第三章矩陣與線性代數(shù)計算

1、第三章 矩陣與線性代數(shù)計算matlab，即“矩陣實驗室”，它是以矩陣為基本運算單元。因此，本章從最基本的運算單元出發(fā)，介紹matlab的命令及其用法。3.1矩陣的定義由m×n個元素aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排列成的矩形陣稱為一個m行n列的矩陣,或m×n階矩陣，可以簡記為a=(aij) m×n，其中的aij叫做矩陣的第i行第j列元素。當(dāng)m=n時，稱a為n階方陣，也叫n階矩陣；當(dāng)m=1,n2時，即a中只有一行時，稱a為行矩陣，或行向量（1維數(shù)組）；當(dāng)m2,n=1時，即a中只有一列時，稱a為列矩陣，或列向量；當(dāng)m=1,n=1時，即a中只有一個元素時，稱a為

2、標(biāo)量或數(shù)量（0維數(shù)組）。3.2矩陣的生成1.實數(shù)值矩陣輸入matlab的強(qiáng)大功能之一體現(xiàn)在能直接處理向量或矩陣。當(dāng)然首要任務(wù)是輸入待處理的向量或矩陣。不管是任何矩陣（向量），我們可以直接按行方式輸入每個元素：同一行中的元素用逗號（，）或者用空格符來分隔，且空格個數(shù)不限；不同的行用分號（；）分隔。所有元素處于一方括號（ ）內(nèi)；當(dāng)矩陣是多維（三維以上），且方括號內(nèi)的元素是維數(shù)較低的矩陣時，會有多重的方括號。如：【例3】矩陣的生成例。a=1 2 3;4 5 6;7 8 9b=1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9; 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.

3、6 2.7 2.8 2.9; 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9null_m = %生成一個空矩陣a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9b = 1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 1.5000 1.6000 2.0000 2.1000 2.2000 2.3000 2.4000 2.5000 2.6000 3.0000 3.1000 3.2000 3.3000 3.4000 3.5000 3.6000 1.7000 1.8000 1.9000 2.7000 2.8000 2.9000 3.7000 3.8000 3.9

4、000null_m =2復(fù)數(shù)矩陣輸入復(fù)數(shù)矩陣有兩種生成方式：【例32】 a=2.7;b=13/25; c=1,2*a+i*b,b*sqrt(a); sin(pi/4),a+5*b,3.5+1c= 1.0000 5.4000 + 0.5200i 0.8544 0.7071 5.3000 4.5000 【例33】矩陣的生成例。r=1 2 3;4 5 6, m=11 12 13;14 15 16cn=r+i*mr = 1 2 3 4 5 6m = 11 12 13 14 15 16cn = 1.0000 +11.0000i 2.0000 +12.0000i 3.0000 +13.0000i 4.00

5、00 +14.0000i 5.0000 +15.0000i 6.0000 +16.0000i3 大矩陣的生成對于大型矩陣，一般創(chuàng)建m文件，以便于修改：【例34】用m文件創(chuàng)建大矩陣，文件名為c3e4.mexm= 456 468 873 2 579 5521 687 54 488 8 1365 4567 88 98 21 5456 68 4589 654 5 987 5488 10 9 6 33 77在matlab命令窗口輸入：c3e4;size(exm) %顯示exm的大小ans= 5 6 %表示exm有5行6列。4 特殊矩陣的生成命令 全零陣函數(shù) zeros格式 b = zeros(n) %生

6、成n×n全零陣b = zeros(m,n) %生成m×n全零陣b = zeros(m n) %生成m×n全零陣b = zeros(size(a) %生成與矩陣a相同大小的全零陣命令 單位陣函數(shù) eye格式 y = eye(n) %生成n×n單位陣y = eye(m,n) %生成m×n單位陣y = eye(size(a) %生成與矩陣a相同大小的單位陣命令 全1陣函數(shù) ones格式 y = ones(n) %生成n×n全1陣y = ones(m,n) %生成m×n全1陣y = ones(m n) %生成m×n全1陣y

