材料力學(xué)：第六章 彎曲變形

1、材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University研究彎曲變形的目的：研究彎曲變形的目的： 對梁進行剛度計算對梁進行剛度計算 研究超靜定梁的解法研究超靜定梁的解法材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角FwxxCwC梁的梁的撓曲線撓曲線C點處橫截面的轉(zhuǎn)角點處橫截面的轉(zhuǎn)角 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角( )wf x只要知道了只要知道了f (x)，任意任意點處點處的的撓度和轉(zhuǎn)角都可以計算撓度和轉(zhuǎn)角都可以計算|CCx xwwddCCx xwxlBACC點的線位移點的線位移CC 撓度撓度 C( )wf x C材料力學(xué)課

2、件材料力學(xué)課件Fuzhou University1MEI（對細長的、非純彎曲梁可近似使用）（對細長的、非純彎曲梁可近似使用）中性層的曲率半徑中性層的曲率半徑彎曲后梁軸線的曲率半徑彎曲后梁軸線的曲率半徑撓曲線的曲率半徑撓曲線的曲率半徑由高等數(shù)學(xué)知由高等數(shù)學(xué)知曲率曲率223/22d1dd1dwxwx 1MEI由第五章知由第五章知材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University如果小變形如果小變形d1dwx遠小于221ddwx 22ddwMxEI 223/22d1dd1dwxwx 1MEI由第五章知由第五章知由高等數(shù)學(xué)知由高等數(shù)學(xué)知材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University

3、22d0dwxwxOwxO22d0dwxM 0M b，10w 220/3 2/3 xlba ab討論：討論：如果令載荷如果令載荷F 向向B 移動，移動，極端情況極端情況0b 322max9 3FbwlbEIl 00.577xl即即wmax發(fā)生在很靠近發(fā)生在很靠近 x = l/2 處處（注意到（注意到 x0a, ,wmax 在在AC段，結(jié)論是正確的）段，結(jié)論是正確的）wmax2221136FbEIwlbxl 2221116FbxEIwlbxl 材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University討論：討論：如果令載荷如果令載荷F 向向B 移動，移動，極端情況極端情況0b 00.577xl即

4、即 wmax 發(fā)生在很靠近發(fā)生在很靠近 x = l/2 處處此時，用此時，用x = l/2 的撓度作為的撓度作為wmax 誤差小于誤差小于3%令令0/ 2xl22/23448x lFbwlbEI 當簡支梁承受若干個集中力作用時，只要撓曲線當簡支梁承受若干個集中力作用時，只要撓曲線朝一個朝一個方向彎曲方向彎曲，可用中點，可用中點 ( x = l/2 ) 的撓度去計算最大撓度的撓度去計算最大撓度FlabABl/2wl/2wmaxx0材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University研究兩個問題：研究兩個問題： 撓曲線的分段和連接條件的寫法撓曲線的分段和連接條件的寫法例：例：分段：基本上和彎

5、矩方程分段一致分段：基本上和彎矩方程分段一致三段：三段：ABBCCDw1w2w3會有會有6個積分常數(shù)個積分常數(shù)AB CDqqxw材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou Universityw1w2w3會有會有6個積分常數(shù)個積分常數(shù)A處：處：10w B處：處：120ww12wwC處：處：23ww( (注意：只連續(xù)，不光滑注意：只連續(xù)，不光滑) )D處：處：30w 可以定出可以定出6個積分常數(shù)個積分常數(shù)AB CDqqxw材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University 快速畫撓曲線的近似形狀快速畫撓曲線的近似形狀# # 支座處撓度為零支座處撓度為零M 0, , “”，# # M = 0,

6、, “ ” “” 過度點，曲率為零過度點，曲率為零Fl2/4Fl2/2MC材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University小變形、線彈性小變形、線彈性梁的撓度和轉(zhuǎn)角與梁的撓度和轉(zhuǎn)角與載荷成線性關(guān)系載荷成線性關(guān)系多個載荷作用下某個截面的撓度和轉(zhuǎn)角多個載荷作用下某個截面的撓度和轉(zhuǎn)角SS( (單個載荷作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角單個載荷作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角) )疊加法疊加法關(guān)于載荷的疊加關(guān)于載荷的疊加關(guān)于結(jié)構(gòu)的疊加關(guān)于

7、結(jié)構(gòu)的疊加材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou UniversityFABCql/2l/2例例3 3 求梁跨中的撓度求梁跨中的撓度CABq()CqwFABC()CFw解：解：q作用的結(jié)果（表作用的結(jié)果（表6.16.1）F作用的結(jié)果（表作用的結(jié)果（表6.16.1）45()()384CqqlwEI435()()()38448CCqCFqlFlwwwEIEI3()()48CFFlwEI疊加疊加材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University例例4 4 已知空心軸外徑已知空心軸外徑 D=80mm，內(nèi)徑，內(nèi)徑 d=40mm，l=400mm，a=200mm，E=210GPa， F1=1kN，F(xiàn)2

8、=2kN。求。求 B B 和和 wC。4444()64188 10 mmIDd解：解：近似為等截面梁近似為等截面梁計算簡圖如下計算簡圖如下F1F2F1F2ACBDl/2l/2a材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University1BF1F2ACBDl/2l/2aACBDF22Cw2BACBF11Cw1BABF1F1a12Cw11CwF1BCF2作用的結(jié)果（表作用的結(jié)果（表6.16.1）()22216BF lEI222216CBF l awaEI()F1作用的結(jié)果（表作用的結(jié)果（表6.16.1、) )113BFalEI()111CBwa()31123CFawEI()CF11BB材料力學(xué)課件

