第二章 分岔與奇怪吸引子

1、第二章 分岔與奇怪吸引子第一節(jié) 第一節(jié)      簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)分岔分岔的本義是一種力學(xué)狀態(tài)在臨界點(diǎn)處發(fā)生的轉(zhuǎn)變、分開或一分為二。分岔是一種非常普遍的自然現(xiàn)象。一根受力作用的彈性壓桿可以形象地演示出一類分岔現(xiàn)象。常識(shí)告訴我們，在力P的作用下，如圖2-1a所示，當(dāng)壓力超過彈性壓桿的臨界負(fù)荷后，桿會(huì)出現(xiàn)彎曲，這時(shí)擾度s為壓力P的函數(shù)。在以Ps為坐標(biāo)的平面上，如圖2-1b所示，當(dāng)壓力P時(shí)，桿的唯一平衡狀態(tài)是保持直線；當(dāng)壓力P時(shí)，桿的平衡狀態(tài)就轉(zhuǎn)變成三種：保持直線（OC方向）、偏向或方向，因此是這個(gè)力學(xué)體系不同平衡狀態(tài)的分岔點(diǎn)。然而三種平衡狀態(tài)有穩(wěn)定的與不穩(wěn)

2、定的之分。其中保持直線狀態(tài)是不穩(wěn)定的，稍有擾動(dòng)，平衡狀態(tài)便會(huì)偏向或狀態(tài)。另兩種平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，在這兩種狀態(tài)中，擾度s隨壓力P的增加而沿曲線OA或OB增加。 圖2-1 一根彈性壓桿的分岔 在數(shù)學(xué)上，分岔就是研究非線性微分方程當(dāng)某一參數(shù)變化時(shí)，其解發(fā)生突變的臨界點(diǎn)附近的行為。當(dāng)上述現(xiàn)象用數(shù)學(xué)方程來描述時(shí)，力學(xué)現(xiàn)象的分岔就成為數(shù)學(xué)分岔。由于許多重要的物理現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上都可以某類微分方程來描述，因此數(shù)學(xué)分岔在分析復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)中具有重要意義。上一章我們?cè)谡故締螖[運(yùn)動(dòng)中看到，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力F增加到某臨界值后它由規(guī)則運(yùn)動(dòng)進(jìn)入到隨機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。它是通過怎樣的路逕進(jìn)入混沌的？顯然僅對(duì)幾個(gè)特殊參

3、數(shù)采用數(shù)值計(jì)算還無法講清這樣的問題。為了更具體地掌握一個(gè)非線性系統(tǒng)如何從規(guī)則運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌，必需對(duì)臨界值附近所發(fā)生的現(xiàn)象作更細(xì)致更深入的研究。上一章我們?cè)诜治龆欧曳匠痰慕鈺r(shí)知道，方程的解在參數(shù)處發(fā)生了所謂叉式分岔，一個(gè)在時(shí)的穩(wěn)定解在時(shí)分裂為兩個(gè)穩(wěn)定解與一個(gè)不穩(wěn)定解。不同的非線性方程應(yīng)有不同的突變行為，它們有那些類型呢？本節(jié)就是從力學(xué)系統(tǒng)的幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型討論幾種常見的典型數(shù)學(xué)分岔。1 切分岔產(chǎn)生切分岔的微分方程形式： (2-1-1)式中為控制參數(shù)。由得式(2-1-1)的平衡點(diǎn)為： (2-1-2)解(2-1-2)說明，當(dāng)0時(shí)不存在奇點(diǎn)，而當(dāng)0時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)奇點(diǎn)，如圖2-2所示。然而0時(shí)的兩個(gè)奇點(diǎn)的穩(wěn)定

4、性是不同的，其中是穩(wěn)定的，而是不穩(wěn)定的。 圖2-2 切分岔 為了討論切分岔的兩個(gè)解的穩(wěn)定性，我們?cè)诘母浇∫稽c(diǎn)，它與的距離為，由式(2-1-1)得：將解式(2-1-2)代入并忽略高階小量有：于是得解： (2-1-3)因此，對(duì)于解，當(dāng)時(shí)有，說明此解是穩(wěn)定的，它是穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)。對(duì)于解，當(dāng)時(shí)有，因此它是不穩(wěn)定的，它是鞍點(diǎn)。由此可見切分岔是一個(gè)鞍結(jié)分岔。為了說明分岔點(diǎn)附近的分岔情況，如圖2-3給出了0、= 0與0時(shí)與軸相垂直的x平面中相軌線的走動(dòng)方向，穩(wěn)定的解是圖中的A支，不穩(wěn)定的是圖中的B支。A與B兩支構(gòu)成了0時(shí)鞍點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)附近的相軌線。 圖2-3 切分岔中的相軌線

