數(shù)理方程課件：3_1達(dá)朗貝爾

1、1)()(,)()(,),()()(xxxfxxxfdttxfdxdxx dttxfxxx )()(),( 關(guān)于關(guān)于二元函數(shù)二元函數(shù)含參變量積分含參變量積分的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx 特別地，特別地，2第三章第三章 行波法與積分變換法行波法與積分變換法本章我們將介紹另外兩個求解定解問題的方法，本章我們將介紹另外兩個求解定解問題的方法，一是一是行波法行波法( (或或達(dá)朗貝爾解法達(dá)朗貝爾解法) )，二是，二是積分變換法積分變換法。行波法行波法只能用于求解只能用于求解無界區(qū)域內(nèi)波動方程無界區(qū)域內(nèi)波動方程的定的定解問題。解問題。 雖有很大的局限性，但

2、對于波動問題有其雖有很大的局限性，但對于波動問題有其特殊的優(yōu)點(diǎn)，所以該法是數(shù)理方程的基本解法之一。特殊的優(yōu)點(diǎn)，所以該法是數(shù)理方程的基本解法之一。積分變換法積分變換法不受方程類型的限制，不受方程類型的限制，主要用于無主要用于無界區(qū)域界區(qū)域，但對于有界區(qū)域也能應(yīng)用。，但對于有界區(qū)域也能應(yīng)用。33.1 3.1 達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式. .波的傳播波的傳播3.1.1 3.1.1 弦振動方程的達(dá)朗貝爾解法弦振動方程的達(dá)朗貝爾解法如果我們所考察的如果我們所考察的弦線長度很長弦線長度很長，而我們需要而我們需要知道的又只是在較短時間且知道的又只是在較短時間且離開邊界較遠(yuǎn)的一段離開邊界較遠(yuǎn)的一段范圍范圍內(nèi)的振

3、動情況，內(nèi)的振動情況，那么那么邊界條件的影響邊界條件的影響就可以就可以忽略忽略。不妨把所考察弦線的不妨把所考察弦線的長度視為無限長度視為無限，而需，而需要知道的只是要知道的只是有限范圍內(nèi)有限范圍內(nèi)的振動情況。的振動情況。此時，定解問題歸結(jié)為如下形式此時，定解問題歸結(jié)為如下形式：),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2)4),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2)對于上述初值問題，由于微分方程及定解條件對于上述初值問題，由于微分方程及定解條件都是線性的，

4、所以都是線性的，所以疊加原理疊加原理同樣成立。同樣成立。),(1txu),(2txu),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6),(),(21txutxuu即如果即如果和和分別是下述初值問題分別是下述初值問題和和的解，的解， 則則是原問題是原問題(1)(2)(1)(2)的解。的解。5,atx ,atx ,2x.2at),(uu autxu2,2),().,(uuxt),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxu

5、xxut (3)(3)(4)(4)首先我們考察問題首先我們考察問題(3)(4)(3)(4). .通過通過自變量變換自變量變換求解。求解。為此，令為此，令(7)(7)其逆變換為其逆變換為(8)(8)用用記新的未知函數(shù)，則記新的未知函數(shù)，則6,atx ,atx ),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)(7)(7)uxtxxxuuu,uu )(xxuu)(xxxxuuu).2(2uuuautt,2uuu利用復(fù)合函數(shù)微分法則，得到利用復(fù)合函數(shù)微分法則，得到同理可得同理可得(9)(9)(10)(10)將將(9)(10)(9)(10)代入方程代

6、入方程(3)(3)化簡即得化簡即得7,atx ,atx ),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)(7)(7)將將(9)(10)(9)(10)代入方程代入方程(3)(3)化簡即得化簡即得. 0u),()(),(gfugf ,(11)(11)方程方程(11)(11)可以通過可以通過積分法積分法直接求解直接求解。先關(guān)于先關(guān)于積分一次，積分一次，積分一次，便可得到方程積分一次，便可得到方程(11)(11)再關(guān)于再關(guān)于的的通解通解為為(12)(12)其中其中都是具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)。都是具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)。再將自變量變換再將自變

7、量變換(7)(7)代入代入(12)(12)則可得則可得8., gf ),()()(xxgxf),()()(xxgaxf a0 xc,)()()(0 xxdcxgxfa),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)方程方程(3)(3)的的通解通解可表示為可表示為).()(),(atxgatxftxu(13)(13)下面，我們利用下面，我們利用初始條件初始條件(4)(4)來確定通解來確定通解(13)(13)中中的任意函數(shù)的任意函數(shù)將將(4)(4)代入代入(13)(13)得得(14)(14)(15)(15)再將再將(15)(15)式兩邊積分得式