7、 = ones(size(a) %生成與矩陣a相同大小的全1陣命令 均勻分布隨機(jī)矩陣函數(shù) rand 格式 y = rand(n) %生成n×n隨機(jī)矩陣，其元素在（0，1）內(nèi)y = rand(m,n) %生成m×n隨機(jī)矩陣y = rand(m n) %生成m×n隨機(jī)矩陣y = rand(size(a) %生成與矩陣a相同大小的隨機(jī)矩陣【例35】 產(chǎn)生一個3×4隨機(jī)矩陣r=rand(3,4)r = 0.9501 0.4860 0.4565 0.44470.2311 0.8913 0.0185 0.6154 0.6068 0.7621 0.8214 0.791

8、9【例36】 產(chǎn)生一個在區(qū)間10, 20內(nèi)均勻分布的4階隨機(jī)矩陣a=10;b=20;x=a+(b-a)*rand(4)x = 19.2181 19.3547 10.5789 11.3889 17.3821 19.1690 13.5287 12.0277 11.7627 14.1027 18.1317 11.9872 14.0571 18.9365 10.0986 16.0379命令 正態(tài)分布隨機(jī)矩陣函數(shù) randn格式 y = randn(n) %生成n×n正態(tài)分布隨機(jī)矩陣y = randn(m,n) %生成m×n正態(tài)分布隨機(jī)矩陣y = randn(m n) %生成m

9、15;n正態(tài)分布隨機(jī)矩陣y = randn(size(a) %生成與矩陣a相同大小的正態(tài)分布隨機(jī)矩陣【例37】 產(chǎn)生均值為0.6，方差為0.1的4階矩陣mu=0.6; sigma=0.1;x=mu+sqrt(sigma)*randn(4)x = 0.8311 0.7799 0.1335 1.0565 0.7827 0.5192 0.5260 0.4890 0.6127 0.4806 0.6375 0.7971 0.8141 0.5064 0.6996 0.8527命令 產(chǎn)生隨機(jī)排列函數(shù) randperm格式 p = randperm(n) %產(chǎn)生1n之間整數(shù)的隨機(jī)排列【例38】整數(shù)的隨機(jī)排列。

10、randperm(6)ans = 3 2 1 5 4 6命令 產(chǎn)生線性等分向量函數(shù) linspace格式 y = linspace(a,b) %在(a, b)上產(chǎn)生100個線性等分點y = linspace(a,b,n) %在(a, b)上產(chǎn)生n個線性等分點命令 產(chǎn)生對數(shù)等分向量函數(shù) logspace格式 y = logspace(a,b) %在（ ）之間產(chǎn)生50個對數(shù)等分向量y = logspace(a,b,n)命令 計算矩陣中元素個數(shù)n = numel(a) %返回矩陣a的元素的個數(shù)命令 產(chǎn)生以輸入元素為對角線元素的矩陣函數(shù) blkdiag格式 out = blkdiag(a,b,c,d,

11、) %產(chǎn)生以a,b,c,d,為對角線元素的矩陣【例39】產(chǎn)生以輸入元素為對角線元素的矩陣 out = blkdiag(1,2,3,4) out = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4命令 magic(魔方)矩陣函數(shù) magic格式 m = magic(n) %產(chǎn)生n 階魔方矩陣【例310】產(chǎn)生3 階魔方矩陣m=magic(3) m = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 3.3矩陣的加減乘除運算1 加、減運算設(shè)u為一數(shù)量，a=(aij) m×n和b=(bij) r×s為兩矩陣，則加減運算的規(guī)定為：對應(yīng)元素相加、減，即按線性代數(shù)中矩陣的“十”，“一

12、”運算進(jìn)行。u±a=(u±aij) m×na±b=( aij± bij) m×nu*a=(u*aij) m×n【例311】矩陣的加減運算。輸入：u=9a=1 2 3;4 5 6;7 8 0b=3 4 5;6 7 8;9 10 2c=u+ad=a-be=u*a % 和數(shù)組運算相同結(jié)果：c = 10 11 12 13 14 15 16 17 9d = -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2e = 9 18 27 36 45 54 63 72 02 矩陣的乘及乘方運算設(shè)u為一數(shù)量，a=(aij) m×l和b

