多元函數(shù)的全微分、方向?qū)?shù)

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程腳本編寫：彭亞新課件制作：彭亞新 第一章 多元函數(shù)微分學(xué)第四第四節(jié)節(jié) 全微分、方向?qū)?shù)全微分、方向?qū)?shù)正確理解多元函數(shù)的全微分、偏微分的概念。正確理解多元函數(shù)的全微分、偏微分的概念。了解二元函數(shù)全微分的幾何意義。了解二元函數(shù)全微分的幾何意義。正確理解方向?qū)?shù)的概念。正確理解方向?qū)?shù)的概念。熟練掌握全微分及方向?qū)?shù)的計(jì)算方法。熟練掌握全微分及方向?qū)?shù)的計(jì)算方法。了解梯度的概念和計(jì)算方法。了解梯度的概念和計(jì)算方法。本節(jié)教學(xué)要求：本節(jié)教學(xué)要求： 全微分全微分 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 梯度梯度 函數(shù)可微與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)可微與連續(xù)性的關(guān)系 函數(shù)可微的必要條件、充分條件函數(shù)可微的必

2、要條件、充分條件請(qǐng)點(diǎn)擊請(qǐng)點(diǎn)擊第四、八節(jié)全微分、方向?qū)?shù)第四、八節(jié)全微分、方向?qū)?shù)一一. 全微分全微分二元函數(shù)全微分的定義二元函數(shù)全微分的定義可微與連續(xù)的關(guān)系可微與連續(xù)的關(guān)系可微與可導(dǎo)的關(guān)系可微與可導(dǎo)的關(guān)系二元函數(shù)可微的充分條件二元函數(shù)可微的充分條件二二. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)的計(jì)算公式方向?qū)?shù)的計(jì)算公式三三.梯梯 度度 我們以二元函數(shù)為主進(jìn)行講解我們以二元函數(shù)為主進(jìn)行講解, , 所得結(jié)論所得結(jié)論可容易地推廣至三元和三元以上的函數(shù)中可容易地推廣至三元和三元以上的函數(shù)中. .一一. .全微分全微分 , 0使得使得有關(guān)的實(shí)數(shù)有關(guān)的實(shí)數(shù)若存在僅與若存在僅與Ax)o( xxAy)( , )( 0 x

3、fxAxxf為函數(shù)為函數(shù)處可微處可微在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)且記為處的微分在點(diǎn) , 0 xxxxxfyd , d)(d可微可導(dǎo)運(yùn)用多元函數(shù)的全增量概念,將一元函數(shù)的微分概念推廣到多元函數(shù)中.一元函數(shù)的增量多元函數(shù)的全增量)U(00XXX時(shí), 若函數(shù)在點(diǎn) X0 處的全增量可則稱函數(shù)在點(diǎn) X0 處可微, xazyb)o(22yxzdybxa設(shè)函數(shù))(Xfz 在點(diǎn)),(000yxX 的某一鄰域稱為函數(shù)在點(diǎn) X0 處的全微分, 其中, a , b 是與X)U(0X內(nèi)有定義, 當(dāng)0X獲得增量, ),(yxX且表示為 0有關(guān)的常數(shù).無關(guān),僅與 X0)(lim2200yxybxazyx0| )(|lim 0

4、0Xybxazyx或或22yx|X其中其中全微分概念的極限形式如果函數(shù))(Xf在區(qū)域 中的 每一點(diǎn)均可微, 則稱函數(shù)在區(qū)域 上可微 .可微連續(xù)可導(dǎo)? 在多元函數(shù)中, 三者的關(guān)系如何？連續(xù)：連續(xù)：0lim00zyx可微與連續(xù)的關(guān)系可微與連續(xù)的關(guān)系( (可微的必要條件可微的必要條件) )可微：可微：xazyb)o(22yx什么關(guān)系什么關(guān)系?函數(shù))(Xf在點(diǎn) X0 處可微,則必在點(diǎn) X0 處連續(xù) .可微與連續(xù)的關(guān)系可微與連續(xù)的關(guān)系( (可微的必要條件可微的必要條件) )可微連續(xù)可導(dǎo)?在多元函數(shù)中在多元函數(shù)中, , 可微可微連續(xù)連續(xù)可微：可微：xazyb)o(22yx則其兩個(gè)則其兩個(gè)處可微處可微在點(diǎn)在