8、兩邊積分得(16)(16)其中其中是任意一點(diǎn)，而是任意一點(diǎn)，而是積分常數(shù)。是積分常數(shù)。9),()()(xxgxf,)(1)()(0 xxdaacxgxf),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)方程方程(3)(3)的的通解通解可表示為可表示為).()(),(atxgatxftxu(13)(13)(14)(14)(16)(16),2)(21)(21)(0acdaxxfxx.2)(21)(21)(0acdaxxgxx由由(14)(14)和和(16)(16)變形得變形得(17)(17)把把(17)(17)代入通解式代入通解式(13)(13)

9、得初值問題得初值問題(3)(4)(3)(4)的解的解102)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)方程方程(3)(3)的的通解通解可表示為可表示為).()(),(atxgatxftxu(13)(13),2)(21)(21)(0acdaxxfxx.2)(21)(21)(0acdaxxgxx(17)(17)這種求解方法稱為這種求解方法稱為達(dá)朗貝爾解法達(dá)朗貝爾解法。(18)(18)這個公式稱為這個公式稱為無限長弦自由振動的達(dá)朗貝爾公式無限長弦自由振動的達(dá)朗貝爾公式，或稱或稱達(dá)朗貝爾

10、解達(dá)朗貝爾解。11),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)3.1.4 3.1.4 齊次化原理齊次化原理齊次化原理齊次化原理);,(txw),(2twawxxtt ),(|, 0|xfwwttt tdtxwtxu0);,(),(若若是初值問題是初值問題(21)(21)的解的解( (其中其中 為參數(shù)為參數(shù)),), 則則(22)(22)就是初值問題就是初值問題(5)(6)(5)(6)的解。的解。12),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6),(2twawxxtt ),

11、(|, 0|xfwwttt tdtxwtxu0);,(),(21)(21)(22)(22),tt),;,();,();,(txwtxwtxw),0(2 twawxxt t ).,(|, 0|00 xfwwttt (23)(23)令令并記并記則問題則問題(21)(21)可化為如下形式：可化為如下形式：132)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)(18)t axt axdfatxw.),(21);,(tdtxwtxu0);,(),(22)(22),tt),;,();,();,(txwtxwtxw),0(2 twawxxt t ).,(|, 0|00 xfwwttt (2

12、3)(23)令令并記并記則問題則問題(21)(21)可化為如下形式：可化為如下形式：由由達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式(18)(18)知問題知問題(23)(23)的解為的解為14)()(.),(21);,(taxtaxdfatxw ttaxtaxddfatxu0)()(.),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)tdtxwtxu0);,(),(22)(22)t axt axdfatxw.),(21);,(,tt由由將變量還原得將變量還原得(24)(24)再將再將(24)(24)代入公式代入公式(22)(22)即得初值問

13、題即得初值問題(5)(6)(5)(6)的解的解(25)(25) ttaxtaxddfatxu0)()(),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)(25)(25)事實(shí)上，由事實(shí)上，由(25)(25)確定的函數(shù)確是問題確定的函數(shù)確是問題(5)(6)(5)(6)的解的解二元函數(shù)含參變量積分的求導(dǎo)公式二元函數(shù)含參變量積分的求導(dǎo)公式: :15)()(,)()(,),()()(xxxfxxxfdttxfdxdxxdttxfxxx)()(),(16ftudtfattaxttax)()(),(21dtaxft021),(dtax

14、ft021),(,),(),(210dtaxftaxft ttaxtaxddfatxu0)()(),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)(25)(25)事實(shí)上，由事實(shí)上，由(25)(25)確定的函數(shù)確是問題確定的函數(shù)確是問題(5)(6)(5)(6)的解的解當(dāng)當(dāng)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時，由具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時，由(25)(25)式可得式可得17),(txfutt;),(),(20dtaxftaxfat,),(),(210dtaxftaxfautx;),(),(210dtaxftaxfautxxtu,),(),(210dt

15、axftaxft ttaxtaxddfatxu0)()(.),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)(25)(25)18),(2txfuauxxtttu,|0tu. 0|0ttu ttaxtaxddfatxu0)()(.),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)(25)(25)于是于是再驗(yàn)證再驗(yàn)證初始條件初始條件(6)(6)。即即(25)(25)滿足方程滿足方程(5)(5)。tu,),(),(210dtaxftaxft由由(25)(