5、0;2 轉(zhuǎn)換鍵型分岔這種分岔屬于穩(wěn)定性轉(zhuǎn)變的分岔，它是由下式產(chǎn)生的。 (2-1-4)由給出方程(2-1-4)的奇點(diǎn)為： (2-1-5)當(dāng)式(2-1-4)的右邊取負(fù)號(hào)時(shí)分岔圖形如圖2-4所示。采用與分析切分岔解的穩(wěn)定性同樣的方法，經(jīng)分析可知，如0它的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，而它的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的；如0它的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)( ? )是穩(wěn)定的；其分岔點(diǎn)為(,)(0,0)。對(duì)式(2-1-4)右邊取正號(hào)的情況只要將上述的討論推廣即可。圖2-5給出了與軸相垂直的x平面中相軌線的流動(dòng)方向。由圖可見，不管是0還是0，都是一對(duì)鞍結(jié)點(diǎn)。但在0時(shí)，的軸線是結(jié)點(diǎn)，不穩(wěn)定的A支是；而在> 0( ? )時(shí)，的軸線

6、是不穩(wěn)定的A支，結(jié)點(diǎn)為( ? )支。圖2-4 轉(zhuǎn)換鍵型分岔 圖2-5 轉(zhuǎn)換鍵型x平面中的的相軌線 3 叉式分岔 有一微分方程： (2-1-6)為控制參數(shù)。由得三個(gè)平衡點(diǎn)： (2-1-7)當(dāng)0時(shí)，只有平衡點(diǎn)0，采用切分岔解穩(wěn)定性分析方法可知它是穩(wěn)定的。當(dāng)0時(shí)則有三個(gè)平衡點(diǎn)，其中0是不穩(wěn)定的，而的兩個(gè)解都是穩(wěn)定的。因此其分岔圖形象一把叉子，如圖2-6所示。在上一章的杜芬方程(1-2-9)（）求解中，在參數(shù)時(shí)，方程只有一個(gè)的平衡點(diǎn)；在參數(shù)時(shí)方程有三個(gè)的平衡點(diǎn)：與，其中兩個(gè)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。可見杜芬方程具有叉式分岔。圖2-7給出了0、=0與0時(shí)與軸相垂直的x平面中相

7、點(diǎn)沿相軌線的走動(dòng)方向。 圖2-6 叉式分岔  圖2-7 叉式分岔的x平面中的相軌線 4 霍夫型分岔研究微分方程組： (2-1-8)引入極坐標(biāo)，(x-y)相平面上一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，則：， 對(duì)它們微分后有： (2-1-9)代入式(2-1-8)的第一式，并分別令正弦與余弦分量的系數(shù)分別相等，得： (2-1-10)對(duì)式(2-1-10)積分可得： (2-1-11a) (2-1-11b)式中，積分常數(shù)C與t0由初始條件決定。由式(2-1-11a)可見，對(duì)于0，相平面中的相點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離r隨時(shí)間縮短，當(dāng)時(shí)間t時(shí)r 趨于零，也就是說軸線上的各點(diǎn)是穩(wěn)定的焦點(diǎn)，相空

8、間中的各點(diǎn)都會(huì)趨近與它。由式(2-1-11b)可見，當(dāng)0時(shí)r 值隨時(shí)間增長(zhǎng)，不論初始r 值的大小如何，當(dāng)時(shí)間t時(shí)，最終r趨于，形成一閉合圈，即極限環(huán)。這種因參數(shù)從負(fù)變化到正，從焦點(diǎn)產(chǎn)生出極限環(huán)的分岔稱為霍夫分岔，分岔點(diǎn)位于=0。圖2-8給出了霍夫分岔中的極限環(huán)及軌線圖形。 圖2-8 霍夫分岔  作為例子，我們討論一下范德玻耳方程的分岔。在第一章分析范德玻耳方程時(shí)知道，該方程有一個(gè)極限環(huán)，在極限環(huán)內(nèi)是不穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，其周圍的軌線是向外發(fā)散的，說明存在霍夫分岔。范德玻耳方程可以寫成如下： (2-1-12)為了給出范德玻耳方程的相圖，引進(jìn)參數(shù)參數(shù)：I與q，它們分別稱為作用量與角度

