第二章 分岔與奇怪吸引子

1、第二章 分岔與奇怪吸引子第一節(jié) 第一節(jié)      簡單數(shù)學分岔分岔的本義是一種力學狀態(tài)在臨界點處發(fā)生的轉變、分開或一分為二。分岔是一種非常普遍的自然現(xiàn)象。一根受力作用的彈性壓桿可以形象地演示出一類分岔現(xiàn)象。常識告訴我們，在力P的作用下，如圖2-1a所示，當壓力超過彈性壓桿的臨界負荷后，桿會出現(xiàn)彎曲，這時擾度s為壓力P的函數(shù)。在以Ps為坐標的平面上，如圖2-1b所示，當壓力P時，桿的唯一平衡狀態(tài)是保持直線；當壓力P時，桿的平衡狀態(tài)就轉變成三種：保持直線（OC方向）、偏向或方向，因此是這個力學體系不同平衡狀態(tài)的分岔點。然而三種平衡狀態(tài)有穩(wěn)定的與不穩(wěn)

2、定的之分。其中保持直線狀態(tài)是不穩(wěn)定的，稍有擾動，平衡狀態(tài)便會偏向或狀態(tài)。另兩種平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，在這兩種狀態(tài)中，擾度s隨壓力P的增加而沿曲線OA或OB增加。 圖2-1 一根彈性壓桿的分岔 在數(shù)學上，分岔就是研究非線性微分方程當某一參數(shù)變化時，其解發(fā)生突變的臨界點附近的行為。當上述現(xiàn)象用數(shù)學方程來描述時，力學現(xiàn)象的分岔就成為數(shù)學分岔。由于許多重要的物理現(xiàn)象在數(shù)學上都可以某類微分方程來描述，因此數(shù)學分岔在分析復雜的非線性動力學中具有重要意義。上一章我們在展示單擺運動中看到，當驅動力F增加到某臨界值后它由規(guī)則運動進入到隨機運動狀態(tài)。它是通過怎樣的路逕進入混沌的？顯然僅對幾個特殊參

3、數(shù)采用數(shù)值計算還無法講清這樣的問題。為了更具體地掌握一個非線性系統(tǒng)如何從規(guī)則運動進入混沌，必需對臨界值附近所發(fā)生的現(xiàn)象作更細致更深入的研究。上一章我們在分析杜芬方程的解時知道，方程的解在參數(shù)處發(fā)生了所謂叉式分岔，一個在時的穩(wěn)定解在時分裂為兩個穩(wěn)定解與一個不穩(wěn)定解。不同的非線性方程應有不同的突變行為，它們有那些類型呢？本節(jié)就是從力學系統(tǒng)的幾個簡單數(shù)學模型討論幾種常見的典型數(shù)學分岔。1 切分岔產生切分岔的微分方程形式： (2-1-1)式中為控制參數(shù)。由得式(2-1-1)的平衡點為： (2-1-2)解(2-1-2)說明，當0時不存在奇點，而當0時出現(xiàn)兩個奇點，如圖2-2所示。然而0時的兩個奇點的穩(wěn)定

4、性是不同的，其中是穩(wěn)定的，而是不穩(wěn)定的。 圖2-2 切分岔 為了討論切分岔的兩個解的穩(wěn)定性，我們在的附近取一點，它與的距離為，由式(2-1-1)得：將解式(2-1-2)代入并忽略高階小量有：于是得解： (2-1-3)因此，對于解，當時有，說明此解是穩(wěn)定的，它是穩(wěn)定的結點。對于解，當時有，因此它是不穩(wěn)定的，它是鞍點。由此可見切分岔是一個鞍結分岔。為了說明分岔點附近的分岔情況，如圖2-3給出了0、= 0與0時與軸相垂直的x平面中相軌線的走動方向，穩(wěn)定的解是圖中的A支，不穩(wěn)定的是圖中的B支。A與B兩支構成了0時鞍點與結點附近的相軌線。 圖2-3 切分岔中的相軌線

5、0;2 轉換鍵型分岔這種分岔屬于穩(wěn)定性轉變的分岔，它是由下式產生的。 (2-1-4)由給出方程(2-1-4)的奇點為： (2-1-5)當式(2-1-4)的右邊取負號時分岔圖形如圖2-4所示。采用與分析切分岔解的穩(wěn)定性同樣的方法，經分析可知，如0它的平衡點是穩(wěn)定的，而它的平衡點是不穩(wěn)定的；如0它的平衡點是不穩(wěn)定的，而平衡點( ? )是穩(wěn)定的；其分岔點為(,)(0,0)。對式(2-1-4)右邊取正號的情況只要將上述的討論推廣即可。圖2-5給出了與軸相垂直的x平面中相軌線的流動方向。由圖可見，不管是0還是0，都是一對鞍結點。但在0時，的軸線是結點，不穩(wěn)定的A支是；而在> 0( ? )時，的軸線

6、是不穩(wěn)定的A支，結點為( ? )支。圖2-4 轉換鍵型分岔 圖2-5 轉換鍵型x平面中的的相軌線 3 叉式分岔 有一微分方程： (2-1-6)為控制參數(shù)。由得三個平衡點： (2-1-7)當0時，只有平衡點0，采用切分岔解穩(wěn)定性分析方法可知它是穩(wěn)定的。當0時則有三個平衡點，其中0是不穩(wěn)定的，而的兩個解都是穩(wěn)定的。因此其分岔圖形象一把叉子，如圖2-6所示。在上一章的杜芬方程(1-2-9)（）求解中，在參數(shù)時，方程只有一個的平衡點；在參數(shù)時方程有三個的平衡點：與，其中兩個平衡點是穩(wěn)定的，是不穩(wěn)定的平衡點?？梢姸欧曳匠叹哂胁媸椒植怼D2-7給出了0、=0與0時與軸相垂直的x平面中相