16、25)式及式及可得可得 以上證明了由以上證明了由(25)(25)確定的函數(shù)確是初值問題確定的函數(shù)確是初值問題(5)(6)(5)(6)的解。的解。的表達(dá)式的表達(dá)式192)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)(18) ttaxtaxddfatxu0)()(.),(21),(25)(25)2)()(),(atxatxtxuatxatxda)(21(26)(26).),(210)()( ttaxtaxddfa),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2)由由疊加原理疊加原理，可得定解問題，可得定解問題(1)

17、(2)(1)(2)解可表示為解可表示為20),0,(2txxuuxxtt .)0 ,(,sin)0 ,(xxuxxut )sin()sin(21),(txtxtxutxtxd21ddttxtx 0)()(221txcossinxt.2xt例例求解下列初值問題求解下列初值問題解解由公式由公式(26)(26)得得2)()(),(atxatxtxuatxatxda)(21(26)(26).),(210)()( ttaxtaxddfa213.1.2 3.1.2 達(dá)朗貝爾解的物理意義達(dá)朗貝爾解的物理意義).()(),(atxgatxftxu(13)(13),(1atxfut),0,(2txuauxxtt

18、 )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)先考察先考察(19)(19)顯然它是方程顯然它是方程(3)(3)的解。的解。 給給 以不同的值，就可以以不同的值，就可以看出弦在各個時刻相應(yīng)的振動狀態(tài)?？闯鱿以诟鱾€時刻相應(yīng)的振動狀態(tài)。223.1.2 3.1.2 達(dá)朗貝爾解的物理意義達(dá)朗貝爾解的物理意義).()(),(atxgatxftxu(13)(13),(1atxfu0t),()0 ,(1xfxu),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)先考察先考察(19)(19)在在時，時，它對應(yīng)于初始時刻的它對應(yīng)于初始時刻

19、的振動狀態(tài)振動狀態(tài)( (相當(dāng)于弦在初始時刻各點(diǎn)的位移狀態(tài)相當(dāng)于弦在初始時刻各點(diǎn)的位移狀態(tài)) )，如圖如圖3.13.1實(shí)線所示實(shí)線所示xuO)(1xfu )0( t1x2x圖圖3.13.1233.1.2 3.1.2 達(dá)朗貝爾解的物理意義達(dá)朗貝爾解的物理意義).()(),(atxgatxftxu(13)(13),(1atxfu0t),(),(001atxftxu),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)先考察先考察(19)(19)經(jīng)過時間經(jīng)過時間 后，后，在在它相當(dāng)于原來的圖形它相當(dāng)于原來的圖形xuO)(1xfu )0( t)(01atx

20、fu)(0tt 1x01atx 2x02atx ),(ux平面上，平面上，)(1xfu 向右平移了一段距離向右平移了一段距離,0at圖圖3.13.1243.1.2 3.1.2 達(dá)朗貝爾解的物理意義達(dá)朗貝爾解的物理意義).()(),(atxgatxftxu(13)(13),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)xuO)(1xfu )0( t)(01atxfu)(0tt 1x01atx 2x02atx )(atxg)(atxfa因此，由函數(shù)因此，由函數(shù)右傳播波右傳播波。的解，稱為的解，稱為左傳播波左傳播波常數(shù)常數(shù)為傳播速度為傳播速度。所描

21、述的振動規(guī)律，稱為所描述的振動規(guī)律，稱為同樣，形如同樣，形如圖圖3.13.1253.1.2 3.1.2 達(dá)朗貝爾解的物理意義達(dá)朗貝爾解的物理意義).()(),(atxgatxftxu(13)(13),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)xuO)(1xfu )0( t)(01atxfu)(0tt 1x01atx 2x02atx a由此可見，由此可見，通解通解(13)(13)表示弦上的任意擾動總是表示弦上的任意擾動總是以以行波形式行波形式分別分別向兩個方向向兩個方向傳播出去，傳播出去，正好是方程正好是方程(3)(3)中出現(xiàn)的常數(shù)中出現(xiàn)的

22、常數(shù)其傳播速度其傳播速度達(dá)朗貝爾解法達(dá)朗貝爾解法又稱為行波法又稱為行波法圖圖3.13.126內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)2)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)(18)1 1無限長弦自由振動無限長弦自由振動問題問題的的達(dá)朗貝爾解達(dá)朗貝爾解為公式為公式).()(),(atxgatxftxu(13)(13)其中方程其中方程(3)(3)的的通解通解形式為形式為行波法或達(dá)朗貝爾解法行波法或達(dá)朗貝爾解法27內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)2 2無限長弦強(qiáng)迫振動無限長弦強(qiáng)迫振動問題問題的的解解為公式為公式),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(