x數(shù)形結(jié)合常見例題

1、數(shù)形結(jié)合例題分析實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；曲線與方 程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來(lái)的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。如等式(x 2)2 (y 1)24一、聯(lián)想圖形的交點(diǎn)例1.已知0 a 1,則方程a岡|loga x叫實(shí)根個(gè)數(shù)為()A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 1 個(gè)或2個(gè)或3個(gè)分析：判斷方程的根的個(gè)數(shù)就是判斷圖象y a|x1與y |loga x|的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫 出兩個(gè)函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程有2個(gè)實(shí)根，選(B)。例2.解不等式X6令y1 v,x 2

2、, y2 x,則不等式x2 x的解，就是使y1 Jx 2的圖象在丫2 X的上方的那段對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo),如下圖，不等式的解集為X|XAxXb而xB可由尿一2X,解得，xB2,故不等式的解集為x| 2 x 2練習(xí)：設(shè)定義域?yàn)镽函數(shù)f (x)lgx 0，則關(guān)于x的方程f 2(x) bf (x) c0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是()A.b 0,c 0B.b 0,cC.b 0,c 0D.b 0,c 0 答案二、聯(lián)想絕對(duì)值的幾何意義例1、已知C 0 ,設(shè)P :函數(shù)ycx在R上單調(diào)遞減，Q：不等式x x 2c 1的解集為R,如果P與Q有且僅有一個(gè)正確，試求 C的范圍。因?yàn)椴坏仁?X X 2c 1的幾何意義為：在

3、數(shù)軸上求一點(diǎn) P(x),使P到A(0), B(2c)的距離之和的最小值大于1,而P到AB二點(diǎn)的最短距離為 AB 2c 1,即c1 一 一X， r ，、，、 一 r,一而P：函數(shù)y cx在R上單調(diào)遞減，即c 12，一一 一 1 一 由題息可得：0 C 一或C 12三、聯(lián)想二次函數(shù)例1、已知關(guān)于X的方程x2 4x 5 m有四個(gè)不相等的實(shí)根， 則實(shí)數(shù)m的取值范圍為分析：直接求解，繁難！。由方程聯(lián)想二次函數(shù)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合, 了。設(shè) yi x2 4x 5,y2 m。又四、聯(lián)想反函數(shù)的性質(zhì)yi為偶函數(shù)，由圖可知1例 1、方程 2X x 3, log 2 x x3的實(shí)根分別為X.解：令 yi 2 , y2 l

4、og 2 x, yyi,y2互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于x對(duì)稱，設(shè)A(xi,3 xi), B(X2,3 X2) xiX2即X1X2六、聯(lián)想斜率公式例i.求函數(shù)y sinx 2的值域。 cosx 2X1, X2 ,y sinX 2的形式類似于斜率公式cosx 2y2yiX2Xiy sinx 2表示過(guò)兩點(diǎn)p0(2, cosx 22), P(cosx, sinx)的直線斜率由于點(diǎn)P在單位圓x2 y2 i上，如圖顯然，kp)AVkP0B設(shè)過(guò)P0的圓的切線方程為y 2 k(x 2)而行 12k 2|4±V7 0ni 4 77,4 否則有 Fi,解得 k -即 kPoA-，kPoB -k2 i3334

5、. 747二函數(shù)值域?yàn)?33例2、實(shí)系數(shù)方程X2b 2ax 2b 0的一根在o和in同，另一根在i和2之間，求 的取值氾圍。a ib2解：數(shù)形結(jié)合由b一 的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想二次函數(shù)性質(zhì)及 a iJ2的幾何意義來(lái)求解，以形助數(shù)，則簡(jiǎn)潔明了。 a i令f (x)x2 ax 2b ,則由已知有f (0) 0b 0f (i) 0 得至U i a 2b 0f (2) 02 a b 0這個(gè)二元一次不等式組的解為ABC內(nèi)的點(diǎn)(a,b)的集合由b2的幾何意義為過(guò)點(diǎn)a i(a,b)和點(diǎn)D(i,2)的直線的斜率，一 一一 1由此可以看出：一kAD4, d b 2kBD 1 即a 1，一一 1 八的取值范圍是(1,1

6、)。4練習(xí)：如果實(shí)數(shù)x、y滿足(xc222) y3,則y的最大值為( xA. 12B 3B.3D. 3五、聯(lián)想兩點(diǎn)間的距離公式例 1、設(shè) f (x)1 x2 ,a,bRM af(a) f(b) a b解：a b,不妨設(shè)a b,構(gòu)造如圖的Rt OAP其中OP則 PA 1 a2f (a),PB,1 b2 f (b), AB a1,OA a,OB在 Rt OAP 中，有 PA PBAB f(a) f(b) a六、聯(lián)想點(diǎn)到直線的距離公式例1、已知P是直線3x 4y8 0上的動(dòng)點(diǎn)，PA,PB是y2 2x2y0的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形 PACB面積的最小值。解：Spacb 2Spac

7、2 1 PA AC PA ,PC2 1要使面積最小，只需 PC最小，即定點(diǎn)C到定直線上動(dòng)點(diǎn) P距離最小即可即點(diǎn)C (1,1)到直線3x4y8 0的距離,3 14 2 8 而 d-,c2,2,34(SPACB)min 32 12 2Y七、聯(lián)想函數(shù)奇偶性例1、設(shè)yf (x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y f(x)的圖象關(guān)于直線1 ， x 對(duì)稱，則2f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)解：本題由于y f (x)不明確，故f (x)的函數(shù)值不好直接求解。若能聯(lián)想到奇函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，以數(shù)助形來(lái)解決，則簡(jiǎn)潔明了。則可知 f (0) 0,又且y f(x)的1圖象關(guān)于直線 x 5對(duì)稱， f(1) 0則奇

8、函數(shù)可得：f ( 1) 0,則又由對(duì)稱性知：f(2) 0同理：f (3) f (4) f (5) 0f(1) f(2)f(3) f(4)f(5) 0八、其它簡(jiǎn)單方法：例1.若關(guān)于x的方程x2 2kx 3k 0的兩根都在1和3之間，求k的取值范圍解：令f(x) x2 2kx 3k,其圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方 程f(x) 0的解，由y f(x)的圖象可知，要使二根都在1,3之間，只需f( 1) 0, f(3) 0,bf (一) f( k) 0同時(shí)成立，解得 1 k 0,故女(1,0)2a課后練習(xí):1.方程lgx sin x的實(shí)根的個(gè)數(shù)為() A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4

9、個(gè)2.函數(shù)y a|x|與ya的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A. (1,B.(1, 1) C.(,1 1,D.(，1) (1,3.設(shè)命題甲：0 x3,命題乙：|x 1| 4,則甲是乙成立的(A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.不充分也不必要條件4.若方程lg( x2 3x m) lg(3 x)在0, 3上有唯一解，求m的取值范圍。5.設(shè)a0且aw1 ,試求下述方程有解時(shí)k的取值范圍。loga(x ak)lOga2a(x2 a2)。練習(xí)答案1. C2. D提示：畫出ya| x| 與 ya的圖象情形1:3. A4.解:原方程等價(jià)于情形2:3x3x3x m 04x 3 m令 y1x2 4x3, y2m,在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出它們的圖象，其中注意象在0, 3)上有唯一公共點(diǎn)時(shí)，原方程有唯一解，由下圖可見，當(dāng)m=1,或此m的取值范圍為 3, 01。5.解：將原方程化為：loga (xak)loga 技a2 ,ak Jx2 a2 ,且xak0, x2 a2