7、點沿相軌線的走動方向。 圖2-6 叉式分岔  圖2-7 叉式分岔的x平面中的相軌線 4 霍夫型分岔研究微分方程組： (2-1-8)引入極坐標，(x-y)相平面上一點到坐標原點的距離為，則：， 對它們微分后有： (2-1-9)代入式(2-1-8)的第一式，并分別令正弦與余弦分量的系數(shù)分別相等，得： (2-1-10)對式(2-1-10)積分可得： (2-1-11a) (2-1-11b)式中，積分常數(shù)C與t0由初始條件決定。由式(2-1-11a)可見，對于0，相平面中的相點到坐標原點距離r隨時間縮短，當時間t時r 趨于零，也就是說軸線上的各點是穩(wěn)定的焦點，相空

8、間中的各點都會趨近與它。由式(2-1-11b)可見，當0時r 值隨時間增長，不論初始r 值的大小如何，當時間t時，最終r趨于，形成一閉合圈，即極限環(huán)。這種因參數(shù)從負變化到正，從焦點產生出極限環(huán)的分岔稱為霍夫分岔，分岔點位于=0。圖2-8給出了霍夫分岔中的極限環(huán)及軌線圖形。 圖2-8 霍夫分岔  作為例子，我們討論一下范德玻耳方程的分岔。在第一章分析范德玻耳方程時知道，該方程有一個極限環(huán)，在極限環(huán)內是不穩(wěn)定的不動點，其周圍的軌線是向外發(fā)散的，說明存在霍夫分岔。范德玻耳方程可以寫成如下： (2-1-12)為了給出范德玻耳方程的相圖，引進參數(shù)參數(shù)：I與q，它們分別稱為作用量與角度

9、量。在設= 0時，它們與變量x有如下關系： (2-1-13) (2-1-14)由式(2-1-13)得： (2-1-15)由式(2-1-13)與(2-1-15)兩式得： (2-1-16)對方程(2-1-16)求導得：利用方程(2-1-12)后上式為：將式(2-1-13)與(2-1-15)代入式(2-1-16)得： (2-1-17)并對式(2-1-17)的相位求平均，略去平均符號后得： (2-1-18)式中： 由方程(2-1-8)，使可求該方程式的平衡點： 現(xiàn)在分析兩個解的穩(wěn)定性。將式(2-1-18)改寫為： (2-1-19)對于平衡點鄰域有，注意到與IC相比是個高階小量，可以忽略。代入方程(2-

10、1-19)得：于是得解： (2-1-20)是初始對的偏離小量。解(2-1-20)說明作用量I隨時間指數(shù)增長，是不穩(wěn)定解，它是不穩(wěn)定的焦點。對于，在其鄰域有，代入方程(2-1-19)得：化簡得：于是得解： (2-1-21)為對的初始偏離量。解(2-1-20)說明作用量I對的偏離量隨時間指數(shù)減小，當，即。這是霍夫分岔。由此可見，在（）相平面上，范德玻耳方程的坐標原點是不穩(wěn)定的焦點，而極限環(huán)是穩(wěn)定的，當相空間的相點趨向于極限環(huán)，如圖2-9所示。然而，范德玻耳方程的這個性質與方程中參數(shù)的正負有關。如果方程中參數(shù)為負值，則由解(2-1-20)與(2-1-21)將得到完全相反的結論。這時坐標原點變?yōu)榉€(wěn)定的

11、焦點，成為系統(tǒng)的不動點，而極限環(huán)則是不穩(wěn)定的。當時，處于極限環(huán)內的相點趨向于不動點，處于極限環(huán)外的相點則遠離而去。  圖2-9 范德玻耳方程霍夫分岔的相圖 第二節(jié) 平方映射與倍周期分岔1平方映射在物理上一個動力學系統(tǒng)可以用連續(xù)變量表示，也可以用離散數(shù)表示。例如一個以為連續(xù)變量的單參數(shù)的動力學系統(tǒng)： (2-2-1)這里為系統(tǒng)的參數(shù)。如果我們考察在等時間間隔t，t+1，t+2，t+3，中系統(tǒng)狀態(tài)的變化，則式(2-2-1)可以改寫為時間演化方程： (2-2-2)如果時間間隔不是整數(shù)，則可把各個時刻寫成，這里：，而把相應的狀態(tài)記為：，其中 于是時間演化方程(2-2-2)變成了離散方

12、程： (2-2-3)這就是數(shù)學上稱之為映射的方程?？梢娪眠B續(xù)變量表示的動力學系統(tǒng)是微分方程，用離散數(shù)表示時為映射。其實它們之間有一定的對應關系。例如一個簡單映射： (2-2-4)利用迭代方法求解。設起始值為，迭代方法為將代入上式得：由得：經n迭代后得：計算得到的一組數(shù)值：，如果將值看成為一條線上的一個點，則該組數(shù)值就構成一條軌道。與映射(2-2-4)對應的微分方程為： (2-2-5)其解為：將簡單的線性映射(2-2-4)與微分方程(2-2-5)的解作圖，如圖2-10所示映射的解是梯形的指數(shù)增長的或下降的曲線，而微分方程給出的是連續(xù)的指數(shù)增長或下降曲線。圖2-10 簡單線性映射與微分方程解變化曲

13、線 1838年，生物學家伏埃胡斯脫（Verhulst）在研究生物種群演化時提出一種設想：一種世代交替的生物種群是在一個受制約的環(huán)境中生息繁衍的。如果令某類種群它的第n代的種群總數(shù)為Nn，則生態(tài)環(huán)境能提供維持種群數(shù)量有個最大限額，設為。當然，實際種群總數(shù)不會超過最大限額，設兩者之比:則與分別為相繼兩代的種群數(shù)，為親代，為子代。如果無環(huán)境的限制，子代種群數(shù)量將與親代種群數(shù)成正比：考慮到種群生長受環(huán)境的制約，則假定當上述兩種因素同時考慮時，得離散方程： (2-2-6)式中為比例系數(shù)。給定比例系數(shù)，根據(jù)方程(2-2-6)就可以由某種群的親代數(shù)計算出以后的各代種群數(shù)。方程(2-2-6)被稱為生

