函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題專題復(fù)習(xí)

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題專題復(fù)習(xí)一、函數(shù)與數(shù)列1、已知函數(shù)f(x)=x3x2+ + , 且存有x0(0, ) ,使f(x0)=x0. （2）證明：xn<xn+1<x0<yn+1<yn; （3）證明： < . 2已知數(shù)列的首項，（1）求的通項公式；（2）證明：對任意的，；（3）證明：3、函數(shù)，數(shù)列和滿足：，函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為 （1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的項中僅最小,求的取值范圍；（3）若函數(shù)，令函數(shù)數(shù)列滿足：且其中證明：. （本小題滿分14分）解：（1） ， 得 是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，故 3分（2） ， 在點(diǎn)處的切線方程為令得僅當(dāng)時取

2、得最小值， 的取值范圍為 6分（3） 所以 又因 則 顯然 8分 12分 14分二、參數(shù)的范圍問題1、已知函數(shù) 為常數(shù)，（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程； （2）當(dāng)在處取得極值時，若關(guān)于的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；（3）若對任意的，總存有，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍。解 時，于是，又，即切點(diǎn)為（切線方程為5分（2），即，此時，上減，上增，又10分（3），即（在上增，只須12分（法一）設(shè)又在1的右側(cè)需先增，設(shè)，對稱軸又，在上，即在上單調(diào)遞增，即，于是15分（法二）設(shè)，設(shè)，在上增，又，即，在上增又2、已知函數(shù)（）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）當(dāng)時，若在區(qū)間上的最小值

3、為-2，求的取值范圍； （）若對任意，且恒成立，求的取值范圍.當(dāng)，即時，在1，e上單調(diào)遞增，所以在1，e上的最小值是；當(dāng)時，在1，e上的最小值是，不合題意；當(dāng)時，在（1，e）上單調(diào)遞減，所以在1，e上的最小值是，不合題意9分（）設(shè)，則，只要在上單調(diào)遞增即可.10分而當(dāng)時，此時在上單調(diào)遞增；11分當(dāng)時，只需在上恒成立，因為，只要，則需要，12分對于函數(shù)，過定點(diǎn)（0，1），對稱軸，只需，即. 綜上. 已知函數(shù)3若函數(shù)h（x）滿足（1）h（0）=1，h（1）=0；（2）對任意，有h（h（a）=a；（3）在（0,1）上單調(diào)遞減。則稱h（x）為補(bǔ)函數(shù)。已知函數(shù)。（1）判斷函數(shù)h（x）是否為補(bǔ)函數(shù)，并證明

4、你的結(jié)論；（2）若存有，使得h（m）=m，若m是函數(shù)h（x）的中介元，記時h（x）的中介元為xn，且，若對任意的，都有sn< ,求的取值范圍；（3）當(dāng)=0，時，函數(shù)y= h（x）的圖像總在直線y=1-x的上方，求p的取值范圍?！窘馕觥?4設(shè)函數(shù) （i）若的極值點(diǎn)，求實數(shù)； （ii）求實數(shù)的取值范圍，使得對任意的，恒有成立，注：為自然對數(shù)的底數(shù)。 （i）解：求導(dǎo)得因為的極值點(diǎn)，所以解得經(jīng)檢驗，符合題意，所以（ii）解：當(dāng)時，對于任意的實數(shù)a，恒有成立；當(dāng)時，由題意，首先有，解得，由（i）知令且又內(nèi)單調(diào)遞增所以函數(shù)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為從而，當(dāng)時，當(dāng)當(dāng)時，即內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單

5、調(diào)遞增。所以要使恒成立，只要成立。由，知（3）將（3）代入（1）得又，注意到函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，故。再由（3）以及函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，可得由（2）解得，所以綜上，a的取值范圍是5、已知求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間若不等式對任意正整數(shù)恒成立,求實數(shù)的最大值.6、已知函數(shù)滿足滿足；（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的最大值?！窘馕觥浚?） 令得： 得： 在上單調(diào)遞增 得：的解析式為 且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 （2）得 當(dāng)時，在上單調(diào)遞增 時，與矛盾 當(dāng)時， 得：當(dāng)時， 令；則 當(dāng)時， 當(dāng)時，的最大值為7、定義對于函數(shù)f(x)，xm，若f(x)<f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)為m上的t函數(shù)。（1）

