投針試驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第六章頻率與概率投針試驗(yàn)河南省第二試驗(yàn)中學(xué)胡亞麗一、學(xué)生知識(shí)狀況分析 通過(guò)第6.1節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已認(rèn)識(shí)到當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率，并可據(jù)此估計(jì)某一事件發(fā)生的概率，已會(huì)用樹(shù)狀圖或列表計(jì)算兩步試驗(yàn)的事件的概率. 本節(jié)課討論的問(wèn)題, 雖然存在理論概率,但其理論計(jì)算已經(jīng)超出了義務(wù)教育階段學(xué)生的認(rèn)知水平,學(xué)生將借助試驗(yàn)?zāi)M獲得其估計(jì)值。二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)選取了一個(gè)歷史上較為著名的投針試驗(yàn)為題材力圖讓學(xué)生通過(guò)親身的試驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)過(guò)程獲得用試驗(yàn)的方法估計(jì)復(fù)雜事件發(fā)生的概率的體驗(yàn)教學(xué)目標(biāo) 1. 知識(shí)與技能目標(biāo)借助大量重復(fù)試驗(yàn)去感悟試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率能用試驗(yàn)的方法估計(jì)一些復(fù)雜的隨機(jī)事件發(fā)生的概率

2、；2.方法與過(guò)程目標(biāo)結(jié)合具體情境，初步感受統(tǒng)計(jì)推斷的合理性，進(jìn)一步體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系。經(jīng)歷試驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)等活動(dòng)過(guò)程，在活動(dòng)中在活動(dòng)中促進(jìn)他們對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí),進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的意識(shí)和能力.3情感態(tài)度價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，提高自身的數(shù)學(xué)交流水平，增強(qiáng)與人合作的精神和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.發(fā)展辯證思維能力.教學(xué)重點(diǎn):能用試驗(yàn)方法估計(jì)一些復(fù)雜的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.教學(xué)難點(diǎn):借助大量的重復(fù)試驗(yàn)去感悟試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率.三、教學(xué)過(guò)程分析本節(jié)設(shè)計(jì)五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)第一環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)小組活動(dòng)探究; 第三環(huán)節(jié)閱讀拓展第四環(huán)節(jié)課堂小結(jié)；第五環(huán)節(jié)布置作業(yè)

3、第一環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課教具準(zhǔn)備:大頭針，圖釘，多媒體演示通過(guò)問(wèn)題串的形式引入新課： 問(wèn)題：（1）拋圖釘時(shí)，圖釘落地有兩種情況，一種是針尖向下（如圖一所示）一種是釘帽向下（如圖二所示），能借助書(shū)狀圖或列表分別算出它們的概率嗎？（2）擲一枚圖釘，有幾種結(jié)果?它們是等可能的嗎?（3）怎樣求這一事件的概率呢? 通過(guò)問(wèn)題的形式向?qū)W生明晰：（1）用樹(shù)狀圖或列表格的方法計(jì)算隨機(jī)事件的概率要求試驗(yàn)出現(xiàn)的各種結(jié)果是等可能的，并且試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果必須是有限個(gè) （2）圖釘落地有“朝天”和“傾斜”兩個(gè)可能結(jié)果，但這兩個(gè)可能的結(jié)果不是等可能的，也無(wú)法知道它們的可能性各是多少.（3）一個(gè)試驗(yàn)，雖然結(jié)果有有限個(gè)，但各

4、個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性不相等，也無(wú)法知道它們的可能性各是多少，所以不能用樹(shù)狀圖或列表格的方法計(jì)算隨機(jī)事件的概率只能用用試驗(yàn)的方法求出其頻率估計(jì)其概率. 因?yàn)槲覀冎溃寒?dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率，并可據(jù)此估計(jì)某一事件發(fā)生的概率 第二環(huán)節(jié)：小組活動(dòng)探究 活動(dòng)內(nèi)容1：從一定高度落下的圖釘，落地后可能釘尖著地，也可能釘帽著地你估計(jì)哪種事件發(fā)生的概率大?活動(dòng)目的：利用“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率”來(lái)估計(jì)某一隨機(jī)事件發(fā)生的概率 活動(dòng)方式：小組合作交流，全班匯總試驗(yàn)數(shù)據(jù)，交流研討 活動(dòng)工具：形狀、大小完全相同的圖釘 活動(dòng)步驟：1分組：每組4人2每組每人做20次試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，填寫(xiě)

5、下表的表格：試驗(yàn)結(jié)果釘尖著地釘帽著地頻數(shù)頻率3根據(jù)上表你認(rèn)為哪種情況的頻率較大? 4分別匯總本小組其中兩人、三人、四人、五人的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，相應(yīng)得到試驗(yàn)40次、60次、80次、100次時(shí)釘帽著地的頻率，填寫(xiě)下表，并繪制折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖試驗(yàn)次數(shù)406080100釘帽著地的頻數(shù)釘帽著地的頻率5匯總?cè)喔餍〗M其中一個(gè)組兩個(gè)組、三個(gè)組、四個(gè)組的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，相應(yīng)得到試驗(yàn)100次、200次、300次、400次時(shí)釘帽著地的頻率，并繪制折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖 6由折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖，估計(jì)釘帽著地的概率 7.將圖釘擲200次，每擲20次，統(tǒng)計(jì)一下兩個(gè)組同學(xué)“釘帽著地”這一結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)，并算出相應(yīng)的頻率，如下表將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(“釘帽著地”的頻率)