14、態(tài)平衡方程。生態(tài)平衡方程為什么與非線性動力學聯(lián)系了起來？原來，一個非線性系統(tǒng)往往有好幾個參數(shù)，例如雖然單擺是很簡單的力學系統(tǒng)，但一個受驅單擺就有品質因子q（=）、驅動頻率和驅動力矩F三個可變參數(shù)。每次計算時，需要事先設定方程中的兩個參數(shù)，然后計算系統(tǒng)的行為與第三個參數(shù)的關系。顯然，通過象單擺這樣的系統(tǒng)來認識從規(guī)則運動進入混沌運動的機制太復雜了。能否尋找到一個具有混沌行為的單參量系統(tǒng)？我們希望找到這樣的單參量系統(tǒng)，通過它能清楚地看到一個系統(tǒng)從規(guī)則運動怎樣步入混沌狀態(tài)。正是在這樣的形勢下，數(shù)學物理學家梅（R.May）于1971年發(fā)現(xiàn)了單參量的方程(2-2-6)具有不同尋常的行為。與映射(2-2-6

15、)對應的微分方程為：該微分方程的解為：其結果是平凡的。與微分方程的這個解不同，映射(2-2-6)的解卻具有非常復雜的行為。它能表達出一個動力學系統(tǒng)是如何從規(guī)則運動步入混沌運動的。現(xiàn)在回到映射方程(2-2-6)上來，該式也常寫成展開形式：因為表示親、子兩代種群數(shù)與采用了約化取值，它們的取值范圍均在0與1之間，因此比例常數(shù)的取值范圍為0，4。由于值與值是平方關系，所以稱方程(2-2-1)為平方映射，文獻中也常稱為洛吉斯蒂映射（logistic map，logistic來自法文logistique，意為部隊宿營地）。其實，式(2-2-6)也是拋物線表示式，所以也常稱為拋物線映射。我們用迭代方法來計算

16、映射(2-2-6)。進行迭代計算時，給定控制參數(shù)值與某一初始值，就有：，上述的迭代過程還可以采用圖解的方法。在坐標上，先根據(jù)給定的值畫出由式(2-2-6)確定的拋物線。再在這同一坐標圖上畫一條=的對角線稱為恒等線，通過它做投影。作圖的操作過程是這樣的，如圖2-11先給定控制參數(shù)值，例如=3.0，再給定初始值，例如。第一步從橫坐標處作豎直線與拋物線相交，這點的縱坐標高度即為。第二步從此點作水平線與對角線相交，此相交點的橫坐標即為。第三步再由此點又作豎直線，得到與拋物線相交時的高度為，再將再移植到對角線上，找到橫坐標的。再從這里作垂直線與拋物線相交得x3，如此不斷操作下去，于是得到一條軌道上的點，

17、。 圖2-11 平方映射的迭代圖解 2 平方映射的不動點及其穩(wěn)定性2.1 平方映射的不動點計算表明，平方映射的軌道上的點并不總是可以無限制延續(xù)下去的。在某些值下，計算可以得到一個不變的終值，它被稱為映射的不動點。一個映射的不動點就是第i次的數(shù)值與第i+1次迭代值相同時的數(shù)值，它不再因繼續(xù)迭代而發(fā)生變化。按不動點的定義，對平方映射有：或得根： (2-2-7)這里，與即為它的不動點。實際上用作圖方法也可得到平方映射的兩個不動點，如圖2-12所示，它們是拋物線與迭代線的兩個交點A與B。拋物線的高度與值有關，最大高度在1/2處且等于/4。如果參數(shù)較小()，拋物線的高度較低，它與迭代

18、線只有一個交點，即原點A。在這種情況下，不管初值如何，迭代最終趨于原點，原點是唯一的不動點。圖2-12平方映射的不動點 圖2-13是取=0.8時的情況，圖2-13a是迭代作圖計算，根據(jù)上述的作圖方法從起始值為開始，迭代結果終值走到了坐標的原點。圖2-13b是隨迭代次數(shù)n的變化曲線，可見這是一個指數(shù)衰變曲線，最終衰變到。從生態(tài)意義上說，雖然初始有一定的種群數(shù)量()，但是由于受到環(huán)境的制約這一種群最終走向了滅絕。 a b圖2-13，=0.8時終值走到了坐標的原點=0由式(2-2-7)可知，當時平方映射就會出現(xiàn)第二個不動點，它是非零的不動點。非零的不動點意味著某類種群有某個穩(wěn)定的生存數(shù)量。

19、但是對不同的值，迭代走向這個不動點的過程有所不同。當較小時，迭代單調地增長趨向不動點的，圖2-14所示的值為2.1就屬于這種情況。圖2-14a是迭代作圖計算，可以看到雖然起始值很小，但是每次迭代使增加，這是一個指數(shù)增長并最終穩(wěn)定的過程。圖2-14b給出了隨迭代次數(shù)走向不動點的過程，最終到達的B點。當值增大時，迭代先出現(xiàn)振蕩起伏，然后逐步穩(wěn)定在某個數(shù)值。圖2-15是=2.8時是隨迭代次數(shù)n的變化曲線，可見這是在經歷了數(shù)次上下起伏以后才達到穩(wěn)定。  a. b.圖2-14 =2.1，迭代單調地趨向個不動點 圖2-15 =2.8時迭代振蕩地趨向個不動點2.2 平方映射不動點的穩(wěn)定性