6、證明f(x)=exlnx為其定義域上的t函數(shù)。（2）若f（x）是r上的t函數(shù)，a為實數(shù)，比較f（a）與eaf(0)的大小。（3）若f（x）是r上的t函數(shù)，求證對于定義域內(nèi)的任意函數(shù)x1,x2,xn，均有f（ln(x1+x2+xn)）>f(lnx1)+f(lnx2)+f(lnxn)。8.（i）已知函數(shù)f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中r為有理數(shù)，且0<r<1.求f（x）的最小值；（ii）試用（i）的結(jié)果證明如下命題：設(shè)a10，a20，b1，b2為正有理數(shù)，若b1+b2=1，則a1b1a2b2a1b1+a2b2；（iii）請將（ii）中的命題推廣到一般形式，并

7、用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題。注：當(dāng)為正有理數(shù)時，有求道公式(x）r=x-1三、導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)1、設(shè)函數(shù)，。（）討論的單調(diào)性；（）設(shè)，求的取值范圍。2、已知f(x)=asinx-x+b(a,b為正常數(shù))（1）求證f(x)在（0，a+b內(nèi)至少有一個零點(diǎn)；（2）設(shè)f(x)在x=處有極值；對任意的x0, ，不等式f(x)>sinx+cosx總成立，求b的范圍。若f(x)在（）上單調(diào)遞增，求m的取值范圍。3、設(shè)函數(shù).（）證明,其中為k為整數(shù)；（）設(shè)為的一個極值點(diǎn)，證明；（）設(shè)在(0,+)內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列,證明解：（）證明：由函數(shù)的定義，對任意整數(shù)，有（）證明：函數(shù)在定義域上可

8、導(dǎo)， 令，得顯然，對于滿足上述方程的有，上述方程化簡為此方程一定有解的極值點(diǎn)一定滿足由，得所以，（）證明：設(shè)是的任意正實數(shù)根，即，則存有一個非負(fù)整數(shù)，使的符號為奇數(shù)0為偶數(shù)0，即在第二或第四象限內(nèi)由式，在第二或第四象限中的符號可列表如下：所以滿足的正根都為的極值點(diǎn)由題設(shè)條件，為方程的全部正實數(shù)根且滿足，那么對于， 因為 ，則，因為，由式知由此可知必在第二象限，即 綜上，四、構(gòu)造函數(shù)1、已知其中求證：對任意當(dāng)時，均有。2、已知函數(shù)，證明：對任意正數(shù)，當(dāng)時，3、(1)設(shè)正實數(shù)x,y滿足xy=1,求證：;(2)設(shè)x,y是正實數(shù)，且xy=t(t為常數(shù)，且t1)，求證;（3）設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足xyz

9、=1，求的最小值，并證明之。五、切線的應(yīng)用1、設(shè)函數(shù)y=f(x)對任意的實數(shù)x，都有f(x)=2f(x+1),當(dāng)x0,1時，f(x)= （1）已知n是正整數(shù)，當(dāng)xn,n+1時，求f(x)的解析式；(2)已知n是正整數(shù)，求證：當(dāng)xn,n+1時，都有|f(x)；（3）在y=f(x)（x>0）的圖象是否存有點(diǎn)p，使得過點(diǎn)p的切線與直線x+y=1平行，若存有，那么這樣的點(diǎn)有幾個，若不存有，請說明理由。2、已知函數(shù)f(x)=e2x-2ax2+2e2x(1)若f(x)在1，2上是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)設(shè)曲線y=f(x)在p(1,f(1)處的切線為l，試問是否存有正實數(shù)a，使得y=f(x)的圖

10、象被p分割成的兩部分完全位于l的兩側(cè)，若存有，請求出a滿足的條件，若不存有，請說明理由。3.已知函數(shù)=，其中a0.（1） 若對一切xr，1恒成立，求a的取值集合.（2）在函數(shù)的圖像上取定兩點(diǎn)，記直線ab的斜率為k，問：是否存有x0（x1，x2），使成立？若存有，求的取值范圍；若不存有，請說明理由.【解析】（）若，則對一切，這與題設(shè)矛盾，又，故.而令當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值于是對一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) . 令則當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.故當(dāng)時，取最大值.所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，式成立.綜上所述，的取值集合為.（）由題意知，令則令，則.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即從而，又所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)持續(xù)的一條曲線，所以存有使單調(diào)遞增，故這樣的是唯一的，且.故當(dāng)且僅當(dāng)時， .綜上所述，存有使