6、畫(huà)成折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖，看起來(lái)更直觀實(shí)數(shù)累計(jì)次數(shù)出現(xiàn)“頂帽著地”的次數(shù)出現(xiàn)“頂帽著地”的頻率20406080100120140160180200（用excel統(tǒng)計(jì)并繪制折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖）從圖中可發(fā)現(xiàn)，“頂帽著地”的頻率開(kāi)始“擺動(dòng)”得很厲害，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，這個(gè)頻率就開(kāi)始比較穩(wěn)定了。不同的試驗(yàn)情況（圖釘?shù)男吞?hào)、離地的高度等）可能會(huì)影響試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，因此可能在不同的地區(qū)、不同的學(xué)生，做這個(gè)試驗(yàn)會(huì)得到不同的“穩(wěn)定值”。筆者曾在教學(xué)活動(dòng)中完成這個(gè)過(guò)程，得到頻率在56.5左右擺動(dòng) 活動(dòng)效果及注意事項(xiàng)：1.注意學(xué)生的安全.2.圖釘必須從同一個(gè)高度自由落下，保證著地時(shí)的隨機(jī)性和試驗(yàn)的可重復(fù)操作性；組內(nèi)同學(xué)合作時(shí)要進(jìn)行適

7、當(dāng)?shù)姆止?；體現(xiàn)學(xué)生的自主性，試驗(yàn)活動(dòng)以及試驗(yàn)數(shù)據(jù)的匯總等都可以由學(xué)生白行組織完成；教師認(rèn)真評(píng)價(jià)學(xué)生合作交流的意識(shí)和能力，學(xué)生的思維水平，學(xué)生的動(dòng)手能力等)第三環(huán)節(jié)：閱讀拓寬活動(dòng)內(nèi)容：閱讀相關(guān)文章，做投針式驗(yàn).活動(dòng)目的：1.通過(guò)學(xué)讀使學(xué)生感受任何一個(gè)發(fā)現(xiàn)都凝聚著辛勤的勞動(dòng)和汗水，培養(yǎng)學(xué)生吃苦耐勞精神；給學(xué)生一定的拓展空間，讓學(xué)生體會(huì)到有些高深的數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的思想極其樸素，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣2. 利用“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率”，并據(jù)此估計(jì)針與平行線(xiàn)相交的概率活動(dòng)方式：小組交流，全班研討的方法 活動(dòng)過(guò)程：利用數(shù)學(xué)史上著名的投針試驗(yàn)引入問(wèn)題： 平面上畫(huà)著一些平行線(xiàn)，相鄰的兩條平

8、行線(xiàn)之間的距離為a，向此平面任投一長(zhǎng)度為l(l<a)的針，該針可能與其中某一條平行線(xiàn)相交，也可能與它們都不相交能通過(guò)列表或畫(huà)樹(shù)狀圖求出該針與平行線(xiàn)相交的概率嗎? 通過(guò)“圖釘試驗(yàn)”，學(xué)生可以初步得到，生 由于相交和不相交的可能性不相同，因此這個(gè)事件的概率也不能列表或畫(huà)樹(shù)狀圖求出該針與平行線(xiàn)相交的概率但可以利用試驗(yàn)，依據(jù)“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率”來(lái)估計(jì)該針與平行線(xiàn)相交的概率學(xué)生活動(dòng)，步驟如下： 1分組，三人一組（一人統(tǒng)計(jì)）2.取一張白紙，在上面畫(huà)一組平行線(xiàn)它們之間的距離為2厘米，另外準(zhǔn)備一根1厘米長(zhǎng)的針在紙下面墊一層柔軟的東西，使針落在紙面上時(shí)不會(huì)彈跳起來(lái) 通過(guò)試驗(yàn)，得到數(shù)

9、據(jù)后，請(qǐng)學(xué)生利用計(jì)算器計(jì)算試驗(yàn)總次數(shù)除以直線(xiàn)與平行線(xiàn)相交的次數(shù)，學(xué)生會(huì)將發(fā)現(xiàn)商好像是的一個(gè)近似值而且投擲次數(shù)越多，所得到的商與越接近有了這一感性認(rèn)識(shí)后，給學(xué)生提供一些關(guān)于該試驗(yàn)的歷史數(shù)據(jù)。請(qǐng)同學(xué)們打開(kāi)書(shū)閱讀“讀一讀”投針試驗(yàn)這篇短文介紹了關(guān)于投針試驗(yàn)的一些歷史資料，以及其概率與之間的關(guān)系，據(jù)此獲得一種估計(jì)的值的方法并將其引申為現(xiàn)在廣泛使用的蒙特卡洛方法，旨在給學(xué)生一定的拓展空間，讓學(xué)生體會(huì)到有些高深的數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的思想極其樸素，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣 如果班級(jí)學(xué)生整體情況比較好，可能會(huì)有學(xué)生提問(wèn)：“把總的次數(shù)(即相交的與不相交的次數(shù)之和)除以相交的次數(shù)，得到的商是圓周率的近似值，投擲次數(shù)越多

