第二十四章圓拓展題

1、第二十四章 圓24.1圓的有關(guān)性質(zhì) 專(zhuān)題一 利用圓中的半徑相等求角的大小以及線段的長(zhǎng)度1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，oa,ob是o的半徑，oaob，點(diǎn)a的坐標(biāo)為（2,3），點(diǎn) b的坐標(biāo)為（a，2），則a= .2.如圖，cd是o的直徑，a為dc的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)e在o上，eod=81°，ae交o 于b，且ab=oc，求a的度數(shù)專(zhuān)題二 利用垂徑定理求線段的長(zhǎng)度3.如圖所示，在o內(nèi)有折線oabc，其中oa=8，ab=12，a=b=60°，則bc的長(zhǎng)為（）a、19b、16 c、18d、20 4.【2012·陜西】如圖，在半徑為5的o中，ab、cd是互相垂直的兩條弦，垂足為

2、p，且abcd8，則op的長(zhǎng)為( )a3 b4 c d5.如圖，abc內(nèi)接于o，adbc，oebc，oe=bc（1）求bac的度數(shù)；（2）將acd沿ac折疊為acf，將abd沿ab折疊為abg，延長(zhǎng)fc和gb相交于點(diǎn)h，求證：四邊形afhg是正方形；（3）若bd=6，cd=4，求ad的長(zhǎng)專(zhuān)題三 利用圓的軸對(duì)稱(chēng)性解題6.如圖，mn是o的直徑，mn=2，點(diǎn)a在o上，amn=30°，b為弧an的中點(diǎn)，p是直徑mn上一動(dòng)點(diǎn)，則pa+pb的最小值為（）a. b. c.1 d.2 7.【 2012·貴港】如圖， 為的直徑，、是上的兩點(diǎn)，過(guò)作 于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，為上的任意一點(diǎn)，若，則的最小

3、值是_.專(zhuān)題四 利用圓心角、圓周角的關(guān)系證明或者計(jì)算8.如圖，o的直徑ab的長(zhǎng)為10，弦ac長(zhǎng)為6，acb的平分線交o于d，則cd長(zhǎng)為（）a.7b.7 c.8d.9 abcdeo9.【2012·淄博】如圖，ab，cd是o的弦，abcd，be是o的直徑若ac=3，則de= 10.如圖，已知弧ad所對(duì)的圓心角aod=90°，b,c將弧ad三等分，弦ad與半徑ob,oc相交于e,f，求證:ae=bc=fd.專(zhuān)題五 利用圓的基本性質(zhì)判定圖形的形狀或探求線段間的數(shù)量關(guān)系11.如圖，點(diǎn)a、b、p是o上的動(dòng)點(diǎn)，若abp為等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)p有（）a、1個(gè)b、2個(gè) c、3個(gè)d、

4、4個(gè)12. 【2012·黔西南州】如圖，abc內(nèi)接于o，ab8，ac4，d是ab邊上一點(diǎn)，p是優(yōu)弧bac的中點(diǎn)，連接pa、pb、pc、pd，當(dāng)bd的長(zhǎng)度為多少時(shí)，pad是以ad為底邊的等腰三角形？并加以證明13.如圖，ab是o的直徑，c、d是o上的兩點(diǎn)，且ac=cd（1）求證：ocbd；（2）若bc將四邊形obdc分成面積相等的兩個(gè)三角形，試確定四邊形obdc的形狀知識(shí)要點(diǎn)：1.圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸.2.垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.3.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.4.在同圓或等圓中，相等的圓心角、相等的弧、

5、相等的弦、相等的弦心距中只要有一組量相等，其他的量也相等.5.同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.6.半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.7.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).溫馨提示：1.圓中的半徑相等，常常用來(lái)構(gòu)造等腰三角形.2.圓中看到角時(shí)要記得去看看它是不是圓周角、圓心角，如果是的話(huà)是否可以利用圓周角、圓心角的性質(zhì)解決問(wèn)題；圓中看到線段時(shí)要記得去看看它是不是圓中的弦，如果是的話(huà)是否可以利用圓周角、圓心角的性質(zhì)解決問(wèn)題.3.利用垂徑定理求弦長(zhǎng)時(shí)，不要求成半弦長(zhǎng).方法技巧：1.垂徑定理常常與勾股定理結(jié)合求圓中線段的長(zhǎng)度.2.