9、量。在設(shè)= 0時(shí)，它們與變量x有如下關(guān)系： (2-1-13) (2-1-14)由式(2-1-13)得： (2-1-15)由式(2-1-13)與(2-1-15)兩式得： (2-1-16)對(duì)方程(2-1-16)求導(dǎo)得：利用方程(2-1-12)后上式為：將式(2-1-13)與(2-1-15)代入式(2-1-16)得： (2-1-17)并對(duì)式(2-1-17)的相位求平均，略去平均符號(hào)后得： (2-1-18)式中： 由方程(2-1-8)，使可求該方程式的平衡點(diǎn)： 現(xiàn)在分析兩個(gè)解的穩(wěn)定性。將式(2-1-18)改寫為： (2-1-19)對(duì)于平衡點(diǎn)鄰域有，注意到與IC相比是個(gè)高階小量，可以忽略。代入方程(2-

10、1-19)得：于是得解： (2-1-20)是初始對(duì)的偏離小量。解(2-1-20)說明作用量I隨時(shí)間指數(shù)增長(zhǎng)，是不穩(wěn)定解，它是不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。對(duì)于，在其鄰域有，代入方程(2-1-19)得：化簡(jiǎn)得：于是得解： (2-1-21)為對(duì)的初始偏離量。解(2-1-20)說明作用量I對(duì)的偏離量隨時(shí)間指數(shù)減小，當(dāng)，即。這是霍夫分岔。由此可見，在（）相平面上，范德玻耳方程的坐標(biāo)原點(diǎn)是不穩(wěn)定的焦點(diǎn)，而極限環(huán)是穩(wěn)定的，當(dāng)相空間的相點(diǎn)趨向于極限環(huán)，如圖2-9所示。然而，范德玻耳方程的這個(gè)性質(zhì)與方程中參數(shù)的正負(fù)有關(guān)。如果方程中參數(shù)為負(fù)值，則由解(2-1-20)與(2-1-21)將得到完全相反的結(jié)論。這時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的

11、焦點(diǎn)，成為系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)，而極限環(huán)則是不穩(wěn)定的。當(dāng)時(shí)，處于極限環(huán)內(nèi)的相點(diǎn)趨向于不動(dòng)點(diǎn)，處于極限環(huán)外的相點(diǎn)則遠(yuǎn)離而去。  圖2-9 范德玻耳方程霍夫分岔的相圖 第二節(jié) 平方映射與倍周期分岔1平方映射在物理上一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)可以用連續(xù)變量表示，也可以用離散數(shù)表示。例如一個(gè)以為連續(xù)變量的單參數(shù)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)： (2-2-1)這里為系統(tǒng)的參數(shù)。如果我們考察在等時(shí)間間隔t，t+1，t+2，t+3，中系統(tǒng)狀態(tài)的變化，則式(2-2-1)可以改寫為時(shí)間演化方程： (2-2-2)如果時(shí)間間隔不是整數(shù)，則可把各個(gè)時(shí)刻寫成，這里：，而把相應(yīng)的狀態(tài)記為：，其中 于是時(shí)間演化方程(2-2-2)變成了離散方

12、程： (2-2-3)這就是數(shù)學(xué)上稱之為映射的方程。可見用連續(xù)變量表示的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是微分方程，用離散數(shù)表示時(shí)為映射。其實(shí)它們之間有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如一個(gè)簡(jiǎn)單映射： (2-2-4)利用迭代方法求解。設(shè)起始值為，迭代方法為將代入上式得：由得：經(jīng)n迭代后得：計(jì)算得到的一組數(shù)值：，如果將值看成為一條線上的一個(gè)點(diǎn)，則該組數(shù)值就構(gòu)成一條軌道。與映射(2-2-4)對(duì)應(yīng)的微分方程為： (2-2-5)其解為：將簡(jiǎn)單的線性映射(2-2-4)與微分方程(2-2-5)的解作圖，如圖2-10所示映射的解是梯形的指數(shù)增長(zhǎng)的或下降的曲線，而微分方程給出的是連續(xù)的指數(shù)增長(zhǎng)或下降曲線。圖2-10 簡(jiǎn)單線性映射與微分方程解變化曲

