4-5排序不等式達標訓(xùn)練

1、精品資源3.3排序不等式更上一層樓基礎(chǔ)鞏固1 .如下圖所示，矩形OPA曲，ai<a2, bi<b2,則陰影部分的矩形的面積之和 空白 部分的矩形的面積之和.歡迎下載思路分析：這可沿圖中線段MN向上翻折比較即知.當(dāng)然由圖我們可知，陰影面積=aibi+a2b2,而空白面積=aib2+a2bi.根據(jù)順序和A反序和可知答案.答案：>2 .設(shè)a、b c為某一三角形三邊長，求證：a2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b- c) < 3abc.思路分析：運用排序原理，關(guān)鍵是弄出有序數(shù)組，通常從函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)去尋找，如f(x)=x，、i ，、，在R單倜遞增，f(x)=在

2、R+單倜遞減.x證明：不妨設(shè) a>b>c,易證 a(b+c- a) < b(c+a -b) <c(a+b -c).由排序原理得 a2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)< a - b(c+a - b)+b - c(a+b - c)+c - a(b+c -a)=3abc.3 .對 a,b,c C R,比較 a3+b3+c3 與 a2b+b2c+c2a 的大小.思路分析：將式子理解為積的形式a2 a+b2 b+c2 c,a 2b+b2c+c2a,再依大小關(guān)系可求解.解：取兩組數(shù) a,b,c ; a2,b2,c2.不論a,b,c的大小順序如何，a3

3、+b3+c3都是順序和，a2b+b2c+c2a都是亂序和；故由排序原理可得 a3+b3+c3 > a 2b+b2c+c2a.4.求證：正實數(shù)ai,a 2,a n的任一排列為 a/ ,a 2Zan史.曳嵬泊.aia2an思路分析：本題考查如何將和的形式構(gòu)造為積的形式，本題關(guān)鍵是將n理解為n個i相加，而把i理解為x 1的形式.這種方法有普遍的應(yīng)用，應(yīng)該加以重視.x證明：取兩組數(shù) ai,a2,an； , , ,.aia2an其反序和為ai+a2+an=n,原不等式的左邊為亂序和，有 ai+a2 +an>n.ai a2 ana a? ani2人 i2i25.已知 a,b,c eR+,求證:

4、abcio . io io+ >a +b +c .bccaab思路分析：可以發(fā)現(xiàn)左右兩邊的次數(shù)相等，因此，應(yīng)該進行適當(dāng)?shù)钠礈?，使其成為積的形式、r ，、1證明：不妨設(shè)a>b>c>0,則bc11 一 12. 1212 c> 之 >0 且 a >b >c >0,ca ab12. 1212則i Jbccaab12. 12a b>十a(chǎn)b bc12c十a(chǎn)b11ab1111 c 十 111111a b c 10 , 1010_ =a +b +ca b c6.設(shè) a1,a 2,，an是 1,2,n的一個排列，求證:12 n -1aa?an_Jn_&

5、#163;2 3na2a3an思路分析：在證明不等式時，要掌握對數(shù)字的一個變形，合理構(gòu)造，才會使題迎刃而解 證明：設(shè) b1,b 2,b n-1 是 a1,a 2,a n-1 的一個排列，且 b1<b2< - <bn-1.c1,c 2,，c n-1 是 a2,a 3, ,a n 的一個排歹U ,且 c1<c2< - <cn-1 ,El 111 r則一 > >>，且 b1 > 1,b 2> 2, , ,b n-1 >n -1 ; c1< 2,c 2< 3, ,c n-1 < n.Gc2cn1利用排序不等式有:

6、曳包.1 2心a2a3an g c2cn23 n7.設(shè)a, b, c都是正數(shù)，求證:(1) ( a)2+(b)2>- + b； b a b a(2)(3)1+1+1w a b c3, 3 3a b c還要運用不等思路分析：本題(2)的關(guān)鍵是如何對常數(shù)進行處理 .這里除了要用到構(gòu)造法, 式的可加性.證明：由題設(shè)不妨設(shè) a>b>c>0.(1)由不等式的單調(diào)性知2211-a ba >b ,> 一,于是 > .由排序原理:b a b a2.1, 2/2/, 2),a 1 b 1 a 1 b 1a 2 b 2 a b乂一十 乂一 £ x一十 X 艮(

7、) +(一) 共一+一.bbaabaab'b a b a111(2)由不等式的單調(diào)性知之之且a>b>c>0,由排序原理:b c c a a ba b c b c ab c c a a b b c c a a b'a b c cab一 ?b c c a c b b c c-aa b兩式相加得所證不等式成立因而1 一 一 >.根據(jù)不等式的單調(diào)性知 a3b3 111(3)由不等式的單調(diào)性知->->-,c b aa5>b5>c5,由排序不等式得5. 555. 552.22a b c a b c a b c,3 33 33, 3 二 333

