圓錐曲線的另類性質(zhì)探究

1、圓錐曲線中發(fā)散思維的培養(yǎng)圓錐曲線有很多性質(zhì)，如果在學(xué)習(xí)的過程中善于總結(jié)，靈活運(yùn)用，對解析幾何知識的掌握會有很大的幫助。下面通過一道試題對圓錐曲線的又一個(gè)性質(zhì)做一番探討，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，增加對圓錐曲線的了解。有這樣一道試題：設(shè)a,b是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)p是雙曲線上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線pa,pb分別交直線x=1于m,n兩點(diǎn),則以mn為直徑的圓過定點(diǎn)(a) (1,0) b (2,0) c (3,0) d (4,0)證明，設(shè)m(1,) n(1,), a(-,0) b(,0)則直線am的方程為 .(1)bn的方程為 (2)直線am,bn相交于點(diǎn)p(x.y) ,點(diǎn)p在雙曲線上(1),(2)式相乘

2、得,將代入得又以mn為直徑的圓為當(dāng)y=0時(shí)，有 x=0或x=2以mn為直徑的圓過定點(diǎn)(0,0), (2,0)這個(gè)問題中的直線恰是雙曲線的準(zhǔn)線，定點(diǎn)恰是焦點(diǎn)，于是我們聯(lián)想到能否把這個(gè)問題推廣到一般的雙曲線呢？性質(zhì)一，設(shè) , 是雙曲線 (a0,b0)的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)p是雙曲線上異于 ,的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), p ,p分別交準(zhǔn)線于m ,n兩點(diǎn)，則以m n為直徑的圓過定點(diǎn)c 和 d證明：設(shè)m (,ym) n (,yn) a1 (-a ，0) a2 (a ，0)直線a1m的方程為直線a2n的方程為兩式相乘得 .(1)又兩直線的交點(diǎn)p在雙曲線上代入(1)式得又 圓心(,)以mn為直徑的圓為當(dāng)y=0 時(shí) 得=x= 或

3、x=圓過定點(diǎn)d(， 0) 和 c(， 0)其中點(diǎn)d(c ,0)即為雙曲線的焦點(diǎn)由這個(gè)證明過程可以看出，當(dāng)曲線改為橢圓時(shí)應(yīng)該也有同樣的結(jié)論。性質(zhì)二，設(shè)a1 a2是橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)p是橢圓上異于a1 a2的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 直線pa1 pa2分別交準(zhǔn)線x=(c2=a2-b2)于m ,n兩點(diǎn)，則以mn為直徑的圓過定點(diǎn)c ( 0) 和 d( 0) 其中c就是橢圓的焦點(diǎn)。證明；略從這兩類曲線的共同點(diǎn)可以看出，當(dāng)直線為x=時(shí) ,以mn為直徑的圓過右焦點(diǎn)。當(dāng)m ,n在左準(zhǔn)線x=-時(shí),以mn為直徑的圓一定過左焦點(diǎn)。若曲線變?yōu)閽佄锞€y2=2px時(shí),只有一個(gè)頂點(diǎn)o(0 ,0)及一個(gè)焦點(diǎn)( ,0)，相應(yīng)的m,n也有變化。性質(zhì)三； 若p是拋物線y2=2px上異于點(diǎn)o(0 ,0)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線po與準(zhǔn)線x=-相交于m，直線pn垂直于準(zhǔn)線x=-并與準(zhǔn)線相交于n，則以mn為直徑的圓過定點(diǎn)f( ,0)及e(， 0)這個(gè)性質(zhì)與拋物線的另一個(gè)性質(zhì)相吻合。即拋物線y2=2px的焦點(diǎn)弦為pq， pn,qm與準(zhǔn)線x=-分別相交于n,m，pn,qm都垂直于準(zhǔn)線，則焦點(diǎn)f對mn的張角為直角且p,o,