6、線段之和最短問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，利用勾股定理求解.3.在找角的關(guān)系時(shí)，外角是一個(gè)很好的橋梁.參考答案1.-3 2.【解】連ob，如圖，ab=oc，ob=oc，ab=bo，a=2.1=a+2，1=2a.ob=oe，1=e.e=2a.eod=a+e=81°，3a=81°，所以a=27°3.d 【解析】如圖，延長(zhǎng)ao交bc于d，作oebc于e.a=b=60°，adb=60°,adb為等邊三角形,bd=ad=ab=12.od=4，又adb=60°，de=od=2.be=10.bc=2be=20.4. c 【解析】過(guò)點(diǎn)o作oeab，ofc

7、d，垂足分別為點(diǎn)e和點(diǎn)f，連接ao，oeab，.在rtoae中，oa5，由勾股定理可得，oe3，同理可得of3，因此四邊形oepf是正方形，oepe3，在rtope中，由勾股定理可得. 5.【解】（1）連接ob和oc,oebc，be=ce.oe=bc，boc=90°，bac=45°.（2）證明：adbc，adb=adc=90°.由折疊可知，ag=af=ad，agh=afh=90°，bag=bad，caf=cad，bag+caf=bad+cad=bac=45°.gaf=bag+caf+bac=90°.四邊形afhg是正方形.（3）由（2

8、）得，bhc=90°，gh=hf=ad，gb=bd=6，cf=cd=4.設(shè)ad的長(zhǎng)為x，則bh=ghgb=x6，ch=hfcf=x4在rtbch中，bh2+ch2=bc2，（x6）2+（x4）2=102.解得，x1=12，x2=2（舍去）.ad=12 6.b 【解析】作a關(guān)于mn的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)q，連接mq，此時(shí)ap+pb=qp+pb=qb，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，pa+pb的最小值為qb的長(zhǎng)度.連接ao，ob，oq，b為弧an中點(diǎn)，bon=amn=30°.qon=2qmn=2×30°=60°.boq=30°+60°=90°

9、.直徑mn=2，ob=1.bq=.則pa+pb的最小值為7. 【解析】延長(zhǎng)bd交圓o于點(diǎn)b，連接ba，過(guò)b向ac的延長(zhǎng)線作垂線，垂足為e,在rta be中，ae=8+6=14，be=8+6=14，所以a b=，即的最小值是.8.b 【解析】如圖，作dfca，交ca的延長(zhǎng)線于點(diǎn)f，作dgcb于點(diǎn)g，連接da，dbcd平分acb，acd=bcd.df=dg，弧ad=弧bd.da=dbafd=bgd=90°，afdbgd.af=bg易證cdfcdg，cf=cg設(shè)af=bg=x，bc=8，ac=6，得8x=6+x，解x=1.cf=7.cdf是等腰直角三角形，cd=79.3 【解析】be為直徑

10、，bde=90°，bdc+cde=90°abcd，acd+bac=90°又bac=bdc，acd=cde，=，=，de=ac=310.【證明】連接ab,dc.b,c將弧ad三等分， 弧ab=弧bc=弧cd.ab=bc=cd.aod=90°,aob=boc=cod=30°.bad=30°.oa=ob,oab=oba=（180°-aob）=75°.aeb=180°-(oba+bad)=180°-(75°+30°)=75°.ab=ae.同理：dc=df.ae=bc=df.

11、11.d 【解析】根據(jù)垂徑定理，分兩種情況：以ab為底邊，可求出有點(diǎn)p1、p2；以ab為腰，可求出有點(diǎn)p3、p4故共4個(gè)點(diǎn)12.【解】當(dāng)bd4時(shí)，pad是以ad為底邊的等腰三角形證明：p是優(yōu)弧bac的中點(diǎn)弧pb弧pc，即pbpc，又bdac4，pbdpca，pbdpca，papdpad是以ad為底邊的等腰三角形 13.【解】（1）證明：ac=cd，弧ac=弧cd,abc=cbd.oc=ob，ocb=obc.ocb=cbd.ocbd；（2）ocbd，不妨設(shè)平行線oc與bd間的距離為h，sobc=oc×h，sdbc=bd×h，因?yàn)閎c將四邊形obdc分成面積相等的兩個(gè)三角形，s

12、obc =sdbc.oc=bd.四邊形obdc為平行四邊形.oc=ob，四邊形obdc為菱形24.2點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系 專(zhuān)題一 求利用圓的性質(zhì)求角的度數(shù)1.【2012·鄂州】如圖oa=ob=oc且acb=30°,則aob的大小是（ ）a.40°b.50° c.60°d.70 2.如圖，兩圓相交于a，b兩點(diǎn)，小圓經(jīng)過(guò)大圓的圓心o，點(diǎn)c，d分別在兩圓上，若adb=100°，則acb的度數(shù)為（）a.35° b.40° c.50° d.80°3.【 2012·安徽】如圖，點(diǎn)a、b、c、