10、，得到的近似值越精確，為什么會(huì)這樣呢?” 教師可以有選擇性的講解以下內(nèi)容：（講解的方式不一定在課堂，不一定是面向全體同學(xué)，也可以?xún)H向有需要的學(xué)生提供以下的閱讀資料或“拓展資源”中的有關(guān)的投針試驗(yàn)的閱讀文章） 當(dāng)針與直線(xiàn)相交時(shí)，必有其上的某1毫米處相交而每1毫米最可能與直線(xiàn)相交的機(jī)會(huì)是相等的，它的次數(shù)應(yīng)為全針與直線(xiàn)相交的最可能次數(shù)k的如果針上某一段長(zhǎng)n毫米，那么這一段與直線(xiàn)最可能相交的次數(shù)應(yīng)為，即最可能的相交次數(shù)和針的長(zhǎng)度成正比 需要指出的是，這個(gè)最可能的相交次數(shù)只與針的長(zhǎng)度成正比，而與針的形狀無(wú)關(guān)例如，我們將10毫米的針彎成兩段，一段長(zhǎng)x毫米，另一段長(zhǎng)為(10-x)毫米，那么這兩段的最可能與直

11、線(xiàn)相交的次數(shù)分別為和.這樣，全針的最可能相交次數(shù)仍為k，即這個(gè)最可能相交次數(shù)與針的形狀無(wú)關(guān)當(dāng)然，將針的形狀彎成某種形狀后，有時(shí)可能在針的某兒處都和直線(xiàn)相交，這時(shí)應(yīng)把每一個(gè)交點(diǎn)都記作相交一次 現(xiàn)在將針彎曲成一個(gè)圓形假定這時(shí)的針的粗細(xì)仍是均勻的，且圓的直徑等于20毫米，那么每投一次圓環(huán)總能和直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)(正好和兩條直線(xiàn)相切也記作兩個(gè)交點(diǎn))投擲n次，相交次數(shù)為2n次對(duì)于10毫米的針，它的最可能相交次數(shù)是k次由于圓環(huán)的長(zhǎng)是·20毫米，等于針長(zhǎng)的2倍，所以圓環(huán)相交次數(shù)應(yīng)是針的最可能的相交次數(shù)的2倍，即2n=2·k， 由此可得=活動(dòng)效果及注意事項(xiàng)：學(xué)生好奇心強(qiáng),但是目的性不強(qiáng),教師注

12、意引導(dǎo)學(xué)生考慮試驗(yàn)的目的是什么,使試驗(yàn)處在探究的氛圍中.注意:1.每組學(xué)生都確定相同的l和a，保證試驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以匯總2.在試驗(yàn)過(guò)程中，有時(shí)針與線(xiàn)是否相交較難判斷，學(xué)生可能為此發(fā)生一些爭(zhēng)執(zhí)，教師可以適當(dāng)?shù)丶右灾笇?dǎo)，如建議學(xué)生忽略這次試驗(yàn)或者認(rèn)為相交、不相交各計(jì)半次，等等避免學(xué)生過(guò)多地停留于此. 3每組至少完成100次試驗(yàn)，分別記錄下其中相交和不相交的次數(shù) 4統(tǒng)計(jì)全班的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，估計(jì)針與平行線(xiàn)相交的概率 第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié) 這節(jié)課我們學(xué)會(huì)了用試驗(yàn)的方法估計(jì)一些復(fù)雜隨機(jī)事件發(fā)生的概率，并親自體驗(yàn)到了“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，試驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率，并可據(jù)此估計(jì)某一事件發(fā)生的概率”經(jīng)歷試驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)等活動(dòng)過(guò)程第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè) 1習(xí)題64 2繼續(xù)投針試驗(yàn)，加大投針試驗(yàn)次數(shù)估算的值 3.課外活動(dòng)與探究 隨便說(shuō)出3個(gè)正數(shù)，以這3個(gè)數(shù)為邊長(zhǎng)一定能?chē)梢粋€(gè)三角形嗎?一定能?chē)梢粋€(gè)鈍角三角形(其中最大邊的平方大于另兩邊的平方和)嗎?估計(jì)能?chē)梢粋€(gè)鈍角三角形的概率本題仍是利用試驗(yàn)的方法估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率，選擇該題材的原因是其概率與有關(guān)，并與“讀一讀”中內(nèi)容相呼應(yīng)具體操作時(shí)，可以幾個(gè)學(xué)生組成合作小組，每人寫(xiě)一個(gè)數(shù)在紙上，然后同時(shí)公布各自的數(shù)進(jìn)行判斷隨便說(shuō)出三個(gè)正數(shù)，以這三個(gè)正數(shù)為邊不一定能組成一個(gè)三角形，如不能以1，3，5三個(gè)數(shù)為邊長(zhǎng)組成三角形；當(dāng)然也不一定能組成一個(gè)鈍角三角形；能?chē)梢粋€(gè)鈍角