立體幾何教學(xué)建議

1、立體幾何教學(xué)建議密云二中 王德臣一、課時(shí)安排（共約45課時(shí)）第一節(jié) 平面 3課時(shí)第二節(jié) 空間直線 5課時(shí)第三節(jié) 直線與直線平行的判定與性質(zhì) 3課時(shí)第四節(jié) 直線與直線垂直的判定與性質(zhì) 4課時(shí)第五節(jié) 兩個(gè)平面平行的判定與性質(zhì) 3課時(shí)第六節(jié)兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì) 3課時(shí)第7節(jié) 棱柱 4課時(shí)第8節(jié) 棱錐 4課時(shí)研究性學(xué)習(xí) 歐拉定理 2（3）課時(shí)第9節(jié) 球 4課時(shí)小結(jié)與復(fù)習(xí) 3課時(shí)空間向量法及其應(yīng)用 7課時(shí)其中空間直角坐標(biāo)系、向量的加法、減法、向量的平行于垂直的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的內(nèi)積、在上的投影等約1課時(shí)。直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行約2課時(shí)異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角

2、的平面角約2課時(shí)異面直線間的距離、點(diǎn)到直線的距離、直線與平面的距離約2課時(shí)。二、立體幾何重點(diǎn)解決兩個(gè)方面的問題：1、 線面關(guān)系（包括直線與直線、直線與平面、平面與平面）的平行與垂直關(guān)系的判定與證明。2、 空間角（包括異面直線，直線與平面、平面與平面）所成的角與距離（點(diǎn)到線、點(diǎn)到面、兩條異面直線，直線與平面間、兩個(gè)平行平面、球面上兩點(diǎn)）間的距離度量。三、學(xué)習(xí)立體幾何的難點(diǎn)（教學(xué)過程中注意培養(yǎng)）1、 在平面內(nèi)如何表示空間圖形（畫圖、空間想象）2、 數(shù)學(xué)語(yǔ)言豐富（文字、圖形、符號(hào)語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)換）3、 邏輯關(guān)系（正確、恰當(dāng)?shù)乇硎龆ɡ恚?、 證明方法繁多（直接法、反證法、分析法、同一法、等價(jià)轉(zhuǎn)化）四、知識(shí)

3、梳理度量關(guān)系 五、教學(xué)建議：1、定義（或概念）、定理、公理、法則等，要求學(xué)生要準(zhǔn)確敘述出來，分清它們的條件與結(jié)論，能熟練地用符號(hào)語(yǔ)言表述，并能畫出正確的圖形。對(duì)課本上一些重要題目也要求學(xué)生能用文字語(yǔ)言表述清楚，用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示正確，畫出立體感比較明顯的幾何圖。例：直線與平面平行的性質(zhì)定理（圖形、文字?jǐn)⑹?、?shù)學(xué)符號(hào)表示）2、精講多練，一題多解。例：已知矩形abcd所在的平面外一點(diǎn) p, pa平面abcd, bacdpfee、f分別是ab、pc的中點(diǎn)，求證：ef/平面pad解法一：取pd的中點(diǎn)g ,連接fg, ag則四邊形aefg是平行四邊形，所以ef/ag,從而結(jié)論得證解法二：通過構(gòu)造含ef的

4、平面與平面pad平行。再利用面面平行的性質(zhì)定理證得。解法三：利用空間向量的方法，找平面pad的法向量（），再證解法四：利用空間向量的方法，證再說明點(diǎn)e（或直線ef）在平面pad外即可證得。3、在解題的過程中，注意思考總結(jié)。對(duì)各種角、距離的定義與解題過程要認(rèn)真總結(jié)歸納。（1）求異面直線所成的角主要方法： 依據(jù)其定義，可歸納為“選點(diǎn)作平行線解三角形”。一般用“三點(diǎn)定面法”即在異面的兩線段的4個(gè)端點(diǎn)中，適當(dāng)選其中三點(diǎn)確定平面，然后在其確定的平面上先考慮能否平移其中一條線段與另一條相交，如果不行，則可以考慮另兩種做法：（）找線段中點(diǎn)或圖形上的特殊點(diǎn)，來作兩異面直線的中位線或其它平行線；（）通過補(bǔ)形來達(dá)