13、線 1838年，生物學(xué)家伏埃胡斯脫（Verhulst）在研究生物種群演化時(shí)提出一種設(shè)想：一種世代交替的生物種群是在一個(gè)受制約的環(huán)境中生息繁衍的。如果令某類種群它的第n代的種群總數(shù)為Nn，則生態(tài)環(huán)境能提供維持種群數(shù)量有個(gè)最大限額，設(shè)為。當(dāng)然，實(shí)際種群總數(shù)不會(huì)超過最大限額，設(shè)兩者之比:則與分別為相繼兩代的種群數(shù)，為親代，為子代。如果無環(huán)境的限制，子代種群數(shù)量將與親代種群數(shù)成正比：考慮到種群生長(zhǎng)受環(huán)境的制約，則假定當(dāng)上述兩種因素同時(shí)考慮時(shí)，得離散方程： (2-2-6)式中為比例系數(shù)。給定比例系數(shù)，根據(jù)方程(2-2-6)就可以由某種群的親代數(shù)計(jì)算出以后的各代種群數(shù)。方程(2-2-6)被稱為生

14、態(tài)平衡方程。生態(tài)平衡方程為什么與非線性動(dòng)力學(xué)聯(lián)系了起來？原來，一個(gè)非線性系統(tǒng)往往有好幾個(gè)參數(shù)，例如雖然單擺是很簡(jiǎn)單的力學(xué)系統(tǒng)，但一個(gè)受驅(qū)單擺就有品質(zhì)因子q（=）、驅(qū)動(dòng)頻率和驅(qū)動(dòng)力矩F三個(gè)可變參數(shù)。每次計(jì)算時(shí)，需要事先設(shè)定方程中的兩個(gè)參數(shù)，然后計(jì)算系統(tǒng)的行為與第三個(gè)參數(shù)的關(guān)系。顯然，通過象單擺這樣的系統(tǒng)來認(rèn)識(shí)從規(guī)則運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)的機(jī)制太復(fù)雜了。能否尋找到一個(gè)具有混沌行為的單參量系統(tǒng)？我們希望找到這樣的單參量系統(tǒng)，通過它能清楚地看到一個(gè)系統(tǒng)從規(guī)則運(yùn)動(dòng)怎樣步入混沌狀態(tài)。正是在這樣的形勢(shì)下，數(shù)學(xué)物理學(xué)家梅（R.May）于1971年發(fā)現(xiàn)了單參量的方程(2-2-6)具有不同尋常的行為。與映射(2-2-6

15、)對(duì)應(yīng)的微分方程為：該微分方程的解為：其結(jié)果是平凡的。與微分方程的這個(gè)解不同，映射(2-2-6)的解卻具有非常復(fù)雜的行為。它能表達(dá)出一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是如何從規(guī)則運(yùn)動(dòng)步入混沌運(yùn)動(dòng)的?，F(xiàn)在回到映射方程(2-2-6)上來，該式也常寫成展開形式：因?yàn)楸硎居H、子兩代種群數(shù)與采用了約化取值，它們的取值范圍均在0與1之間，因此比例常數(shù)的取值范圍為0，4。由于值與值是平方關(guān)系，所以稱方程(2-2-1)為平方映射，文獻(xiàn)中也常稱為洛吉斯蒂映射（logistic map，logistic來自法文logistique，意為部隊(duì)宿營地）。其實(shí)，式(2-2-6)也是拋物線表示式，所以也常稱為拋物線映射。我們用迭代方法來計(jì)算

16、映射(2-2-6)。進(jìn)行迭代計(jì)算時(shí)，給定控制參數(shù)值與某一初始值，就有：，上述的迭代過程還可以采用圖解的方法。在坐標(biāo)上，先根據(jù)給定的值畫出由式(2-2-6)確定的拋物線。再在這同一坐標(biāo)圖上畫一條=的對(duì)角線稱為恒等線，通過它做投影。作圖的操作過程是這樣的，如圖2-11先給定控制參數(shù)值，例如=3.0，再給定初始值，例如。第一步從橫坐標(biāo)處作豎直線與拋物線相交，這點(diǎn)的縱坐標(biāo)高度即為。第二步從此點(diǎn)作水平線與對(duì)角線相交，此相交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為。第三步再由此點(diǎn)又作豎直線，得到與拋物線相交時(shí)的高度為，再將再移植到對(duì)角線上，找到橫坐標(biāo)的。再從這里作垂直線與拋物線相交得x3，如此不斷操作下去，于是得到一條軌道上的點(diǎn)，