5、點(diǎn)若若 , ),( ),( yxPyxfz , , 且且均存在均存在偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)yzxz . d d dyyzxxzz定理定理可微與可導(dǎo)的關(guān)系可微與可導(dǎo)的關(guān)系( (可微的必要條件可微的必要條件) )若函數(shù)可微若函數(shù)可微, , 則則)o(22yxybxaz , 0 , , 則則取取的任意性的任意性由由yyx) | o(xxazzxaxxxaxzxxx|)o(|limlim00即即, axz同理同理, , 取取 , , 0byzx得得 . )d ,d( , d d d yyxxyyzxxzz故故證可微連續(xù)可導(dǎo)在多元函數(shù)中在多元函數(shù)中, , 可微可微可偏導(dǎo)可偏導(dǎo)可微連續(xù)可導(dǎo)在多元函數(shù)中在多元函數(shù)中,

6、 , 可微可微可偏導(dǎo)可偏導(dǎo)在多元函數(shù)中在多元函數(shù)中, ,可偏導(dǎo)可偏導(dǎo)可微可微?),( yxf函數(shù)函數(shù)0 2222yxyxxy0 0 22 yx 例例在點(diǎn)在點(diǎn) (0, 0) 處連續(xù)處連續(xù), , 且有有界的偏導(dǎo)數(shù)且有有界的偏導(dǎo)數(shù), , 但不可微但不可微. . 該例留給學(xué)生課后研討 參考書：高等數(shù)學(xué)中的反例 朱 勇等編 華中工學(xué)院出版社 1986年 p 120130定理定理 . , ),U( ),( 00可偏導(dǎo)可偏導(dǎo)內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)設(shè)yxyxfz ),( , ),( z , z 00在在則函數(shù)則函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)若若yxfyxyx . ),( 00處可微處可微點(diǎn)點(diǎn)yx二元函數(shù)可微的充分條

7、件二元函數(shù)可微的充分條件利用微分中值定理利用微分中值定理)(,(),(),(0100 xxyfyxfyxfx , )(,(020yyxfyyyyxfxxyxfz ),( ),(0000 . )o(22yx由偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性由偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性 , ),( ),(lim00100 xyxfxyfyyxx要證明函數(shù)要證明函數(shù) f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可微處可微, , 即要證即要證),(00yx故故同理同理 , ),( ),(0020yyxfyxf證 , ),( ),(001xyxfxyf其中其中,為該極限過程中的無窮小量為該極限過程中的無窮小量. .從而從而, , 函數(shù)的全增量函數(shù)的全增量y

8、yyxfxxyxfz ),( ),(0000 , )(yx又又22 0yxyx , 0| , )o(22yx即函數(shù)即函數(shù) f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可微處可微. . ),(00yx故由夾逼定理故由夾逼定理, ,得得yyyxfxxyxfz ),( ),(0000逆命題?可 微連續(xù)可導(dǎo)連 續(xù)可 導(dǎo)連續(xù)可導(dǎo)Ok如果函數(shù))(Xfz 在區(qū)域中具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)xz和yz, 則稱函數(shù). )()(1CXf)(Xf為區(qū)域1C中的類函數(shù) , 記為當(dāng)不強(qiáng)調(diào)區(qū)域時(shí), 記為.)(1CXf , )( ),( 則處可微在點(diǎn)設(shè)函數(shù)XXgXf)(d)(d)()(d(XgXfXgXf)( )(d)(d(RXfXf)(d)

9、()(d)()()(d(XgXfXfXgXgXf0)( ( )()(d)()(d)()()(d2XgXgXgXfXfXgXgXf . , ? 22求其全微分求其全微分若可微若可微是否可微是否可微函數(shù)函數(shù)yyxz, 2 , 2 22中連續(xù)中連續(xù)在在易知易知Ryxyzyxxz . 222中可微中可微在在故函數(shù)故函數(shù)Ryyxzyyzxxzzdddyyxxxyd)2(d22 例例解解.d , )1 , 2, 2(uxuzy求求設(shè)設(shè)zzuyyuxxuudddd)1 , 2, 2()1 , 2, 2()(zyxxxu4)1 , 2, 2(1zyzxy 將將 y, z 看成常數(shù)看成常數(shù): : . , zwy

10、wxu 將將 x , z 看成常數(shù)看成常數(shù): : . , zwywxu)1 , 2, 2()1 , 2, 2()(zyxyyu)1 , 2, 2(1lnzyyzxxz2ln4 例例解解 將將 x , y 看成常數(shù)看成常數(shù): : . , zwywxu)1 , 2, 2()1 , 2, 2()(zyxzzu)1 , 2, 2(lnlnyyxxzyz2ln82故故zyxud2ln8d2ln4d4d2)1 , 2, 2(回頭看全微分公式zzzyxdddyyzxxzzd . d的偏微分稱為函數(shù)關(guān)于 xxxzzx . d的偏微分稱為函數(shù)關(guān)于 yyyzzy這與物理中的疊加原理相符.回憶一元函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)回憶