13、d在o上，o點(diǎn)在d的內(nèi)部，四邊形oabc為平行四邊形，則oad+ocd=_°.專(zhuān)題二 判定直線與圓的位置關(guān)系4.如圖所示，mn是o的切線，b為切點(diǎn)，bc是o的弦且cbn=45°，過(guò)c的直線與o，mn分別交于a，d兩點(diǎn)，過(guò)c作cebd于點(diǎn)e（1）求證：ce是o的切線；（2）若cde=30°，bd=2+2，求o的半徑r5.如圖所示，在rtabc中，c=90°，bac=60°，ab=8半徑為的m與射線ba相切，切點(diǎn)為n，且an=3將rtabc順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到rtade，點(diǎn)b、c的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)d、e（1）畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的rtade；（2

14、）求出rtade的直角邊de被m截得的弦pq的長(zhǎng)度；（3）判斷rtade的斜邊ad所在的直線與m的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由6.如圖，已知點(diǎn)，經(jīng)過(guò)a、b的直線以每秒1個(gè)單位的速度向下作勻速平移運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)p從點(diǎn)b出發(fā)，在直線上以每秒1個(gè)單位的速度沿直線向右下方向作勻速運(yùn)動(dòng)設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒（1）用含的代數(shù)式表示點(diǎn)p的坐標(biāo)；（2）過(guò)o作ocab于c，過(guò)c作cd軸于d，問(wèn)：為何值時(shí)，以p為圓心，1為半徑的圓與直線oc相切？并說(shuō)明此時(shí)圓p與直線cd的位置關(guān)系專(zhuān)題三 切線的性質(zhì)及切線長(zhǎng)定理7.如圖，在abcd中，dab60°，ab15已知o的半徑等于3，ab，ad分別與o相切于點(diǎn)e，fo在

15、abcd內(nèi)沿ab方向滾動(dòng)，與bc邊相切時(shí)運(yùn)動(dòng)停止試求o滾過(guò)的路程 8. 如圖，o是等腰梯形abcd的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為e、f、g、h，已知adbc,do=6cm，co=8cm.求：（1）dc的長(zhǎng).（2）求等腰梯形的周長(zhǎng).9.如圖，在abc中，c90°，o切三角形的三邊于d、e、f點(diǎn).（1）連接od、of得四邊形fcdo,你認(rèn)為四邊形fcdo是那種特殊四邊形？證明你的觀點(diǎn).（2）在（1）的基礎(chǔ)上，如果af=3，o的半徑等于2，你能求出三角形的面積嗎？知識(shí)要點(diǎn)：1.直線與圓的三種位置關(guān)系：直線和o相交；直線和o相切；直線和o相離.2.切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓

16、的切線.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.3.切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.溫馨提示：1.直線與圓的位置關(guān)系有3種，解題時(shí)不要漏掉其中的某種位置關(guān)系.2.圓中一弦對(duì)二弧對(duì)兩個(gè)圓周角，不要漏掉.方法技巧：1.銳角三角形的外心在銳角三角形內(nèi)部，直角三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形外心在鈍角三角形的外部.2.直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c，則其內(nèi)切圓的半徑為：或.3.證明圓的切線的兩種方法：（1）直線過(guò)圓上一點(diǎn)時(shí)，需連過(guò)此點(diǎn)的半徑，證明該直線與該半徑垂直；（2）直線與圓沒(méi)有已知的公共點(diǎn)時(shí)，通常過(guò)圓心作該直線的垂線

17、段，證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑.參考答案1.c 【解析】根據(jù)題意，以點(diǎn)o為圓心，以oa為半徑作圓，如下圖則有點(diǎn)a、b、c均在圓周上，故有aob=2acb=60°2.b 【解析】連接oa、ob.四邊形aobd內(nèi)接于圓，adb=100°，aob=180°100°=80°.acb=aob，acb=×80°=40°3.60°【解析】四邊形oabc為平行四邊形，abc=aoc，oab=ocb.adc=aoc，adc+abc=180°，abc=aoc=120°.oabc，oab=ocb=60°