17、。 圖2-11 平方映射的迭代圖解 2 平方映射的不動(dòng)點(diǎn)及其穩(wěn)定性2.1 平方映射的不動(dòng)點(diǎn)計(jì)算表明，平方映射的軌道上的點(diǎn)并不總是可以無限制延續(xù)下去的。在某些值下，計(jì)算可以得到一個(gè)不變的終值，它被稱為映射的不動(dòng)點(diǎn)。一個(gè)映射的不動(dòng)點(diǎn)就是第i次的數(shù)值與第i+1次迭代值相同時(shí)的數(shù)值，它不再因繼續(xù)迭代而發(fā)生變化。按不動(dòng)點(diǎn)的定義，對(duì)平方映射有：或得根： (2-2-7)這里，與即為它的不動(dòng)點(diǎn)。實(shí)際上用作圖方法也可得到平方映射的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，如圖2-12所示，它們是拋物線與迭代線的兩個(gè)交點(diǎn)A與B。拋物線的高度與值有關(guān)，最大高度在1/2處且等于/4。如果參數(shù)較小()，拋物線的高度較低，它與迭代

18、線只有一個(gè)交點(diǎn)，即原點(diǎn)A。在這種情況下，不管初值如何，迭代最終趨于原點(diǎn)，原點(diǎn)是唯一的不動(dòng)點(diǎn)。圖2-12平方映射的不動(dòng)點(diǎn) 圖2-13是取=0.8時(shí)的情況，圖2-13a是迭代作圖計(jì)算，根據(jù)上述的作圖方法從起始值為開始，迭代結(jié)果終值走到了坐標(biāo)的原點(diǎn)。圖2-13b是隨迭代次數(shù)n的變化曲線，可見這是一個(gè)指數(shù)衰變曲線，最終衰變到。從生態(tài)意義上說，雖然初始有一定的種群數(shù)量()，但是由于受到環(huán)境的制約這一種群最終走向了滅絕。 a b圖2-13，=0.8時(shí)終值走到了坐標(biāo)的原點(diǎn)=0由式(2-2-7)可知，當(dāng)時(shí)平方映射就會(huì)出現(xiàn)第二個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，它是非零的不動(dòng)點(diǎn)。非零的不動(dòng)點(diǎn)意味著某類種群有某個(gè)穩(wěn)定的生存數(shù)量。

19、但是對(duì)不同的值，迭代走向這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的過程有所不同。當(dāng)較小時(shí)，迭代單調(diào)地增長(zhǎng)趨向不動(dòng)點(diǎn)的，圖2-14所示的值為2.1就屬于這種情況。圖2-14a是迭代作圖計(jì)算，可以看到雖然起始值很小，但是每次迭代使增加，這是一個(gè)指數(shù)增長(zhǎng)并最終穩(wěn)定的過程。圖2-14b給出了隨迭代次數(shù)走向不動(dòng)點(diǎn)的過程，最終到達(dá)的B點(diǎn)。當(dāng)值增大時(shí)，迭代先出現(xiàn)振蕩起伏，然后逐步穩(wěn)定在某個(gè)數(shù)值。圖2-15是=2.8時(shí)是隨迭代次數(shù)n的變化曲線，可見這是在經(jīng)歷了數(shù)次上下起伏以后才達(dá)到穩(wěn)定。  a. b.圖2-14 =2.1，迭代單調(diào)地趨向個(gè)不動(dòng)點(diǎn) 圖2-15 =2.8時(shí)迭代振蕩地趨向個(gè)不動(dòng)點(diǎn)2.2 平方映射不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性

20、與通常動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)一樣，映射不動(dòng)點(diǎn)有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之分。非線性動(dòng)力學(xué)核心問題之一就是研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，因此這里要對(duì)平方映射不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性作些分析。當(dāng)在不動(dòng)點(diǎn)附近（也稱擾動(dòng)）進(jìn)行迭代時(shí)，如果迭代結(jié)果越來越趨近該不動(dòng)點(diǎn)，則該不動(dòng)點(diǎn)是穩(wěn)定的，與此相反，如果迭代結(jié)果離該不動(dòng)點(diǎn)越來越遠(yuǎn)，則它就是不穩(wěn)定的。上面已經(jīng)說到平方映射的拋物曲線的高度與參數(shù)值有關(guān)，那么，不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性應(yīng)該也與參數(shù)的大小有關(guān)。設(shè)一維映射 (2-2-8)具有解，,設(shè)為擾動(dòng)量，則繼續(xù)迭代有： (2-2-9)對(duì)式(2-2-9)的右邊在附近展開： (2-2-10)略去的高階小項(xiàng)，并利用不動(dòng)點(diǎn)方程(2-2-8)，則不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性可用映射在解附

