全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題及參考答案

1、2015年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題第一試（a）一、選擇題（每小題7分，共42分）1設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足：，則（ ）a. 0b. 3c. 6d. 92若拋物線與x軸只有一個公共點(diǎn)，且過點(diǎn)a（m，n），b（m8，n），則n（ ）a. 8b. 12c. 16d. 24abcdef3矩形abcd中，ad5，ab10，e、f分別為矩形外的兩點(diǎn)，bedf4，afce3，則ef（ ）ab15cd4已知o為標(biāo)原點(diǎn)，位于第一象限的點(diǎn)a在反比例函數(shù)的圖象上，位于第二象限的瀹b在反比例函數(shù)的圖象上且oaob，則tanabo的值為（ ）abc1d25已知實(shí)數(shù)x（y滿足關(guān)系式，則的最小值為（ ）abc1d6設(shè)n是小于1

2、00的正整數(shù)且使是15的倍數(shù)，則符合條件的所有正整數(shù)n的和是（ ）a285b350c540d635二、填空題（每小題7分，共28分）abcdfoe7設(shè)a，b是一元二次方程的兩根，則的值為 .8從三邊長均為整數(shù)且周長為24的三角形中任取一個，它是直角三角形的概率為 .9已知銳角abc的外心為o，ao交bc于d，e、f分別為abd、acd的外心，若abac，efbc，則cb .10將數(shù)字1，2，3，34，35，36填在6×6的方格中，每個方格填一個數(shù)字，要求每行數(shù)字從左到右是從小到大的順序，則第三列所填6個數(shù)字的和的最小值為 .第一試（b）一、選擇題（每小題7分，共42分）1設(shè)實(shí)數(shù)a，b

3、，c滿足：，則（ ）a. 12b. 9c. 6d. 32若拋物線與x軸只有一個公共點(diǎn)，且過點(diǎn)a（m，n），b（m8，n），則n（ ）a. 8b. 12c. 16d. 243矩形abcd中，ad5，ab10，e、f分別為矩形外的兩點(diǎn)，bedf4，afce3，則ef（ ）ab15cd4已知實(shí)數(shù)x，y滿足關(guān)系式，則的最大值為（ ）a3b6c9d125已知o為坐標(biāo)原點(diǎn)，位于第一象限的點(diǎn)a在反比例函數(shù)的圖象上，位于第二象限的點(diǎn)b在反比例函數(shù)的圖象上，且oaob，則tanabo的值為（ ）abc1d26設(shè)n是小于100的正整數(shù)且使是6的倍數(shù)，則符合條件的所有正整數(shù)n的和是（ ）a784b850c1536d

4、1634二、填空題（每小題7分，共28分）aobdc7設(shè)a，b是一元二次方程的兩根，則的值為 .8三邊長均為整數(shù)且周長為24的三角形的個數(shù)為 .9c、d兩點(diǎn)在以ab為直徑的半圓周上，ad平分bac，ab20，ad，則ac的長為 .10在圓周上按序擺放和為15的五個互不相等的正整數(shù)a，b，c，d，e，使得abbccddeea最小，則這個最小值為 .第二試（a）1（20分）關(guān)于x的方程有且僅有一個實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.abcdpfnem2（25分）如圖，圓內(nèi)接四邊形abcd的對角線ac、bd交于點(diǎn)e，且acbd，abac. 過點(diǎn)d作dfbd，交ba的延長線于點(diǎn)f，bfd的平分線分別交ad、b

5、d于點(diǎn)m、n.（1）證明：bad3dac；（2）如果，證明：mnmd.3（25分）設(shè)正整數(shù)m，n滿足：關(guān)于x的方程至少有一個正整數(shù)解，證明：.第二試（b）1（20分）若正數(shù)a，b滿足ab1，求的最小值.2（25分）如圖，圓內(nèi)接四邊形abcd的對角線ac、bd交于點(diǎn)e，且acbd，abacbd. 過點(diǎn)d作dfbd，交ba的延長線于點(diǎn)f，bfd的平分線分別交ad、bd于點(diǎn)m、n.abcdfmen（1）證明：bad3dac；（2）如果mnmd，證明：bfcddf.3（25分）若關(guān)于x的方程至少有一個正整數(shù)根，求滿足條件的正整數(shù)k的值.2015年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案第一試（a）1. 解：d

6、. 提示：，.2. 解：c. 提示：依題意，有，于是可得.拋物線與x軸只有一個公共點(diǎn)，.因此.abcdefg3. 解：c. 提示：易知afdbec90°，becdfa，dafbce.延長fa，eb交于點(diǎn)g.gab90°dafadf，gba90°cbebcedaf，bgaafd，且agb90°，ag8，bg6，gf11，ge10，.4. 解：a. 提示：過點(diǎn)a、b分別作acx軸，bdx軸，垂足為c、d.由oaob得aob90°，于是可得aocobd，.5. 解：b. 提示：設(shè)，則由題設(shè)條件可知，x，y是關(guān)于m的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，于是有：，

7、解得或.又，當(dāng)（即）時，取得最小值，最小值為.6. 解：d. 提示：是15的倍數(shù)，.設(shè)（m是正整數(shù)），則.是15的倍數(shù)，是3的倍數(shù)，或，其中k是非負(fù)整數(shù).或，其中k是非負(fù)整數(shù).符合條件的所有正整數(shù)n的和是.7. 解：11. 提示：a，b是一元二次方程的兩根，.8. 解：. 提示：設(shè)三角形的三邊長為a，b，c（），則，故a的可能取值為8，9，10或11，滿足題意的數(shù)組（a，b，c）可以為：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，