8、, 3,33= 33, 3 .b c c a a b c a a b b c c a b又由不等式的單調(diào)性知22-2a >b >c根據(jù)排序原理:b2b2b3由不等式的傳遞性可知5558881 11 a b c a b c+ _ - _ - -一，333 33, 33, 33a b c b c c a a b a b c綜合應(yīng)用8.設(shè)a, b, c都是正數(shù)，求證:(1)bc ca ab十 + > a+b+c ;a b c(2)4-1 aa+b+cwabc(3) an(a 2-bc)+b n(b 2-ac)+c n(c 2- ab) >0 ( n 是任意正數(shù))思路分析：證明

9、不等式的常用方法有： 比較法、放縮法、變量代換法、 構(gòu)造函數(shù)方法等.當(dāng)然在證題過程中，常可“由因?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因” 合法，后者稱為分析法.綜合法和分析法是解決一切數(shù)學(xué)問題的常用策略,反證法、數(shù)學(xué)歸納法、.前者我們稱之為綜分析問題時，我們往往用分析法，而整理結(jié)果時多用綜合法， 這兩者并非證明不等式的特有方法， 只是在不等 式證明中使用得更為突出而已 .此外，具體地證明一個不等式時，可能交替使用多種方法.證明：由題設(shè)不妨設(shè) a>b>c>0.111, . (1)由不等式的單倜性知ab>ac>bc,由排序原理：cbaabx 1+acx 1+bcx 1 >abx+a

10、cx 工+bcx 1,即所證不等式成立.c b ab a c(2)由不等式單調(diào)性知a2>b2>c2, ab>ac>bc,又由排序原理：a2bc+ab2c+abc2<a3c+b3a+c3b.又由不等式單調(diào)性知 a3>b3>c3,且a>b>c,再由排序原理：a3c+b3a+c3b< a 4+b4+c4.由上述兩式及不等式的傳遞性可得a2bc+ab2c+abc2Wa 4+b4+c4.兩邊同除以abc可得，需證不等式成立.(3)只需證 an+2+bn+2+cn+2>a nbc+bnca+cnab. CD由不等式的單調(diào)性知 an+1>

11、;bn+1>cn+1,又a>b>c.由排序原理得門+2+6門+2+ n+2 > n+1b + b0+1 + 門十1又由不等式的單調(diào)性知 ab>ac>bc, ann>cn.由排序原理得an+1 b+bn+1c+cn+1a > a n bc+bnca+c nab.根據(jù)不等式的傳遞性可知成立.9 .設(shè)ai, a2,，an都是正數(shù),bi,b2,，9是ai,a2,，an的任一排列.求證:(1) aibi-1+a2b2 1+ -+anbn-1 Rn；(2) aip+q+a2p+q+anp+q>aipbiq+a2pb2q+anpbnq ( p,q 為正數(shù)

12、)；(3) HKGKA,其中 H G A分別為a, a2,，an的調(diào)和平均、幾何平均及算術(shù)平均 思路分析：運用排序原理解題的核心問題是找出相應(yīng)的兩組數(shù)證明：不妨設(shè) ai >a 2>- - >a n>0.(1)由不等式的單調(diào)性anAn-l'2J,由排序原理得aibi-1 +a2b2 1 + +anbn-1 >a iai-1 +a2a2-1 + +anan-1 >n;(2)由題設(shè)aipRa 2PA Ra np,a>22、nq.由排序原理得；(3)令 ti = aa2_aL (i=1 , 2,，n),貝U tn=1.Gi從而正數(shù)序列ti, t2,，t

13、n及1,，對應(yīng)兩項大小次序正好相反，由排序原理 tit2tn得n=t 1 , +t 2 , + , , +t n, < t 1 , +t 2 , +, ,+t n ,-,tit2tntn titn_1即nW曳+'+包= ai+a2'an ,從而gka.G G GG另一方面n=ti - 1+t2.+- +tn <ti +t2 +-+ +tn - tit2tnt2 t3 tn dtnti即 nW + + + = G (+ + ),從而 G>>H.a2 a3an a1 a a2an回顧展望10 .設(shè)a,b,c是正實數(shù)，求證：a力caabbcc>(abc)3 .思路分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故可嘗試用商較法，此時在證明對稱不等式時，不妨假定n個字母的大小順序，可方便解題.當(dāng)然亦可用排序原理等方法.事實上，本題ai 'a2 " "an可作如下推廣：若ai>0(i=1,2,n),則aiaa2a2anan >(aaan)n .證明：不妨設(shè) a>b>c>0,則 lga >lgb >lgc.據(jù)排序不等式有：alga