21、近的斜率來表達(dá)： (2-2-11)對(duì)于穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，應(yīng)有，因此：實(shí)際上為映射在不動(dòng)點(diǎn)處的斜率為45°。條件(2-2-11)還有兩種情況：a. 迭代單調(diào)的趨近于，即如圖2-14所示的情況；b. 迭代經(jīng)過幾次上下起伏趨近于，圖2-15就是這種情況。當(dāng)不動(dòng)點(diǎn)的斜率滿足時(shí)，即不動(dòng)點(diǎn)的斜率為0°時(shí)，則稱為超穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)檫@是最有利的穩(wěn)定情況，在迭代圖上對(duì)應(yīng)于時(shí)的情況。為區(qū)別起見，與超穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)稱為超穩(wěn)定參數(shù)。對(duì)于不穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)應(yīng)有，因此：這時(shí)也有兩種情況：a. 迭代指數(shù)增長(zhǎng)；b. 迭代指數(shù)起伏增長(zhǎng)。3 平方映射的周期解及其穩(wěn)定性3.1平方映射的周期解當(dāng)平方映射的參數(shù)值從=

22、2.8繼續(xù)增大時(shí)，迭代出現(xiàn)的振蕩起伏將一直維持下去，這種情況稱為周期解。圖2-16就是值為3.1的迭代情況，取起始值，可見迭代的終值在一大一小的兩個(gè)定值之間往復(fù)跳躍，稱為周期2軌道運(yùn)動(dòng)。它對(duì)應(yīng)于生態(tài)演化中“大年”、“小年”的隔年交替輪換現(xiàn)象。圖2-16 =3.1，在一大一小兩個(gè)值間跳躍圖2-17 =3.52，出現(xiàn)4周期循環(huán)當(dāng)值進(jìn)一步增大時(shí)，迭代出現(xiàn)的振蕩起伏將出現(xiàn)更復(fù)雜的情況。計(jì)算表明，當(dāng)值增大3.5以上時(shí)，迭代的終值上下起伏，每隔四次出現(xiàn)重復(fù)，稱為周期4軌道運(yùn)動(dòng)。圖2-17是在=3.52時(shí)的n曲線，仍取起始值，由圖可見在經(jīng)過開始若干次的過渡過程之后，迭代終值就進(jìn)入了每隔四次重復(fù)的周期4軌道。

23、綜上可見，在確定的值下，迭代將進(jìn)入一個(gè)有限數(shù)值的循環(huán)重復(fù)之中，即在迭代次數(shù)后，就有,和,相同的情況，稱為周期p軌道。p=1時(shí)即為不動(dòng)點(diǎn)時(shí)的情況，因此常稱不動(dòng)點(diǎn)為周期1軌道；而上述的=3.1與=3.52時(shí)的迭代，則分別是p=2的周期2軌道與p=4周期4軌道。隨著的增加，還會(huì)出現(xiàn)更大周期的軌道。平方映射的軌道周期隨的增加而一次次成倍加長(zhǎng)的現(xiàn)象被稱為倍周期分岔。然而迭代也可能進(jìn)入軌道點(diǎn)xi永不重復(fù)的情況，表明體系有無限長(zhǎng)的周期。但是如果每迭代一定次數(shù)，軌道點(diǎn)雖然沒有準(zhǔn)確回到某個(gè)初始點(diǎn)xk，但與該點(diǎn)非常接近，則這種情況稱為準(zhǔn)周期軌道。實(shí)質(zhì)上準(zhǔn)周期軌道就可以看作為無限長(zhǎng)的周期軌道。3.2 周期解的穩(wěn)定性

