlimf ( i )xi0 i 12、 性質(zhì)：（7 條）性質(zhì) 7 （積分中值定理）函數(shù)

12、f (x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 a,b ，使bbf ( )f ( x) dxf ( x) dx f ( )( ba)（平均值：a）baa第7頁(yè)共12頁(yè)高等數(shù)學(xué)（上）知識(shí)點(diǎn)（二） 微積分基本公式（ NL 公式）x1、 變上限積分：設(shè)( x)f (t )dt，則( x)f (x)a推廣：d (x )f (t )dtf ( x)( x)f ( x) ( x)dx( x)2、 NL 公式：若 F (x) 為 f ( x) 的一個(gè)原函數(shù)，則bf ( x) dx F (b) F ( a)a（三） 換元法和分部積分bf ( x)dxf (t )(t) dt1、 換元法： abuv bab2、 分部積

13、分法：udvvduaa（四） 反常積分1、無(wú)窮積分：tf ( x) dxlimf ( x) dxatabbf ( x) dxlimf ( x) dxtt0f ( x) dxf ( x) dxf ( x) dx02、瑕積分：bbf ( x ) dxlimat atbtf ( x ) dx （a 為瑕點(diǎn)）f ( x) dxlimf ( x ) dx （b 為瑕點(diǎn)）at ba兩個(gè)重要的反常積分：第8頁(yè)共12頁(yè)高等數(shù)學(xué)（上）知識(shí)點(diǎn)dx,p1a1p1)ax p, p1p1(ba)1 q1bdxbdx, q1q2)a (xa)qa (bx) q,q1六、定積分的應(yīng)用（一） 平面圖形的面積b2 ( x) f

14、 1 ( x) dx1、 直角坐標(biāo)： A fa2、 極坐標(biāo)： A122( )12 ( ) d2第9頁(yè)共12頁(yè)高等數(shù)學(xué)（上）知識(shí)點(diǎn)（二） 體積1、 旋轉(zhuǎn)體體積：a) 曲邊梯形 yf ( x), xa, xb, x 軸，繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積：Vxbf2 ( x ) dxab) 曲邊梯形 yf ( x), xa, xb, x 軸，繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積：Vyb2xf ( x)dxa（柱殼法）2、 平行截面面積已知的立體： VbaA( x )dx（三） 弧長(zhǎng)1、 直角坐標(biāo)： sb2 dx1f( x )a2、 參數(shù)方程： s( t )2( t )2 dt3、 極坐標(biāo)： s() 2(

15、)2 d七、微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程.階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).2、 解：使微分方程成為恒等式的函數(shù).通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解.第10頁(yè)共12頁(yè)高等數(shù)學(xué)（上）知識(shí)點(diǎn)（二） 變量可分離的方程g( y)dyf (x)dx ，兩邊積分g( y)dyf ( x)dx（三） 齊次型方程dy( y ) ，設(shè) uydxxxdxxx或 dy( y ) ，設(shè) v y（四） 一階線性微分方程，則，則dyux dudxdx ；dxvy dvdydydy

16、P(x) y Q( x)dxP( x) dxP ( x )dx用常數(shù)變易法或用公式： y eQ( x)edx C（五） 可降階的高階微分方程1、 y( n )f ( x) ，兩邊積分 n 次；2、3、y f ( x, y ) （不顯含有 y ），令yf ( y, y ) （不顯含有 x ），令yp ，則 yp ；yp ，則 yp dpdy（六） 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)1、 y1, y2是齊次線性方程的解，則 C1 y1 C2 y2也是；2、 y1, y2是齊次線性方程的線性無(wú)關(guān)的特解，則C1 y1C2 y2 是方程的通解；3、 y C yCy2y* 為非齊次方程的通解，其中y, y為對(duì)應(yīng)齊次方程的11212線性無(wú)關(guān)的解， y* 非齊次方程的特解 .（七） 常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程：ypyqy0第11頁(yè)共12頁(yè)高等數(shù)學(xué)（上）知識(shí)點(diǎn)特征方程： r 2prq 0 ，特征根： r1 , r2特征根通解實(shí)根 r1r2y C1er 1 xC2 er 2 xr1 r2py (