9、材料力學(xué)課件Fuzhou University1BF1F2ACBDl/2l/2aACBDF22Cw2BACBF11Cw1BABF1F1a疊加（注意方向）疊加（注意方向）2141.09 10 radBBB ()21211122()3.53 10 mmCCCCCCwwwwww ()12Cw11CwCF11BB材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University222220d33448482bCq x xqbwlxlbEIEI例例5 5 求梁跨中的撓度，設(shè)求梁跨中的撓度，設(shè)b l/2。解：解：取取dx 段分布載荷的合力段分布載荷的合力qdx 作為集中載荷作為集中載荷2234()48CFblbw

10、abEI由表由表6.16.1()22dd3448Cq x xwlxEI分布載荷可以處理為微集中載荷的疊加分布載荷可以處理為微集中載荷的疊加( (積分積分) )qlABbl/2CdxxaFlbAB材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou UniversityCw2BwFCABFl /2l /22EIEIACB例例6 6 求自由端的轉(zhuǎn)角和撓度求自由端的轉(zhuǎn)角和撓度CBF1B1BwCAFFl / 2Cw2Bw1BwC12BBB()解：解：221/228BF lFlEIEI( CB梁梁 )222/ 2/ 2/ 2222316BCF lFllEIEIFlEI()( AC梁梁 )材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzh

11、ou UniversityCw2BwFCABFl /2l /22EIEIACBCBF1B1BwCAFFl / 2Cw2Bw1BwC122223581616BBBFlFlFlEIEIEI()121/2BBBBCCwwwwwl331/2324BF lFlwEIEI()( CB梁梁 )材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou UniversityCw2BwFCABFl /2l /22EIEIACBCBF1B1BwCAFFl / 2Cw2Bw1BwC121/2BBBBCCwwwwwl323/2/2/23222596CF lFllwEIEIFlEI()( AC梁梁 )3316BFlwEI()材料力學(xué)課件材料

12、力學(xué)課件Fuzhou University多余約束：為平衡所不必須的約束多余約束：為平衡所不必須的約束FBACl/2l/2EI求解圖示超靜定梁求解圖示超靜定梁1 1、選擇多余約束，解除，、選擇多余約束，解除，代之以約束反力代之以約束反力取消取消B支座，代之以支座，代之以FRBy得到靜定基得到靜定基（靜定基本結(jié)構(gòu)）（靜定基本結(jié)構(gòu)）FRBy2 2、寫靜定基的變形條件、寫靜定基的變形條件0Bw 3 3、暫時將、暫時將FRBy視為已知，視為已知，計算位移計算位移wBR()()ByBBFBFwww解：解：材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou UniversityFBACl/2l/2EIFRBy查表，查表

13、，35()48BFFlwEI()R3R()3ByByBFFlwEI()3 3、暫時將、暫時將FRBy視為已知，視為已知，計算位移計算位移wBR()()ByBBFBFwwwR516ByFF ()l可知，靜定基在可知，靜定基在F 和和FRBy 的共同作用之下，其行為的共同作用之下，其行為和原超靜定梁是相同的，于是其強度、剛度等計算和原超靜定梁是相同的，于是其強度、剛度等計算均可在靜定基上進行。均可在靜定基上進行。5F/165Fl/323Fl/16材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou UniversityFBACl/2l/2EIl所以，所以，B支座對提高梁的強度和剛度具有重要意義支座對提高梁的強度和

14、剛度具有重要意義增加增加B支座后，靜定梁支座后，靜定梁AB變變成超靜定的成超靜定的比較兩梁：比較兩梁：Fl/23Fl/16降低到降低到37.5%靜定梁靜定梁超靜定梁超靜定梁MmaxwmaxwB=5Fl3/48EIwC=7Fl3/768EI降低到降低到8.75%材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou Universityl靜定基的選擇不是唯一的靜定基的選擇不是唯一的FBACl/2l/2EIFBACMA令令 A=0，316AFlM 和前解法是相同結(jié)果的和前解法是相同結(jié)果的上述解法：上述解法：變形比較法變形比較法材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University變形比較法解題過程：變形比較法解

15、題過程：1 1、建立靜定基、建立靜定基( (解除多余約束，代之以約束反力解除多余約束，代之以約束反力) )。2 2、寫靜定基的變形條件。、寫靜定基的變形條件。( (以方便計算為準以方便計算為準) )( (要具體分析，問題的難點要具體分析，問題的難點) )3 3、計算變形，求解、計算變形，求解“多余多余”反力。反力。材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou Univers

16、ity材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou UniversityFABCC疊加（注意方向）疊加（注意方向）FSM材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou UniversitydACt txlBA材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University材料

17、力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou Universityl 連續(xù)光滑條件連續(xù)光滑條件bxbx2112x ax aww12x bx bww或或ABxwlFbABxwlFa# # 連續(xù)條件連續(xù)條件# # 光滑條件光滑條件材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University2ABqlFF222qlqxEIwx ABxwlq22( )222AqxqlqxM xF xxFAFBx3246qlqxEIwxC 例題例題解：解：彎矩的表達式彎矩的表達式列方程列方程431224qlqxEIwxCxD材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou University00, 0 xx lwwABxwlqFAFBx324

18、6qlqxEIwxC 431224qlqxEIwxCxD邊界條件邊界條件0 ,243DqlC3233231()(64)462424qlqqlqwxxllxxEIEI 3343231()(2)12242424qlqqlqxwxxxllxxEIEI 材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou Universityd0dwxABxwlqFAFBx研究研究maxwmax323(64)24qwllxxEI 323(2)24qxwllxxEI C2lx 4max25|384lxqlwwEI ()3max0| 24AxqlEI 3max| 24Bx lqlEI()()材料力學(xué)課件材料力學(xué)課件Fuzhou Universi