20、與通常動力學系統(tǒng)一樣，映射不動點有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之分。非線性動力學核心問題之一就是研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，因此這里要對平方映射不動點的穩(wěn)定性作些分析。當在不動點附近（也稱擾動）進行迭代時，如果迭代結果越來越趨近該不動點，則該不動點是穩(wěn)定的，與此相反，如果迭代結果離該不動點越來越遠，則它就是不穩(wěn)定的。上面已經說到平方映射的拋物曲線的高度與參數(shù)值有關，那么，不動點的穩(wěn)定性應該也與參數(shù)的大小有關。設一維映射 (2-2-8)具有解，,設為擾動量，則繼續(xù)迭代有： (2-2-9)對式(2-2-9)的右邊在附近展開： (2-2-10)略去的高階小項，并利用不動點方程(2-2-8)，則不動點的穩(wěn)定性可用映射在解附

21、近的斜率來表達： (2-2-11)對于穩(wěn)定的不動點，應有，因此：實際上為映射在不動點處的斜率為45°。條件(2-2-11)還有兩種情況：a. 迭代單調的趨近于，即如圖2-14所示的情況；b. 迭代經過幾次上下起伏趨近于，圖2-15就是這種情況。當不動點的斜率滿足時，即不動點的斜率為0°時，則稱為超穩(wěn)定不動點，因為這是最有利的穩(wěn)定情況，在迭代圖上對應于時的情況。為區(qū)別起見，與超穩(wěn)定不動點對應的參數(shù)稱為超穩(wěn)定參數(shù)。對于不穩(wěn)定的不動點應有，因此：這時也有兩種情況：a. 迭代指數(shù)增長；b. 迭代指數(shù)起伏增長。3 平方映射的周期解及其穩(wěn)定性3.1平方映射的周期解當平方映射的參數(shù)值從=

22、2.8繼續(xù)增大時，迭代出現(xiàn)的振蕩起伏將一直維持下去，這種情況稱為周期解。圖2-16就是值為3.1的迭代情況，取起始值，可見迭代的終值在一大一小的兩個定值之間往復跳躍，稱為周期2軌道運動。它對應于生態(tài)演化中“大年”、“小年”的隔年交替輪換現(xiàn)象。圖2-16 =3.1，在一大一小兩個值間跳躍圖2-17 =3.52，出現(xiàn)4周期循環(huán)當值進一步增大時，迭代出現(xiàn)的振蕩起伏將出現(xiàn)更復雜的情況。計算表明，當值增大3.5以上時，迭代的終值上下起伏，每隔四次出現(xiàn)重復，稱為周期4軌道運動。圖2-17是在=3.52時的n曲線，仍取起始值，由圖可見在經過開始若干次的過渡過程之后，迭代終值就進入了每隔四次重復的周期4軌道。

23、綜上可見，在確定的值下，迭代將進入一個有限數(shù)值的循環(huán)重復之中，即在迭代次數(shù)后，就有,和,相同的情況，稱為周期p軌道。p=1時即為不動點時的情況，因此常稱不動點為周期1軌道；而上述的=3.1與=3.52時的迭代，則分別是p=2的周期2軌道與p=4周期4軌道。隨著的增加，還會出現(xiàn)更大周期的軌道。平方映射的軌道周期隨的增加而一次次成倍加長的現(xiàn)象被稱為倍周期分岔。然而迭代也可能進入軌道點xi永不重復的情況，表明體系有無限長的周期。但是如果每迭代一定次數(shù)，軌道點雖然沒有準確回到某個初始點xk，但與該點非常接近，則這種情況稱為準周期軌道。實質上準周期軌道就可以看作為無限長的周期軌道。3.2 周期解的穩(wěn)定性

24、從上面討論中看到參數(shù)的變化會引起軌道的周期性發(fā)生變化，因此映射的周期解也有一個穩(wěn)定性問題。我們先研究簡單的周期2軌道的穩(wěn)定性，周期2軌道的解表現(xiàn)為將其代入映射方程，則可以寫為： (2-2-12)對于平方映射來說，有： (2-2-13)可見的表達式是比較復雜的，但是作圖出來很清楚，這是一條M形曲線。圖2-18 時的平方映射的周期1與周期2軌道由式(2-2-12)可見，周期軌道與不動點之間具有類似性。如果體系有一個周期2軌道，則函數(shù)至少應有兩個不動點。它們可以通過解方程來得到。圖2-18為時的曲線（上部）與曲線（下部）圖。可以看到的四個不動點，它們分別為：，與。由圖可見與也是的不動點，它們相應于周

25、期1軌道；另外兩個點：與才是周期2軌道點。與周期2情況相同，對于周期n軌道，可以從解方程來獲得，不過這時候的曲線將變得更為復雜了。正如不動點有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之分，周期軌道也有穩(wěn)定的與不穩(wěn)定的之分。穩(wěn)定的周期是如果在其附近給定一個初值，繼續(xù)迭代仍趨近于該周期。我們先考慮周期2軌道情況，設有不屬于的解。從的不動點穩(wěn)定性條件（2-2-11）可知，的不動點的穩(wěn)定性應決定于 利用復合函數(shù)導數(shù)的鏈法則，上式可以寫為 (2-2-14)因此周期2的不動點的穩(wěn)定性決定于與兩點處函數(shù)點的斜率。這個結果可以推廣到任意的周期軌道，即： (2-2-15)作為例子，我們回顧圖2-17上的平方映射的周期1與周期2軌

26、道。由圖可見，由于的非零不動點處的斜率大于1，因此周期1軌道是不穩(wěn)定的，然而對周期2來說可滿足穩(wěn)定性條件，所以是穩(wěn)定的。讀者可以通過簡單的作圖發(fā)現(xiàn)，對于不論周期1軌道還是周期2軌道都不滿足穩(wěn)定性條件，它們都是不穩(wěn)定的。4倍周期分岔的功率譜如上所述為了表示非線性系統(tǒng)的運動狀態(tài)，我們除了采用時域（振動的時間圖）表示外，更多地使用了相圖（狀態(tài)圖）表示方法。實際上頻域表示也是一種常用的分析方法。我們已經看到，隨著參數(shù)值的增加，平方映射出現(xiàn)了軌道周期成倍加長的倍周期分岔現(xiàn)象。從頻譜的角度來看系統(tǒng)的每一次分岔就意味著在頻譜圖中出現(xiàn)一批對應的新的頻率分量。我們已經知道小角度單擺作頻率為f的正弦周期運動，它在