5、到平移其中一條直線與另一條直線相交。當(dāng)然選點(diǎn)原則是所得到的三角形好解，如直角三角形等。 采用向量代數(shù)法，已知基向量的模長(zhǎng)和夾角。采用向量坐標(biāo)法，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩異面直線上的方向向量的坐標(biāo)；然后用數(shù)量積公式求出其夾角的余弦值。例；如圖，m、n分別是棱長(zhǎng)為1的正方體的棱、的中點(diǎn)(1)求異面直線mn與所成的角（600）(2)求直線mn與平面所成的角。(2)求二面角常用以下方法：先判斷是否可能為直二面角（要證明），其次可用以下方法： 定義法：在二面角棱上取一點(diǎn)分別向兩個(gè)半平面作垂直于棱的射線.由于棱上選點(diǎn)的任意性對(duì)下一步計(jì)算不利,所以我們常先在一面內(nèi)選一特殊點(diǎn)作棱的垂線交棱于一點(diǎn)。再過這

6、一點(diǎn)在另一面作垂直于棱的射線，從而得到二面角的平面角。再解三角形。 三垂線定理法：過一平面內(nèi)一點(diǎn)分別作棱的垂線和另一面的垂線，連接兩個(gè)垂足，可得二面角的平面角。再解直角三角形。以上方法是已知了二面角的棱，可歸納為“選點(diǎn)一作平面角一證明解三角形”。求解時(shí)，先要分析是否為直角三角形。向量代數(shù)法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別取這兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)條件分別取一組具體坐標(biāo)，再用公式求出，這里有一個(gè)難點(diǎn)是判斷向量的方向，從而確定二面角的大小為還是。例1、如圖，已知正三棱柱abc-a1b1c1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1，m是底面bc邊上的中點(diǎn)，n是側(cè)棱cc1上的點(diǎn)，且cn2c1n.（）求二面角b1amn

7、的平面角的余弦值；（）求點(diǎn)b1到平面amn的距離。解法1：（）因?yàn)閙是底面bc邊上的中點(diǎn)，所以ambc，又amc,所以am面bc，從而amm, amnm，所以mn為二面角，amn的平面角。又m=,mn=,連n，得n，在mn中，由余弦定理得。故所求二面角amn的平面角的余弦值為。（）過在面內(nèi)作直線，為垂足。又平面，所以amh。于是h平面amn，故h即為到平面amn的距離。在中，hm。故點(diǎn)到平面amn的距離為1。解法2：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（0，0，1），m（0，0）,c(0,1,0), n (0,1,) , a ()，所以，,。因?yàn)樗?同法可得。故為二面角amn的平面角 故所求

8、二面角amn的平面角的余弦值為。（）設(shè)n=(x,y,z)為平面amn的一個(gè)法向量，則由得 故可取設(shè)與n的夾角為a，則。所以到平面amn的距離為另外，如果沒有給出二面角的棱，可將圖形中的某些線段或平面延長(zhǎng)，延拓或平移得到二面角棱。或?qū)⒃瓗缀误w補(bǔ)成（或平移）特殊幾何體，使之出現(xiàn)二面角的棱。例：正三棱柱中，側(cè)棱=求平面與平面所成的銳二面角的大小。例：正四棱錐m-abcd中，ma=ab，求平面mac與平面mbd所成的銳二面角的大小。(3)求點(diǎn)到面的距離有四種方法： 根據(jù)定義，直接作垂線，找垂線段； a 轉(zhuǎn)化為線面距離或面面距離； 三棱錐等積法； 向量代數(shù)法： 如圖，點(diǎn)a到平面的距離是|ao|， b o

9、則向量 在直線oa方向上的投影是oa則有。2重視提高學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖、畫圖和對(duì)圖形的理解能力。突破畫圖、讀圖、識(shí)圖、用圖的道道難關(guān)。(1)加強(qiáng)畫圖能力的培養(yǎng)：要求學(xué)生掌握基本圖形的畫法；如異面直線的幾種畫法、二面角的幾種畫法等等；對(duì)線面的位置關(guān)系，所成的角，所有的定理、公理都要畫出其圖形，而且要畫出具有較強(qiáng)的立體感，除此之外，還讓學(xué)生體會(huì)到用語(yǔ)言敘述的圖形，畫哪一個(gè)面在水平面上，產(chǎn)生的視覺完全不同，往往從一個(gè)方向上看不清的圖形，從另外的方向上可能一目了然。（2）加強(qiáng)識(shí)圖能力的培養(yǎng)：對(duì)立體幾何題，既要由復(fù)雜的幾何圖形體看出基本圖形，如點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；又要從點(diǎn)、線、面的位置關(guān)