8、6）.共12組，其中，只有一組是直角三角形的三邊長，所求概率為.9. 解：60°. 提示：作embc于點(diǎn)m，fnbc于點(diǎn)n，fpem于點(diǎn)p.abcmndfoepe、f分別為abd、acd的外心，m、n分別為bd、cd的中點(diǎn).又efbc，pfmnbcef，pef30°.又efad，embc，adcpef30°.又adcbbadb(180°2c)90°bc，cb90°adc60°.10. 解：63. 提示：設(shè)第三列所填6個數(shù)字按從小到大的順序排列后依次為a，b，c，d，e，f.a所在行前面需要填兩個比a小的數(shù)字，a不小于3；b所

9、在行前面需要填兩個比b小的數(shù)字，且a及a所在行前面兩個數(shù)字都比b小，b不小于6.同理可知：c不小于9，d不小于12，e不小于15，f不小于18.因此，第三列所填6個數(shù)字之和abcdef36912151863.如圖即為使得第三列所填6個數(shù)字之和取得最小值的一種填法（后三列的數(shù)字填法不唯一）.123192021456252729789222324101112262830131415313435161718323336第一試（b）1. 解：b. 提示：，.2. 解：c. 提示：依題意，有，于是可得.拋物線與x軸只有一個公共點(diǎn)，.因此.abcdefg3. 解：c. 提示：易知afdbec90°

10、;，becdfa，dafbce.延長fa，eb交于點(diǎn)g.gab90°dafadf，gba90°cbebcedaf，bgaafd，且agb90°，ag8，bg6，gf11，ge10，.4. 解：d. 提示：設(shè)，則，代入題設(shè)等式得，整理得.由判別式得，故.5. 解：a. 提示：過點(diǎn)a、b分別作acx軸，bdx軸，垂足為c、d.由oaob得aob90°，于是可得aocobd，.6. 解：d. 提示：是6的倍數(shù)，.設(shè)（m是正整數(shù)），則.是6的倍數(shù)，是3的倍數(shù)，或，其中k是非負(fù)整數(shù).或，其中k是非負(fù)整數(shù).符合條件的所有正整數(shù)n的和是.7. 解：11. 提示：a，b

11、是一元二次方程的兩根，.8. 解：12. 提示：設(shè)三角形的三邊長為a，b，c（），則，故a的可能取值為8，9，10或11，滿足題意的數(shù)組（a，b，c）可以為：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）.共12組，三邊長均為整數(shù)且周長為24的三角形的個數(shù)為12.aoebdcf9. 解：4. 提示：連接od、oc，作deab于e，ofac于f.ad平分bac，dob2badoac.又oaod，aofode，oeaf，ac2of2

12、oe.設(shè)ac2x，則oeafx.在rtode中，由勾股定理得.在rtade中，ad2de2ae2，即，解得x2.ac2x4.10. 解：37. 提示：和為15的五個互不相等的正整數(shù)只能是1，2，3，4，5.注意到五個數(shù)在圓周上是按序擺放的，且考慮的是和式，不妨設(shè)a5.52e1daebcd5eb1d5eb1d52b1e圖1圖2圖3圖4圖5如果1和5的位置不相鄰，不妨設(shè)c1（如圖2），此時的和式為；交換1和b的位置后，得到如圖3的擺法，此時的和式為.，.因此，交換1和b的位置使得1和5相鄰（如圖3）以后，和式的值會變小.如圖3，如果d2，此時的和式為；交換e和2的位置以后，得到如圖4的擺法，此時的

13、和式為.，.因此，交換e和2的位置使得2和5相鄰以后和式的值會變小.如果b2，此時的和式為；交換e和2的位置以后，得到如圖5的擺法，此時的和式為.，.因此，交換e和2的位置使得2和5相鄰以后和式的值會變小.綜上可知：1和2擺在5的兩邊（如圖5）時，和式的值會變小.當(dāng)d3，e4時，和式的值為；當(dāng)d4，e3時，和式的值為.因此，所求最小值為37.第二試（a）1. 解：將所給方程記為方程，顯然有且.若，則，此時方程無解，不符合題意，故.方程變形得，兩邊平方后整理得，再平方，整理得.顯然，應(yīng)該有，并且此時方程只可能有解.將代入方程，得，化簡整理得？，于是有，此時方程有唯一解.abcdqpfnem綜上所

14、述，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為.2. 證明：（1）在be上取一點(diǎn)p，使得bapdac，則bapcad，apad.又aepd，adeape，paedae，paebapdac，bad3dac.（2）設(shè)dac，則bac2，bad3，ndm90°.在fb上截取fqfd，連接qd，則bqbffqbffd.又，.又qbddca，qbddca，qdbdac.又dbcdac，qdbdbc，qdbc，fqdabc.又abac，bac2，abc90°，fqd90°.又fqfd，bfd2.fn平分bfd，afm，nmdamfbadafm32，mnd180°nmdndm90

15、6;mdn，mnmd.3. 證明：方程即 ，方程的判別式.不妨設(shè)，由題設(shè)可知，整系數(shù)方程至少有一個正整數(shù)解，應(yīng)為完全平方數(shù).注意到，若，即，則，從而有，故只可能，即，整理得，這與m，n均為正整數(shù)矛盾.因此，從而可得，.又，有，整理即得.第二試（b）1. 解：，.設(shè)，則，當(dāng)時取得等號.，.因此，當(dāng)，時，取得最小值.abcdfqmpen2. 證明：（1）在be上取一點(diǎn)p，使得bapdac，則bapcad，apad.又aepd，adeape，paedae，paebapdac，bad3dac.（2）設(shè)dac，則bac2，bad3.acbd，ndm90°.mnmd，mndmdn90°，nmd180°mndndm2，amf2，afmbadamf32.fn平分bfd，bfd2afm