27、相空間里是一個閉合的圓環(huán)。如果用頻譜表示，這是在以頻率為橫坐標的坐標f處的一個無限狹窄的尖峰，峰的高度為該頻率分量的強度（功率），常稱功率譜。如果系統(tǒng)出現(xiàn)一次倍周期分岔成為周期2軌道，在相圖上表現(xiàn)為軌線需轉兩圈后才閉合，在功率譜上則除f處的原有譜峰外在f/2處又將出現(xiàn)一個新的譜峰分量；如果系統(tǒng)再一次分岔成周期4軌道，相圖上的軌線需轉四圈后才閉合，則功率譜上除在f與f/2處的兩個峰外將在f/4與3f/4出現(xiàn)兩個新譜峰，如圖2-19所示?？梢姽β首V與周期相軌線具有對應關系。 圖2-19 倍周期分岔的相圖與功率譜 對于平方映射來說，1P的不動點，功率譜中只有基頻f，以及有可能出現(xiàn)

28、基頻的倍頻峰：2f，3f，；當1P2P的分岔后，會出現(xiàn)1/2f的分頻，以及有可能出現(xiàn)1/2f分頻的倍頻峰：3/2，5/2，；而在2P4P的分岔中，功率譜圖應出現(xiàn)的是1/4f和3/4f的分頻以及它們的諧波。圖2-20是平方映射在4P8P分岔后的各分頻峰的功率譜，圖中未給出各諧波峰?？梢灶A計，隨著參數(shù)逼近值，由分岔引起的頻譜會越來越密，但是當參數(shù)越過值后，迭代進入無窮大周期的隨機狀態(tài)，即混沌運動狀態(tài)，而功率譜也將從分立譜過渡到不可分的連續(xù)譜。因此從功率譜角度來看，如考慮到可能存在的噪聲，混沌運動的特征是具有噪聲背景的寬譜帶。為了在實驗上獲得功率譜，通常對軌道上的點作大量取樣，然后作快速傅立葉分析。

29、設我們按等時間間隔得到時間序列：并人為地加上邊界條件，然后計算自相關系數(shù)，即離散巻積：再對作離散傅立葉變換，計算出傅立葉系數(shù) (2-2-16)代表第k個頻率分量對的貢獻。 圖2-20 平方映射在4P8P分岔后的功率譜 另外，也可以利用計算機的快速傅立葉變換功能，直接求的傅立葉系數(shù)然后計算 (2-2-17)于是就可從許多組得到一批，求出它的算術平均值后即趨近(2-2-16)的功率譜。第三節(jié) 流體不穩(wěn)定性與洛倫茲方程1流體中的不穩(wěn)定性1.1 貝耐特對流實驗首先介紹一下貝納德對流實驗。本世紀初，法國科學家貝納德(E.Benard)做了一個在兩塊平行平板間的充滿液體的加熱實驗以觀察

30、液體的流動情況，實驗裝置的示意圖如圖2-21所示，平板在y方向無限伸展。實驗時下面板被均勻緩慢地加熱，因此在上下平板之間出現(xiàn)溫差。開始時平板間的液體是靜止的，沒有任何宏觀的運動，但當加熱到一定程度時液體開始翻動起來出現(xiàn)了對流現(xiàn)象?？梢婋S著溫度的上升這樣的流體系統(tǒng)經歷著一個由穩(wěn)定到不穩(wěn)定，再到新的穩(wěn)定態(tài)的分岔過程。 圖2-21 貝納德對流實驗1916年英國學者瑞利首先從理論上對貝納德實驗進行了解釋。他注意到加熱時靠近下面板的底層液體首先被加熱，由于熱脹冷縮這一層液體受到向上的浮力而上升。顯然浮力的大小與溫度差DT和兩板之間的距離有關。除浮力以外流體還有粘滯力，它會阻礙流體的向上運動。這

31、樣，由浮力和粘滯力兩者之間的關系決定了底層液體的向上運動。為具體衡量兩力之間的對比，定義了一個無量綱參數(shù). (2-3-1)R稱為瑞利數(shù)，式中g為重力加速度，a為熱脹系數(shù)，d為兩塊板的間距，h為粘滯系數(shù)，DT為擴散系數(shù)。由式(2-3-1)可見，瑞利數(shù)R與溫度差成正比，溫度差加大時，R值增加。瑞利數(shù)有一臨界值，當R超過臨界值時系統(tǒng)出現(xiàn)分岔，流體變得不穩(wěn)定開始出現(xiàn)翻動與對流，稱為貝納德不穩(wěn)定性。臨界值為： (2-3-2)其中k是與x方向環(huán)流波數(shù)（當時有一最小值）。有趣的是在其翻動對流時會形成一種象蛋卷一樣很規(guī)則的圖形，如圖2-21b所示。由于實驗中的底層液體是被均勻加熱的，哪里都沒有開始宏觀運動的優(yōu)

32、先權。形成規(guī)則圖案是對均勻液體的一種對稱破缺，是解決這個矛盾一種途徑。規(guī)則圖形還有其它種種圖樣，具體出現(xiàn)那種圖案還與容器的結構有關，類似蛋卷樣的圖形只是諸多規(guī)則圖形之一。當R進一步增加時，規(guī)則的對流圖形將受到破壞，系統(tǒng)進入到了湍流狀態(tài)。1.2倍周期分岔的流體實驗檢驗從分岔觀點分析，兩塊平板間的液體隨著溫差的升高所出現(xiàn)從靜止發(fā)展到對流也是一種分岔現(xiàn)象。帶著這樣的觀點，低溫物理學家利布沙伯(ALibchaber)于1980年用液氦重做了貝耐特對流實驗以尋找其間存在的規(guī)律。液氦粘度極低，可以在極輕微的推動下出現(xiàn)對流，這是利布沙伯選用液氦來做對流實驗的原因。他設計了一個非常精巧的實驗裝置：一個很小的不