13、=(bij) l×n為兩矩陣， a的列數(shù)l和b的行數(shù)l相等，可進(jìn)行a與b 的乘法運算。這里cij=ai1b1j+ai2b2j+ailblj=它表示c的第i行第j列的元素是a第i行的各元分別與b第j列的各對應(yīng)元的乘積的和?！纠?12】矩陣的乘及乘方運算。a=1 2 3;4 5 6;7 8 0f=1 2 3g=f*ah=f.*aa = 1 2 3 4 5 6 7 8 0g = 30 36 15? error using => .*3.方陣的求逆單位矩陣：主對角線上的元素都是1，其他各元素都是0的n階矩陣與任意n階矩陣a左乘或右乘的乘積仍然是a自身，即ea=ae=a，因此我們叫e為n

14、階單位矩陣。對滿秩方陣a，存在a-1，使a* a-1= a-1*a=e；我們稱a-1是a的逆矩陣。命令 逆函數(shù) inv格式 y=inv(x) %求方陣x的逆矩陣?！纠?13】求的逆矩陣a=1 2 3; 2 2 1; 3 4 3;y=inv(a)或y=a(-1)則結(jié)果顯示為y = 1.0000 3.0000 -2.0000 -1.5000 -3.0000 2.5000 1.0000 1.0000 -1.0000【例314】求逆運算。 a=2 1 -1;2 1 2;1 -1 1； format rat %用有理格式輸出 d=inv(a)d = 1/3 0 1/3 0 1/3 -2/3 -1/3 1

15、/3 0 4除法運算右除：矩陣a右除以矩陣b定義為：a/b=a*b(-1)=a*inv(b)左除：矩陣b左除以矩陣a定義為：ab=a(-1)*b=inv(a)*bmatlab提供了兩種除法運算：左除（）和右除（/）。一般情況下，x=ab是方程a*x =b的解，而x=b/a是方程x*a=b的解。即：ax=ba(-1)*a*x=a(-1)*bx=inv(a)*b=abxa=bx*a*a(-1)=b*a(-1)x=b*a(-1)=b*inv(a)=b/a【例315】除法運算a=1 2 3; 4 2 6; 7 4 9b=4; 1; 2;x=ab則顯示：x=-1.5000 2.00000.5000在數(shù)組

16、除法中，a./b表示a中元素與b中元素對應(yīng)相除。5向量點積向量的點乘（內(nèi)積）：維數(shù)相同的兩個向量的點乘。函數(shù) dot格式 c = dot(a,b) %若a、b為向量，則返回向量a與b的點積，a與b長度相同；若為矩陣，則a與b有相同的維數(shù)。c = dot(a,b,dim) %在dim維數(shù)中給出a與b的點積【例316】向量點積x=-1 0 2；y=-2 -1 1;z=dot(x, y)則顯示：z = 46向量叉乘在數(shù)學(xué)上，兩向量的叉乘是一個過兩相交向量的交點且垂直于兩向量所在平面的向量。在matlab中，用函數(shù)cross實現(xiàn)。函數(shù) cross格式 c = cross(a,b) %若a、b為向量，則

17、返回a與b的叉乘，即c=a×b，a、b必須是3個元素的向量；若a、b為矩陣，則返回一個3×n矩陣，其中的列是a與b對應(yīng)列的叉積，a、b都是3×n矩陣。c = cross(a,b,dim) %在dim維數(shù)中給出向量a與b的叉積。a和b必須具有相同的維數(shù)，size(a,dim)和size(b,dim)必須是3。【例317】計算垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量。 a=1 2 3; b=4 5 6; c=cross(a,b)結(jié)果顯示： c= -3 6 -3可得垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量為±(-3, 6, -3)7

18、混合積混合積由以上兩函數(shù)實現(xiàn)：【例318】 計算向量a=(1, 2, 3)、b=(4, 5, 6)和c=(-3, 6, -3) 的混合積a=1 2 3; b=4 5 6; c=-3 6 -3;x=dot(a, cross(b, c)結(jié)果顯示：x = 54注意：先叉乘后點乘，順序不可顛倒。8張量積函數(shù) kron格式 c=kron (a,b) %a為m×n矩陣，b為p×q矩陣，則c為mp×nq矩陣。說明 a與b的張量積定義為：ab與ba均為mp×nq矩陣，但一般地abba?！纠?19】 求ab。a=1 2;3 4;b=1 2 3;4 5 6;7 8 9;c=