11、一元函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù): :ABCxxxxfxxfxfx)()(lim)(0 :0 x|AC| |)(| xxxx|AC|(A)(C)lim0ffx (C)( fxxf (A)( fxfx二二. .方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)xOyz.P0Pl0l.中中 3R)(Xfz |PP|)(P(P)lim 00PP0ff: )(0方向的導(dǎo)數(shù)方向的導(dǎo)數(shù)沿沿lXf中 3R方向?qū)?shù)的定義 設(shè)函數(shù))(Xfu 在)U(0X內(nèi)有定義.若點(diǎn) )U(0XX 沿射線 l 趨于0X時(shí), 極限|)()(lim000XXXfXfXXl 方向的方向?qū)?shù). 記為存在, 則稱該極限值為函數(shù))(Xf在點(diǎn)0X處沿|)()(lim 0000XXXfXf

12、lzXXXX. )( 0Xfl或比較方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的概念在方向?qū)?shù)中, 分母0. |0 XX在偏導(dǎo)數(shù)中, 分母可正、可負(fù).yx ,即使 l 的方向與 x 軸 , y 軸的正方向一致時(shí),方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)也是兩個(gè)不同的概念.單向雙向 利用直線方程可將方向?qū)?shù)的定義表示為:射線 l 的方程:則故,0etXXtzzyyxxcoscoscos000,cos0txx,cos0tyycos0tzz. )cos ,cos ,(cose怎么計(jì)算方向?qū)?shù)？0XXl0l),(0000zyxX),(zyxX|cos00XXxx|cos00XXyy|cos00XXzz|)o(|)()(00XXzzuyyuxxuXfX

13、f中的情形看空間 3R 假定假定 u=f(X) 可微可微|)()(lim 0000XXXfXfluXXXX| | lim000XXyyuXXxxuXX|)o(| 000XXXXXXzzucos cos cos zuyuxu若函數(shù)),(zyxfu 在點(diǎn)),(000zyx處可微,則函數(shù))(Xf在點(diǎn)),(000zyx處沿任一方向)cos,cos,(cos0l的方向?qū)?shù)存在, 且lu其中, 各偏導(dǎo)數(shù)均為在點(diǎn)),(000zyx處的值.cosxucosyucoszu方向?qū)?shù)的計(jì)算公式定理定理處求函數(shù)在點(diǎn)設(shè))2, 2 , 1 ( , Pxyzu. 22 的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)沿方向沿方向kjil; 4 PPy

14、zxu; 2 PPxzyu, 2 PPxyzu,31cos,32cos.32cos3432232)2(31)4( Plu3221 |222l 例例解解由點(diǎn)),P(yx到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離定義的函數(shù)22yxz在坐標(biāo)原點(diǎn)處向?qū)?shù)值都等于 1:10lim 222200yxyxlzyx的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在, 但它在該點(diǎn)沿任何方向的方向?qū)?shù)均存在, 且方此例說明: 1. 方向?qū)?shù)存在時(shí), 偏導(dǎo)數(shù)不一定存在. 2.可微是方向?qū)?shù)存在的充分條件, 而不是 必要條件. 例例算公式再回頭看方向?qū)?shù)的計(jì)cos cos cos zuyuxulu)cos ,cos ,(cos 0l其中則若引進(jìn)向量 , , , radg

15、zuyuxuu0 da rg lulu . da rg 0上的投影在是即lulu , , radg zuyuxuu向量向量只與函數(shù)在點(diǎn)只與函數(shù)在點(diǎn) X0 處的偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)處的偏導(dǎo)數(shù)有關(guān). .0 darg lulu) , da rcos(g| da rg| 00lulu) , da rcos(g| da rg| 0luu1一個(gè)問題：該問題僅在zuyuxu,不同時(shí)為零才有意義.),()(zyxfXfu在給定點(diǎn)0X處沿什么方向增加得最快?可微函數(shù) . 0的的最最大大值值處處該該問問題題即即求求在在點(diǎn)點(diǎn)luX: ) , da rcos(g| da rg| 0可知可知由由luulu, , 1) , da rcos(g 0取最大值取最大值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)lulu. , darg 0取最大值取最大值的方向重合時(shí)的方向重合時(shí)與與即當(dāng)即當(dāng)luul00| da rg| maxXXulu現(xiàn)在正式給出的定義grad u且且設(shè),3R, )()(1CXfu,0X則稱向量為函數(shù))(Xf在點(diǎn)0X處的梯度, 記為)(grad0Xf或。)(0XfixXf)(0jyXf)(0kzXf)(0三三. .梯梯 度度 梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)值的方向一致, 而梯度的模就是函數(shù)在該點(diǎn)的方向?qū)?shù)的最大值. 以上結(jié)論可以推廣到二元和三元以上的函數(shù)中.在2R中l(wèi)ucosxucosyu在nR中l(wèi)u11cosxun