33、銹鋼液氦的容器，其長度為3mm，寬度與高度分別為1.5mm與1.25mm。用高純度銅做容器的底板，容器蓋是用蘭寶石做的，在蘭寶石上嵌入兩個精巧的溫度計，用以監(jiān)視兩點的溫度。容器中的液氦對溫度非常敏感，只要上下液面之間存在千分之一的溫度差，就可出現(xiàn)對流。對流發(fā)生時液氦在中心升起，往左右分流，然后沿腔壁下降形成兩個對流圈的翻動。對流會引起溫度變化，因此可以從溫度計輸出信號的變化中分析出對流的產生過程與變化規(guī)律。但是實驗遇到了困難，接受到的信號受噪聲的干擾很大，很難從中分析出有用的信息。于是利布沙伯將接收到的隨時間變化信號進行了傅立葉變換，再從變換后的頻譜圖來分析液氦的對流信息。圖2-22是利布沙伯

34、所將記錄信號經傅立葉變換后的功率譜。由圖可見，開始時功率譜中只有對流翻動頻率為f的基波峰，相應液氦作兩個對流圈翻動。隨著瑞利數(shù)的增大，在功率譜中頻率為基波頻率f一半的倍周期（f/2）諧波出現(xiàn)了，接著又出現(xiàn)f/4、f/8等的次諧波。利布沙伯獲得的這一實驗結果顯然是一種倍周期分岔現(xiàn)象。實驗結果證明倍周期分岔不僅在平方映射這樣的數(shù)學模型中存在，而且在真實的物理學系統(tǒng)中也會出現(xiàn)。受到利布沙伯用液氦成功地檢測到倍周期分岔結果的啟發(fā)，許多學者開始在不同類型的動力系統(tǒng)中去尋找倍周期分岔現(xiàn)象。果然除了流體的對流實驗以外，倍周期分岔現(xiàn)象在LCR振蕩、激光振蕩、化學反應等許多過程中都相繼得到了證實，從而說明了倍周

35、期分岔是存在于許多動力學過程中的一種普遍現(xiàn)象。圖2-22 利布沙伯實驗記錄的液氦對流中的功率譜3 洛倫茲方程解的分岔3.1 洛倫茲方程二十世紀六十年代蓬勃發(fā)展的計算機技術開始得到廣泛應用，其中包括長期天氣預報。大氣與液體同屬流體，太陽照射使地面升溫，靠近地面的氣體受到加熱而高層大氣還是冷的，于是上下層氣體之間將會出現(xiàn)對流，產生類似于貝納德實驗中的對流現(xiàn)象。在美國氣象學局工作的數(shù)學家洛倫茲(E.Lorens)將大氣對流與貝納德液體對流聯(lián)系起來，企圖用數(shù)值方法進行長期天氣預報。從貝耐特對流出發(fā)，利用流體力學中的納維葉斯托克斯(NavierStokes)方程、熱傳導方程和連續(xù)性方程，洛倫茲推導出描述

36、大氣對流的微分方程： (2-3-3)它被稱為洛倫茲方程，式中x是對流的翻動速率，y比例于上流與下流液體之間的溫差，z是垂直方向的溫度梯度，s無量綱因子，稱為Prandtl數(shù)，它等于; b為反映速度阻尼的常數(shù)：; r為相對瑞利數(shù)：。方程組(2-3-3)稱為洛倫茲方程，其中xz與xy是非線性項，求導是對為無量綱時間進行的：洛倫茲方程是一個能量耗散系統(tǒng)，這可以從它的相空間隨時間變化特性去證明。設在x,y,z的三維相空間內取一個閉合曲面，該曲面所包圍的體積V隨時間的變化與其中代表點的運動有如下關系： (2-3-4)式中為代表點在相空間的相應方向上的運動速度。將此公式應用于洛倫茲方程，于是就有 (2-3

37、-5)解方程(2-3-5)，得 (2-3-6)式中為初始相空間的體積。由于參數(shù)與，可見洛倫茲方程的相空間體積是隨時間收縮的，初始時的有限相體積隨時間收縮到一點，這點應是坐標的原點。由此可見洛倫茲方程描寫的是一個耗散系統(tǒng)。正如阻尼單擺那樣，耗散意味著系統(tǒng)存在吸引子。3.2 洛倫茲方程解的分岔由可得洛倫茲方程(2-3-3)的三個平衡點：；, 然而如果后兩個平衡點就不存在，只存在一個平衡點。因此平衡點是洛倫茲方程的不動點，相應于貝納爾德實驗中的液體的靜止定態(tài)。因此洛倫茲方程的平衡點將隨瑞利數(shù)r的增加而發(fā)生分裂，原來穩(wěn)定的平衡點變?yōu)椴黄胶鉅顟B(tài)。為了研究平衡點的穩(wěn)定性問題，我們將方程(2-3-3)寫成矩

38、陣形式 (2-3-7)首先討論原點的穩(wěn)定性。為此對原點附近作線性化處理，即在附近有：由行列式 (2-3-8)可得特征方程： (2-3-9)由于參數(shù)，方程(2-3-9)有三個根，即：, (2-3-10)由式(2-3-10)可見，在范圍內所有的根，因此坐標原點是穩(wěn)定的不動點，它是方程的唯一吸引子，所有的軌線吸引到坐標的原點，如圖2-23。圖2-23 坐標原點是洛倫茲方程的穩(wěn)定不動點 如方程(2-3-9)就有一正根，于是分支出兩個新的平衡點與，其坐標分別為： (2-3-11)說明在時系統(tǒng)將發(fā)生一次分岔，跨越意味著原點的吸引子喪失了穩(wěn)定性，出現(xiàn)了局部的不穩(wěn)定性。這時在坐標的原點出現(xiàn)了一維不穩(wěn)