10、系想到復(fù)雜的幾何圖形，既要看到所畫出的圖形，又要想到未畫出的部分。能實(shí)現(xiàn)這一些，可使有些問題一眼看穿。例、如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)（）求證：平面；（）求二面角的大??；（）求點(diǎn)到平面的距離abcdb13.加強(qiáng)審題能力的培養(yǎng)。一般地方法是：已知條件-性質(zhì)定理-判定定理-性質(zhì)或由數(shù)量關(guān)系-位置關(guān)系4. 應(yīng)注重讓學(xué)生掌握解題方法中的通法通則，特別是類比及化歸思想，向量代數(shù)法。在授課時(shí)，讓學(xué)生不僅理解而且能熟練應(yīng)用。如線面和面面關(guān)系的轉(zhuǎn)化；三棱錐等積法要熟練掌握；面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，可再轉(zhuǎn)化為線線平行來處理。再如，點(diǎn)到面距離，可轉(zhuǎn)化為線到面距離，又可轉(zhuǎn)化為面面距離；證明兩線平行，可轉(zhuǎn)化為

11、兩直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面的證明。又如求二面角的向量代數(shù)法、三垂線定理法，求點(diǎn)到面的距離的向量代數(shù)法和等體積法等這些都是立體幾何中的通法；5引導(dǎo)學(xué)生多積累。如（1）注意平面幾何和立體幾何概念的區(qū)別與聯(lián)系，如：空間的垂直未必相交；正棱錐不僅要底面是正多邊形形，且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的中心；三棱錐頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的外心、內(nèi)心、垂心的條件各是什么等問題。（2）記住一些特殊圖形的線面關(guān)系和有關(guān)量。如：正方體中對(duì)角線與側(cè)面對(duì)角線異面時(shí)，它們互相垂直；正四面體相對(duì)棱相互垂直等等； 6嚴(yán)抓解題的表述與書寫的規(guī)范性。在傳統(tǒng)的邏輯推理方法中的基本步驟是：“一作圖，二證明，三求解”；在用向量

12、代數(shù)法時(shí)，必須按照“一建系，二求點(diǎn)的坐標(biāo)，三求向量的坐標(biāo)，四運(yùn)用向量公式求解”；如在證明線面平行時(shí)，學(xué)生容易只證線與平面內(nèi)一條直線平行就下結(jié)論，這里應(yīng)強(qiáng)調(diào)說明線在面外，三個(gè)條件缺一不可；用空間向量解決問題時(shí)，需要用建立坐標(biāo)系時(shí)，一定要說清楚；用三垂線定理作二面角的平面角時(shí)，一定要點(diǎn)明斜線在平面上射影；書寫解題過程的最后都必須寫結(jié)題語(yǔ)。7.計(jì)算方法。解三角形、有關(guān)圓的計(jì)算，三棱錐的體積，向量的計(jì)算等。要抓住基本圖形中的基本量，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高；正棱錐中的兩個(gè)直角三角形的三條邊、兩個(gè)角；球內(nèi)接長(zhǎng)方體的對(duì)角線等于球的直徑；球內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)與球的直徑的關(guān)系則可以通過相應(yīng)的球內(nèi)接正方體來作中間橋梁

13、，即正四面體的棱長(zhǎng)等于正方體的側(cè)面對(duì)角線長(zhǎng)；球與截面的問題可類比于圓與弦的問題。8.培養(yǎng)學(xué)生兩種意識(shí)：(1) 特殊化意識(shí)。許多線面關(guān)系的問題要特別注意它們的特殊位置關(guān)系，在一些計(jì)算問題在一般位置（圖形）和特殊位置（圖形）的答案是不變的，從特殊中尋找快捷的解題思路。例、若一條直線與一個(gè)正四棱柱各個(gè)面所成的角都為,則=例、求棱長(zhǎng)為a正四面體相對(duì)的兩條棱間的距離。（）（2）運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)。平移不改變角的大小，在立體幾何中，所有角的求解都可做平行線（平移）來解決，這樣我們可將不相交的線的夾角轉(zhuǎn)化為相交線的夾角；直線不能移動(dòng)，但其方向向量可以按需要任意平移。10、空間向量的應(yīng)用。空間向量在立幾中的應(yīng)用，特別

14、是用數(shù)量積求異面直線所成的角、斜線和平面所成的角、二面角的平面角；用向量在法向量上的投影求點(diǎn)到平面的距離，異面直線間的距離；確實(shí)體現(xiàn)了它的強(qiáng)大功能。但不可否認(rèn)，傳統(tǒng)方法也有它的優(yōu)越性，一旦空間的位置關(guān)系搞清楚了，計(jì)算量較小，正確率高。六、題型舉例：abcd例、如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)（）求證：平面；（）求二面角的大小；（）求點(diǎn)到平面的距離()求異面直線cc1與a1b的距離。六、考剛要求：（a版本）1、掌握平面的基本性質(zhì)。會(huì)用斜二側(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖。能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形。能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系。2、掌握兩條直線平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理。掌握兩條直線所成的角和距離的概念（對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離）。3、掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理。掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理。掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念。掌握三垂線定理