18、;.(oab+oad)+(ocb+ocd)=180°，oad+ocd=60°.4.【解】（1）證明：連接ob、ocmn是o的切線，obmncbn=45°，obc=45°，bce=45°ob=oc，obc=ocb=45°oce=90°，ce是o的切線；（2）obbe，cebe，occe，四邊形boce是矩形，又ob=oc，四邊形boce是正方形.be=ce=ob=oc=r在rtcde中，cde=30°，ce=r，de=rbd=2+2，r+r=2+2.r=2，即o的半徑為25.【解】（1）如圖rtade即為所求；（2）

19、如圖，過(guò)點(diǎn)m作mfde，垂足為f，連接mp在rtmpf中，mp，mf4-31，由勾股定理易得pf，再由垂徑定理知pq2pf2；（3）ad與m相切連接ma、me、md，則sadesamd+same+sdme，過(guò)m作mhad于h， mgde于g， 連接mn， 則mnae且mn，mg1，ac·bcad·mh+ae·mn+de·mg，由此可以計(jì)算出mh ，mhmn.ad與m相切6.【解】作phob于h 如圖1，ob6，oa，oab30°.pbt，bph30°，bh，hp .oh，p，.圖1圖2圖3當(dāng)p在左側(cè)與直線oc相切時(shí)如圖2，ob，boc

20、30°，bc.pc . 由，得 s，此時(shí)p與直線cd相割當(dāng)p在左側(cè)與直線oc相切時(shí)如圖3，pc.由，得s，此時(shí)p與直線cd相割綜上，當(dāng)或時(shí)，p與直線oc相切，p與直線cd相割.7.【解】連接oe，oa ab，ad分別與o相切于點(diǎn)e，f oeab，oe=3 dab60°， oae30°oa=6cm.在rtaoe中，ae= adbc，dab60°， abc120° 設(shè)當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，o與bc，ab分別相切于點(diǎn)m，n，連接on，ob 同理可得 bn=. o滾過(guò)的路程為 8.【解】(1)o是等腰梯形abcd的內(nèi)切圓， fdoedo =edf，ecohco

21、=ech.adbc，edf+ech=180°. edo+eco=edf+ech=(edf+ech )= ×180°=90°. 在rtdoc中，由勾股定理得：,即 .解得 dc=10cm.(2) o是等腰梯形abcd的內(nèi)切圓，df=de，ce=ch，af=ag，bg=bh. af+fd+bh+ch=ag+gb+de+ce即ad+bc=ab+dc. 四邊形abcd是等腰梯形abcd， ab=cd. ad+bc=2dc=20cm.所以等腰梯形abcd的周長(zhǎng)等于40cm.9【解】（1）四邊形fcdo是正方形，理由如下： o切三角形的三邊于d、f、e，cf=cd，

22、af=ae，bd=be，ofac，odbc. odcofc90°.c90°，四邊形fcdo是矩形. cf=cd，四邊形fcdo是正方形 .（2）af=ae，af=3，ae=3. 四邊形fcdo是正方形，o的半徑等于2， cf=cd=2. ac=5.設(shè)bd=x，則be=x，ab=3+x，bc=2+x.在rtabc中，由勾股定理得，即.解得x=10.bc=12 .24.3 正多邊形和圓專(zhuān)題 利用正多邊形與圓的性質(zhì)解決問(wèn)題1.如圖，o是正方形abcd的對(duì)角線bd上一點(diǎn)，o與邊ab，bc都相切，點(diǎn)e，f分別在ad，dc上，現(xiàn)將def沿著ef對(duì)折，折痕ef與o相切，此時(shí)點(diǎn)d恰好落在圓

23、心o處若de=2，則正方形abcd的邊長(zhǎng)是（）a.3 b.4 c. d.2.如圖是一個(gè)組合煙花的橫截面，其中16個(gè)圓的半徑相同，點(diǎn)a、b、c、d分別是四個(gè)角上的圓的圓心，且四邊形abcd為正方形若圓的半徑為r，組合煙花的高為h，則組合煙花側(cè)面包裝紙的面積至少需要（接縫面積不計(jì)）（）a26rh b24rh+rh c12rh+2rh d24rh+2rh知識(shí)要點(diǎn)：1.各邊都相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.2.正多邊形的外接圓的圓心叫這個(gè)正多邊形的中心，外接圓半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.溫馨提示：1.正多邊