24、從上面討論中看到參數(shù)的變化會(huì)引起軌道的周期性發(fā)生變化，因此映射的周期解也有一個(gè)穩(wěn)定性問題。我們先研究簡(jiǎn)單的周期2軌道的穩(wěn)定性，周期2軌道的解表現(xiàn)為將其代入映射方程，則可以寫為： (2-2-12)對(duì)于平方映射來說，有： (2-2-13)可見的表達(dá)式是比較復(fù)雜的，但是作圖出來很清楚，這是一條M形曲線。圖2-18 時(shí)的平方映射的周期1與周期2軌道由式(2-2-12)可見，周期軌道與不動(dòng)點(diǎn)之間具有類似性。如果體系有一個(gè)周期2軌道，則函數(shù)至少應(yīng)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。它們可以通過解方程來得到。圖2-18為時(shí)的曲線（上部）與曲線（下部）圖?？梢钥吹降乃膫€(gè)不動(dòng)點(diǎn)，它們分別為：，與。由圖可見與也是的不動(dòng)點(diǎn)，它們相應(yīng)于周

25、期1軌道；另外兩個(gè)點(diǎn)：與才是周期2軌道點(diǎn)。與周期2情況相同，對(duì)于周期n軌道，可以從解方程來獲得，不過這時(shí)候的曲線將變得更為復(fù)雜了。正如不動(dòng)點(diǎn)有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之分，周期軌道也有穩(wěn)定的與不穩(wěn)定的之分。穩(wěn)定的周期是如果在其附近給定一個(gè)初值，繼續(xù)迭代仍趨近于該周期。我們先考慮周期2軌道情況，設(shè)有不屬于的解。從的不動(dòng)點(diǎn)穩(wěn)定性條件（2-2-11）可知，的不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性應(yīng)決定于 利用復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈法則，上式可以寫為 (2-2-14)因此周期2的不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性決定于與兩點(diǎn)處函數(shù)點(diǎn)的斜率。這個(gè)結(jié)果可以推廣到任意的周期軌道，即： (2-2-15)作為例子，我們回顧圖2-17上的平方映射的周期1與周期2軌

26、道。由圖可見，由于的非零不動(dòng)點(diǎn)處的斜率大于1，因此周期1軌道是不穩(wěn)定的，然而對(duì)周期2來說可滿足穩(wěn)定性條件，所以是穩(wěn)定的。讀者可以通過簡(jiǎn)單的作圖發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不論周期1軌道還是周期2軌道都不滿足穩(wěn)定性條件，它們都是不穩(wěn)定的。4倍周期分岔的功率譜如上所述為了表示非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，我們除了采用時(shí)域（振動(dòng)的時(shí)間圖）表示外，更多地使用了相圖（狀態(tài)圖）表示方法。實(shí)際上頻域表示也是一種常用的分析方法。我們已經(jīng)看到，隨著參數(shù)值的增加，平方映射出現(xiàn)了軌道周期成倍加長(zhǎng)的倍周期分岔現(xiàn)象。從頻譜的角度來看系統(tǒng)的每一次分岔就意味著在頻譜圖中出現(xiàn)一批對(duì)應(yīng)的新的頻率分量。我們已經(jīng)知道小角度單擺作頻率為f的正弦周期運(yùn)動(dòng)，它在

27、相空間里是一個(gè)閉合的圓環(huán)。如果用頻譜表示，這是在以頻率為橫坐標(biāo)的坐標(biāo)f處的一個(gè)無限狹窄的尖峰，峰的高度為該頻率分量的強(qiáng)度（功率），常稱功率譜。如果系統(tǒng)出現(xiàn)一次倍周期分岔成為周期2軌道，在相圖上表現(xiàn)為軌線需轉(zhuǎn)兩圈后才閉合，在功率譜上則除f處的原有譜峰外在f/2處又將出現(xiàn)一個(gè)新的譜峰分量；如果系統(tǒng)再一次分岔成周期4軌道，相圖上的軌線需轉(zhuǎn)四圈后才閉合，則功率譜上除在f與f/2處的兩個(gè)峰外將在f/4與3f/4出現(xiàn)兩個(gè)新譜峰，如圖2-19所示?？梢姽β首V與周期相軌線具有對(duì)應(yīng)關(guān)系。 圖2-19 倍周期分岔的相圖與功率譜 對(duì)于平方映射來說，1P的不動(dòng)點(diǎn)，功率譜中只有基頻f，以及有可能出現(xiàn)