39、定的流形，如圖2-24所示。這是一次叉式分岔。相應于在貝納德實驗中流體從靜態(tài)走向對流翻動。 圖2-24 時原點為不穩(wěn)定平衡點，同時出現(xiàn)兩新的穩(wěn)定平衡點 現(xiàn)在討論時出現(xiàn)的兩個新平衡點與的穩(wěn)定性。于是對它們的鄰域作線性化處理，得：，仿照(2-3-8)的做法，可得特征方程： (2-3-12)在它的三個根中有一實根和一對共軛復根，其中實根說明坐標原點為鞍點。共軛復根的實部為負，說明兩個新平衡點與是穩(wěn)定的焦點，它們是與鄰域螺旋線的吸引點，如圖2-25所示。與穩(wěn)定焦點的出現(xiàn)說明貝納德實驗形成了穩(wěn)定的定態(tài)對流。圖2-25 兩個穩(wěn)定的和一個不穩(wěn)定的平衡點 當r繼續(xù)增加到時，兩個螺

40、旋線外徑會接觸并合并到一起。到時，若式(2-3-12)中與項的系數(shù)之積等于常數(shù)項，則共軛復根是純虛數(shù)： (2-3-13)這時得：. (2-3-14)說明時兩個平衡點與發(fā)展成了中心點，其鄰域的相軌線是橢圓。而當時共軛復根的實部為正值，與成了不穩(wěn)定的焦點，如圖2-26所示，于是定態(tài)對流失穩(wěn)。所以是定態(tài)對流穩(wěn)定性的閾值，若，定態(tài)對流是穩(wěn)定的；若，如r值足夠大的，定態(tài)對流是不穩(wěn)定的。在定態(tài)對流穩(wěn)定性的數(shù)值計算中，通常把參數(shù)b、s 固定，例如?。簊 =10，b = 8/3，于是可算得：。這時將出現(xiàn)一次新分岔霍夫分岔，平衡點與將失穩(wěn)，成為奇怪吸引子。圖2-26 時兩個螺旋線外徑合并到一起 第四節(jié)

41、 第四節(jié)       李雅普諾夫指數(shù)與奇怪吸引子1. 李雅普諾夫指數(shù)從阻尼單擺、范德玻耳方程等系統(tǒng)的相圖討論中知道，由于能量耗散系統(tǒng)的狀態(tài)最終都會收縮到吸引子所表示的狀態(tài)上。從廣義的角度講，這是一個動力系統(tǒng)在t 時所呈現(xiàn)的與時間無關的定態(tài)，并且不管選取什么樣的初始值其終值的定態(tài)只有一個，也就是說終值與初始值無關。人們稱這類吸引子為平庸吸引子，因此平庸是指常態(tài)、無變化的意思。奇怪吸引子是相對于平庸吸引子而言的，它們的特點之一是終態(tài)值與初始值密切相關，或者說對初始值具有極端敏感性。這一現(xiàn)象相傳是洛倫茲在一次計算中首次偶然發(fā)現(xiàn)的。1961年

42、洛倫茲在進行數(shù)值長期天氣預報的計算，當時在計算中使用了一臺現(xiàn)在看來速度太慢的計算機，因此在考察洛倫茲方程的一個解在長時間內的行為需要進行長時間的運算。有一次他在計算中斷后重新開始計算時，把上一次計算的中間數(shù)據(jù)作為這次計算的初始值輸入計算機，指望在重復給出上次的計算結果后計算機再繼續(xù)運行下去。然而出人意料的是計算結果只在開始的一小段與原來結果偏差很小，之后偏差越來越大以致得到完全相反的結果。洛倫茲意識到問題出在他輸入數(shù)據(jù)的精度上。因為計算機能以六位小數(shù)運行，這次存儲下的是：0.606127，而打印機僅打印了前三位數(shù)字：0.606。這次他是以這個三位小數(shù)作為重新計算的初始值，忽略掉了尾數(shù)0.000

43、127。洛倫茲認為造成重大偏差的原因就是忽略掉了這點尾數(shù)，由此他認定這個方程對初始值具有高度的敏感性。洛倫茲將這一現(xiàn)象形象地比喻為“蝴蝶效應”，意思是說一只蝴蝶扇動翅膀所引起的氣流擾動會發(fā)展成一場“巨大風暴”。現(xiàn)在知道，在一定的參數(shù)值下有一些動力學系統(tǒng)會呈現(xiàn)出對初值的敏感性現(xiàn)象，即使是簡單的平方映射也有這樣的特性。我們已經看到，當平方映射映射的參數(shù)，不管初始取值如何迭代的終態(tài)值是周期（單周期、雙周期、）的，說明在此參數(shù)值下平方映射的這些解表現(xiàn)為平庸吸引子。但當參數(shù)時迭代的終態(tài)值將進入隨機混沌狀態(tài)，終態(tài)值與初始取值密切相關，初始取值的細微差別可能會導致完全不同的結果，這時的吸引子毫無周期可言，轉

44、變成所謂的奇怪吸引子。為了具體了解奇怪吸引子中相軌線對初始擾動的敏感性，我們考察平方映射的兩個迭代運算 (2-4-1)如上所述，當m大于3.5966時，該映射可以進入混沌?，F(xiàn)在取m = 4并取有一點微小的差別的兩個初始值與：=0.370，=0.380，運算結果如表3.1所列。由表可見，經過前第四次迭代兩個運算結果還沒有顯出太大差別，但是從第五次開始迭代結果的差別就非常顯著了。 表 3.1 初始值與的微小誤差的迭代運算N012345678910Xn0.3700.9320.2520.7540.7410.7670.7150.8140.6050.9560.167Yn0.3800.9420.2