19、kron(a,b)c = 1 2 3 2 4 6 4 5 6 8 10 12 7 8 9 14 16 18 3 6 9 4 8 12 12 15 18 16 20 24 21 24 27 28 32 363.4矩陣的行列式1 矩陣轉(zhuǎn)置a=(aij) m×n 的轉(zhuǎn)置矩陣在數(shù)學(xué)中記為a=(aji) n×m運算符：運算規(guī)則：若矩陣a的元素為實數(shù)，則與線性代數(shù)中矩陣的轉(zhuǎn)置相同。若a為復(fù)數(shù)矩陣，則a轉(zhuǎn)置后的元素由a對應(yīng)元素的共軛復(fù)數(shù)構(gòu)成。若僅希望轉(zhuǎn)置，則用如下命令：a.。2 方陣的行列式把行列式按第i行展開：其中aij=(-1)i+jmij稱為aij的代數(shù)余子式；而mij是劃去a中元

20、aij所在的行及列得到的n-1階子式，叫做aij的余子式。函數(shù) det格式 d = det(x) %返回方陣x的多項式的值【例320】行列式的值。a=1 2 3;4 5 6;7 8 9a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9d=det(a)d = 03 矩陣的秩子式：在（m,n）矩陣a中取某k個行，k個列，由這些行、列相交的元構(gòu)成的k階行列式，叫做a的k階子式。n階矩陣只有一個n階子式，叫做矩陣行列式。用a或deta表示。矩陣的秩：矩陣a中不為零的子式的最高階數(shù)如果是r，就說a的秩是r。常用r(a)表示。即矩陣a的秩是矩陣a中最高階非零子式的階數(shù)；而向量組的秩通常由該向量組構(gòu)成的矩陣來計算。

21、n階矩陣如果它的秩是n，叫做滿秩矩陣，否則就是降秩矩陣。一般矩陣a m×n中，如果r(a)=min(m,n)，稱a為滿秩陣，否則r(a)min(m,n)稱a為降秩陣。函數(shù) rank格式 k = rank (a) %求矩陣a的秩k = rank (a,tol) %tol為給定誤差【例321】求向量組，的秩，并判斷其線性相關(guān)性。a=1 -2 2 3;-2 4 -1 3;-1 2 0 3;0 6 2 3;2 -6 3 4;k=rank(a)結(jié)果為k = 3由于秩為3 < 向量個數(shù)，因此向量組線性相關(guān)。4矩陣特征值和特征向量對n階矩陣a，如果存在非0向量x滿足線性方程組(a-e)x=0

22、，則稱是矩陣a的特征值，x是a的對應(yīng)于特征值的特征向量。對于每一個實對稱矩陣a，總可將a轉(zhuǎn)化為對角矩陣，其主對角線上的元素就是a的n個特征值。p,r=eig(a)且 % eig=eigen（本征的，固有的）a為輸入矩陣。r為特征值構(gòu)成的對角陣。p的各列為對應(yīng)于特征值的特征向量構(gòu)成的矩陣。【例322】求矩陣的特征值和特征向量a=-2 1 1;0 2 0;-4 1 3;v,d=eig(a)結(jié)果顯示：v = -0.7071 -0.2425 0.3015 0 0 0.9045 -0.7071 -0.9701 0.3015d = -1 0 0 0 2 0 0 0 2即：特征值-1對應(yīng)特征向量(-0.70

23、71 0 -0.7071)t特征值2對應(yīng)特征向量(-0.2425 0 -0.9701)t和(-0.3015 0.9045 -0.3015)t【例323】 求矩陣的特征值和特征向量。a=-1 1 0;-4 3 0;1 0 2;v,d=eig(a)結(jié)果顯示為v = 0 0.4082 -0.4082 0 0.8165 -0.8165 1.0000 -0.4082 0.4082d = 2 0 0 0 1 0 0 0 13.5矩陣的特殊運算1矩陣對角線元素的抽取函數(shù) diag格式 x = diag(v,k) %以向量v的元素作為矩陣x的第k條對角線元素，當(dāng)k=0時，v為x的主對角線；當(dāng)k>0時，v