24、形的中心角本質(zhì)上是圓心角.2.正多邊形的邊是圓中的弦，正多邊形的邊心距是弦心距.3.利用勾股定理求弦長(zhǎng)時(shí)，一定注意不要求成半弦長(zhǎng).規(guī)律總結(jié)：1.正n邊形的中心角為；2.邊長(zhǎng)為a的正n邊形的周長(zhǎng)為na；3.正多邊形的周長(zhǎng)為，邊心距為r，則其面積.4.邊長(zhǎng)為a的正三角形的面積為.5.正多邊形與圓中的計(jì)算常常用“垂徑定理”+“勾股定理”.參考答案1.c 【解析】如圖：延長(zhǎng)fo交ab與點(diǎn)g，則點(diǎn)g是切點(diǎn)，od交ef于點(diǎn)h，則點(diǎn)h是切點(diǎn)abcd是正方形，點(diǎn)o在對(duì)角線bd上，og=oh=hd=he=ae，且都等于圓的半徑在等腰直角三角形deh中，de=2，eh=dh=aead=ae+de=+22.d 【解

25、析】由圖形知，正方形abcd的邊長(zhǎng)為6r，其周長(zhǎng)為4×6r=24r.截面的周長(zhǎng)為24r+2r，組合煙花的側(cè)面包裝紙的面積為：（24r+2r）h=24rh+2rh24.4弧長(zhǎng)和扇形面積專(zhuān)題一 套用公式求弧長(zhǎng)和扇形面積1. 如圖，依次以三角形、四邊形、n邊形的各頂點(diǎn)為圓心畫(huà)半徑為l的圓，且圓與圓之間兩兩不相交把三角形與各圓重疊部分面積之和記為s3，四邊形與各圓重疊部分面積之和記為s4，n邊形與各圓重疊部分面積之和記為sn則s90的值為 （結(jié)果保留）2. 在圖中的五個(gè)半圓，鄰近的兩半圓相切，兩只小蟲(chóng)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度從a點(diǎn)到b點(diǎn)甲蟲(chóng)沿弧ada1、a1eb1、b1fc1、c1gb路線爬行

26、，乙蟲(chóng)沿路線弧acb爬行，則下列結(jié)論正確的是（）a甲先到b點(diǎn) b乙先到b點(diǎn) c甲、乙同時(shí)到b點(diǎn) d無(wú)法確定3.如圖1，已知在o中，點(diǎn)c為劣弧ab上的中點(diǎn)，連接ac并延長(zhǎng)至d，使cd=ca，連接db并延長(zhǎng)db交o于點(diǎn)e，連接ae（1）求證：ae是o的直徑；（2）如圖2，連接ec，o半徑為5，ac的長(zhǎng)為4，求陰影部分的面積之和（結(jié)果保留與根號(hào)）專(zhuān)題二 圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖4. 【2011·無(wú)錫】已知圓柱的底面半徑為2cm，高為5cm，則圓柱的側(cè)面積是（）a20cm2b20cm2 c10cm2d5cm25. 【2011·廣安】如圖所示，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm，ac是底面圓的直徑，高b

27、c 6cm，點(diǎn)是母線上一點(diǎn)且一只螞蟻從a點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)p的最短距離是（ ） a（）cm b5cm ccm d7cm6.【2012·青島】如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)c處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)a處.則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為 cm專(zhuān)題三 圓錐的側(cè)面展開(kāi)7.將一個(gè)圓心角是90°的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則該圓錐的側(cè)面積s側(cè)和底面積s底的關(guān)系是（）a.s側(cè)=s底 b.s側(cè)=2s底 c.s側(cè)=3s底 d.s側(cè)=4s底8.已知o為圓錐的頂點(diǎn)，m為圓錐底面上一點(diǎn)，點(diǎn)p在om上一只蝸

28、牛從p點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，回到p點(diǎn)時(shí)所爬過(guò)的最短路線的痕跡如圖所示若沿om將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展開(kāi)，所得側(cè)面展開(kāi)圖是（）abcd9.如圖1，在正方形鐵皮上剪下一個(gè)扇形和一個(gè)半徑為1cm的圓形，使之恰好圍成圖2所示的一個(gè)圓錐，則圓錐的高為（）a. cm b. 4cm c. cm d. cm知識(shí)要點(diǎn)：1.半徑為r的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為.2.半徑為r的圓中，n°的圓心角所對(duì)的扇形面積為=.3.沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展平，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為，扇形的弧長(zhǎng)為，圓錐的側(cè)面積為，圓錐的全面積為+.溫馨提示：1.圓錐與其側(cè)面展開(kāi)圖中都有半徑，在代入公式計(jì)算時(shí)部分同學(xué)易混