45、170.6800.8700.4510.9900.0380.1470.5010.999 為了從理論上定量地考察一個動力學系統(tǒng)對初始值的敏感性問題，我們研究一下兩個系統(tǒng)： (2-4-2)設其初始值有一微小誤差，經過一次迭代以后有： (2-4-3)式中：由式(2-4-3)可見，對初始擾動的敏感的程度由導數(shù)決定。顯然與初始值有關。由于我們需要描述映射的整體敏感性，而不只是某一個初始條件，為此需要對全部初始條件進行平均。通過繼續(xù)迭代可以完成這種平均工作。由第二次迭代得：第n次迭代得： (2-4-4)式中為多重乘號。因此，每次迭代產生的平均分離值為：這是的幾何平均值。在非線性動力學中，分離的程度

46、通常用李雅普諾夫（Lyapunov）指數(shù)來度量，定義為該值的對數(shù)： (2-4-5)式中為第n次迭代后的值。取，得常用的李雅普諾夫指數(shù)的計算公式： (2-4-6)利用李雅普諾夫指數(shù)，相空間內初始時刻的兩點距離將隨時間（迭代次數(shù)）作指數(shù)分離：。需要注意在一維映射中只有一個值，而在多維相空間情況下一般就有多個，而且沿相空間的不同方向，其(i=1,2,)值一般也是不同的。設為多維相空間中兩點的初始距離，則經n次迭代后兩點的初始距離為： (2-4-7)式中指數(shù)值可正可負。0表示沿該方向擴展，0表示沿該方向收縮，于是在經過一段時間（數(shù)次迭代）以后，兩個不同的值使相空間中原來的圓球演變?yōu)闄E球了，如圖2-27

47、所示。圖2-27 經過數(shù)次迭代后，相空間中的圓球演變?yōu)椴粚ΨQ橢球 我們知道，穩(wěn)定體系的相軌線相應于趨向某個平衡點，如果出現(xiàn)越來越遠離平衡點，則體系是不穩(wěn)定的。正值的正是描述了這樣的不穩(wěn)定性。研究表明一個系統(tǒng)只要有一個正值的就可出現(xiàn)混沌運動。因此，在判別一個非線性系統(tǒng)是否存在混沌運動時，需要檢查它的最大李雅普諾夫指數(shù)是否為正值。于是我們可以按照的符號可對吸引子的性質進行分類。對于三維空間有以下幾種吸引子類型：當三個指數(shù)均為負值，相點收縮到一點，即存在不動點；當三個指數(shù)中有一個為零另外兩個為負值，相點收縮在一個環(huán)上，這是極限環(huán)；三個指數(shù)中兩個為零一個為負值，相點收縮在一個二維的環(huán)面上，這

48、是二維環(huán)面；吸引子；最后一種情況是三個指數(shù)中有一個為正值，另外對于三維相流要求相應于相流方向的指數(shù)為零，于是最后那個指數(shù)必定為負，這是系統(tǒng)出現(xiàn)奇怪吸引子的情形。前三種吸引子都是平庸吸引子。在第四章中我們還要討論吸引子的空間維數(shù)。平庸吸引子的維數(shù)都為整數(shù)。與整數(shù)維的平庸吸引子不同，奇怪吸引子維數(shù)一般為非整數(shù)，稱為分數(shù)維數(shù)。因此分數(shù)維數(shù)是奇怪吸引子的另一重要特征。近年的非線性系統(tǒng)研究表明，吸引子可能存在于高維相空間內。在這高維相空間中大于零的李雅普諾夫指數(shù)也可能不止一個，顯然這樣體系的運動情況將為更加復雜。人們常稱高維相空間中有多個正值李雅普諾夫指數(shù)的混沌為超混沌。將三維空間推廣到高維空間，由指數(shù)

49、的值決定的各種類型的吸引子可以歸納如下： 吸引子類型維 數(shù)不動點D = 0極限環(huán)D = 1二維環(huán)面D = 2三維環(huán)面D = 2奇怪吸引子（混沌）D = 23（非整數(shù)）超混沌D = 高于3非整數(shù)對于一維映射，利用BASIC計算程序可以方便地求得它們的李雅普諾夫指數(shù)。作為例子，圖2-28給出了一維的平方映射的指數(shù)的變化曲線。由圖可見平方映射的指數(shù)隨參數(shù)值變化起伏很大，但它有一個臨界參數(shù)值（=3.5699），當時盡管指數(shù)隨值有很大的變化但始終處于負值，最多只升高到零附近。當以后指數(shù)開始轉為正值，也就是說平方映射從這里開始由規(guī)則運動轉為混沌，或者說迭代進入到混沌狀態(tài)。由圖還可以發(fā)現(xiàn)在進入混沌

50、以后，值仍有忽大忽小的變化，特別是在某些值處值又突然由正轉變到負，說明在這些地方平方映射又轉入到規(guī)則運動。所以從值的變化可以看出，平方映射具有規(guī)則隨機規(guī)則隨機相交織的非常復雜的運動狀態(tài)。圖2-28 平方映射的李雅普諾夫指數(shù)隨參數(shù)值的變化下面是一個可以運行的計算平方映射的指數(shù)隨參數(shù)值變化的Qbasic計算程序。該程序在運行中在顯示器屏幕上顯示出運行結果，非常直觀。尤其是參數(shù)值的運行范圍可以隨意調換，以對自己感興趣的區(qū)域進行計算。下面程序所取參數(shù)值范圍為3.44.0。REM Chaos L-exponents Diagram 01CLSSCREEN 10WINDOW (0, 0)-(630, 47

51、0)pi = 3.141593c1 = 10c2 = 10LINE (50, 250)-STEP(520, 0), c1LINE (50, 30)-STEP(0, 460), c1n = 500: m = 0: e = .0001DIM x(n), y(5000)u = 3.4: b1 = uIF INKEY$ = "x" THEN GOTO f2f1: x = .3FOR i = 0 TO n - 1IF INKEY$ = "x" THEN GOTO f2x(i) = LOG(ABS(u - 2 * u * x)x = u * x * (1 - x)NEXT iFOR i = 0 TO