24、為上方第k條對角線；當(dāng)k<0時，v為下方第k條對角線。x = diag(v) %以v為主對角線元素，其余元素為0構(gòu)成x。v = diag(x,k) %抽取x的第k條對角線元素構(gòu)成向量v。k=0：抽取主對角線元素；k>0：抽取上方第k條對角線元素；k<0抽取下方第k條對角線元素。v = diag(x) %抽取主對角線元素構(gòu)成向量v。【例324】矩陣對角線元素的抽取。v=1 2 3;x=diag(v,-1)x = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0a=1 2 3;4 5 6;7 8 9a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9v=diag(a,1)v

25、= 2 62上三角陣和下三角陣的抽取函數(shù) tril %取下三角部分格式 l = tril(x) %抽取x的主對角線的下三角部分構(gòu)成矩陣ll = tril(x,k) %抽取x的第k條對角線的下三角部分；k=0為主對角線；k>0為主對角線以上；k<0為主對角線以下。函數(shù) triu %取上三角部分格式 u = triu(x) %抽取x的主對角線的上三角部分構(gòu)成矩陣uu = triu(x,k) %抽取x的第k條對角線的上三角部分；k=0為主對角線；k>0為主對角線以上；k<0為主對角線以下?！纠?25】上三角陣和下三角陣的抽取。a=ones(4) %產(chǎn)生4階全1陣a = 1 1

26、 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1l=tril(a,1) %取下三角部分l = 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 u=triu(a,-1) %取上三角部分u = 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 13矩陣的變維a（i,:）提取a的第i行a（:,j）提取a的第j列a(:,j:k)取出a的從第j列到第k列的元素所成的陣?！纠?26】矩陣的變維a=1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 3.4;b=a(2,:)c=a(:,3)d=a(:,2:4)b = 2.1000 2.20

27、00 2.3000 2.4000c = 1.3000 2.3000 3.3000d = 1.2000 1.3000 1.4000 2.2000 2.3000 2.4000 3.2000 3.3000 3.40004矩陣的變向矩陣旋轉(zhuǎn)函數(shù)格式 b = rot90 (a) %將矩陣a逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°b = rot90 (a,k) %將矩陣a逆時針方向旋轉(zhuǎn)(k×90°)，k可取正負(fù)整數(shù)。【例327】矩陣旋轉(zhuǎn)。a=1 2 3;4 5 6;7 8 9a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9y1=rot90(a),y2=rot90(a,-1)y1 = %逆時針方向旋轉(zhuǎn)

28、3 6 9 2 5 8 1 4 7y2 = %順時針方向旋轉(zhuǎn) 7 4 1 8 5 2 9 6 3矩陣的左右翻轉(zhuǎn)函數(shù) fliplr格式 b = fliplr(a) %將矩陣a左右翻轉(zhuǎn)矩陣的上下翻轉(zhuǎn)函數(shù) flipud格式 b = flipud(a) %將矩陣a上下翻轉(zhuǎn)【例328】矩陣的翻轉(zhuǎn)。a=1 2 3;4 5 6a = 1 2 3 4 5 6 b1=fliplr(a),b2=flipud(a)b1 = 3 2 1 6 5 4b2 = 4 5 6 1 2 35矩陣的比較關(guān)系 矩陣的比較關(guān)系是針對于兩個矩陣對應(yīng)元素的，所以在使用關(guān)系運算時，首先應(yīng)該保證兩個矩陣的維數(shù)一致或其中一個矩陣為標(biāo)量。關(guān)系運

29、算是對兩個矩陣的對應(yīng)運算進(jìn)行比較，若關(guān)系滿足，則將結(jié)果矩陣中該位置元素置為1，否則置0。matlab的各種比較關(guān)系運算見下表。運 算 符含 義運算符含 義>大于關(guān)系<大于關(guān)系= =等于關(guān)系>=大于或等于關(guān)系<=小于或等于關(guān)系 =不等于關(guān)系【例329】矩陣的比較關(guān)系a=1 2 3 4;5 6 7 8;b=0 2 1 4;0 7 7 2;c1=a=b, c2=a>=b, c3=a=bc1 = 0 1 0 1 0 0 1 0c2 = 1 1 1 1 1 0 1 1c3 = 1 0 1 0 1 1 0 16矩陣邏輯運算設(shè)矩陣a和b都是m×n矩陣或其中之一為標(biāo)量，

30、在matlab中定義了如下的邏輯運算：矩陣的與運算格式 a&b或and(a, b)說明 a與b對應(yīng)元素進(jìn)行與運算，若兩個數(shù)均非0，則結(jié)果元素的值為1，否則為0?；蜻\算格式 a|b或or(a, b) 說明 a與b對應(yīng)元素進(jìn)行或運算，若兩個數(shù)均為0，則結(jié)果元素的值為0，否則為1。非運算格式 a或not (a)說明 若a的元素為0，則結(jié)果元素為1，否則為0。異或運算格式 xor (a,b)說明 a與b對應(yīng)元素進(jìn)行異或運算，若相應(yīng)的兩個數(shù)中一個為0，一個非0，則結(jié)果為0，否則為1?！纠?30】矩陣邏輯運算a=0 2 3 4;1 3 5 0,b=1 0 5 3;1 5 0 5a = 0 2 3

31、4 1 3 5 0b = 1 0 5 3 1 5 0 5c1=a&b,c2=a|b,c3=a,c4=xor(a,b)c1 = 0 0 1 1 1 1 0 0c2 = 1 1 1 1 1 1 1 1c3 = 1 0 0 0 0 0 0 1c4 = 1 1 0 0 0 0 1 13.6 集 合 運 算1兩個集合的交集函數(shù) intersect格式 c = intersect(a,b) %返回向量a、b的公共部分，即c= ab。c = intersect(a,b,'rows') %a、b為相同列數(shù)的矩陣，返回元素相同的行。c,ia,ib = intersect(a,b) %c為

32、a、b的公共元素，ia表示公共元素在a中的位置，ib表示公共元素在b中位置。【例331】兩個集合的交集a=1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4a = 1 2 3 4 1 2 4 6 6 7 1 4b=1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4b = 1 2 3 8 1 1 4 6 6 7 1 4c=intersect(a,b,'rows')c = 6 7 1 42兩集合的差函數(shù) setdiff格式 c = setdiff(a,b) %返回屬于a但不屬于b的不同元素的集合，c = a-b。c = setdiff(a,b,'rows') %返回屬于a但

33、不屬于b的不同行c,i = setdiff() %c與前面一致，i表示c中元素在a中的位置?！纠?32】兩集合的差.a = 1 7 9 6 20; b = 1 2 3 4 6 10 20;c=setdiff(a,b)c = 7 93兩個集合交集的非（異或）函數(shù) setxor格式 c = setxor(a,b) %返回集合a、b交集的非c = setxor(a,b,'rows') %返回矩陣a、b交集的非，a、b有相同列數(shù)。c,ia,ib = setxor() %ia、ib表示c中元素分別在a (或a)、b(或b)中位置【例333】兩個集合交集的非。a=1 2 3 4;b=2 4

34、 5 8;c=setxor(a,b)c = 1 3 5 84兩集合的并集函數(shù) union格式 c = union(a,b) %返回a、b的并集，即c = ab。c = union(a,b,'rows') %返回矩陣a、b不同行向量構(gòu)成的大矩陣，其中相同行向量只取其一。c,ia,ib = union() %ia、ib分別表示c中行向量在原矩陣(向量)中的位置【例334】兩集合的并集。a=1 2 3 4；b=2 4 5 8；c=union(a,b)則結(jié)果為c = 1 2 3 4 5 83.7 線性方程的組的求解n個未知量的線性方程組可以寫成系數(shù)矩陣為 加邊（增廣）矩陣為x=為一待求列向量 b=為一已知列向量由乘法定義有a*x=b由克萊姆定理有m<n;方程為不定方程m>n;方程為超定方程m=n時：如det(a)0,即a的秩r(a)=n,方程組有唯一解。x=ab.如det(a)=0,即a的秩r(a)<n, r(a) =r(b)方程組有無窮多解。如果r(a) r(b),方程組無解。線性方程組的無窮解 = 對應(yīng)齊次方程組的通解+非齊次方程組的一個特解；其特解的求法屬于解的第一類