28、基頻的倍頻峰：2f，3f，；當(dāng)1P2P的分岔后，會(huì)出現(xiàn)1/2f的分頻，以及有可能出現(xiàn)1/2f分頻的倍頻峰：3/2，5/2，；而在2P4P的分岔中，功率譜圖應(yīng)出現(xiàn)的是1/4f和3/4f的分頻以及它們的諧波。圖2-20是平方映射在4P8P分岔后的各分頻峰的功率譜，圖中未給出各諧波峰。可以預(yù)計(jì)，隨著參數(shù)逼近值，由分岔引起的頻譜會(huì)越來越密，但是當(dāng)參數(shù)越過值后，迭代進(jìn)入無窮大周期的隨機(jī)狀態(tài)，即混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而功率譜也將從分立譜過渡到不可分的連續(xù)譜。因此從功率譜角度來看，如考慮到可能存在的噪聲，混沌運(yùn)動(dòng)的特征是具有噪聲背景的寬譜帶。為了在實(shí)驗(yàn)上獲得功率譜，通常對(duì)軌道上的點(diǎn)作大量取樣，然后作快速傅立葉分析。

29、設(shè)我們按等時(shí)間間隔得到時(shí)間序列：并人為地加上邊界條件，然后計(jì)算自相關(guān)系數(shù)，即離散巻積：再對(duì)作離散傅立葉變換，計(jì)算出傅立葉系數(shù) (2-2-16)代表第k個(gè)頻率分量對(duì)的貢獻(xiàn)。 圖2-20 平方映射在4P8P分岔后的功率譜 另外，也可以利用計(jì)算機(jī)的快速傅立葉變換功能，直接求的傅立葉系數(shù)然后計(jì)算 (2-2-17)于是就可從許多組得到一批，求出它的算術(shù)平均值后即趨近(2-2-16)的功率譜。第三節(jié) 流體不穩(wěn)定性與洛倫茲方程1流體中的不穩(wěn)定性1.1 貝耐特對(duì)流實(shí)驗(yàn)首先介紹一下貝納德對(duì)流實(shí)驗(yàn)。本世紀(jì)初，法國科學(xué)家貝納德(E.Benard)做了一個(gè)在兩塊平行平板間的充滿液體的加熱實(shí)驗(yàn)以觀察

30、液體的流動(dòng)情況，實(shí)驗(yàn)裝置的示意圖如圖2-21所示，平板在y方向無限伸展。實(shí)驗(yàn)時(shí)下面板被均勻緩慢地加熱，因此在上下平板之間出現(xiàn)溫差。開始時(shí)平板間的液體是靜止的，沒有任何宏觀的運(yùn)動(dòng)，但當(dāng)加熱到一定程度時(shí)液體開始翻動(dòng)起來出現(xiàn)了對(duì)流現(xiàn)象?？梢婋S著溫度的上升這樣的流體系統(tǒng)經(jīng)歷著一個(gè)由穩(wěn)定到不穩(wěn)定，再到新的穩(wěn)定態(tài)的分岔過程。 圖2-21 貝納德對(duì)流實(shí)驗(yàn)1916年英國學(xué)者瑞利首先從理論上對(duì)貝納德實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了解釋。他注意到加熱時(shí)靠近下面板的底層液體首先被加熱，由于熱脹冷縮這一層液體受到向上的浮力而上升。顯然浮力的大小與溫度差DT和兩板之間的距離有關(guān)。除浮力以外流體還有粘滯力，它會(huì)阻礙流體的向上運(yùn)動(dòng)。這

31、樣，由浮力和粘滯力兩者之間的關(guān)系決定了底層液體的向上運(yùn)動(dòng)。為具體衡量?jī)闪χg的對(duì)比，定義了一個(gè)無量綱參數(shù). (2-3-1)R稱為瑞利數(shù)，式中g(shù)為重力加速度，a為熱脹系數(shù)，d為兩塊板的間距，h為粘滯系數(shù)，DT為擴(kuò)散系數(shù)。由式(2-3-1)可見，瑞利數(shù)R與溫度差成正比，溫度差加大時(shí)，R值增加。瑞利數(shù)有一臨界值，當(dāng)R超過臨界值時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)分岔，流體變得不穩(wěn)定開始出現(xiàn)翻動(dòng)與對(duì)流，稱為貝納德不穩(wěn)定性。臨界值為： (2-3-2)其中k是與x方向環(huán)流波數(shù)（當(dāng)時(shí)有一最小值）。有趣的是在其翻動(dòng)對(duì)流時(shí)會(huì)形成一種象蛋卷一樣很規(guī)則的圖形，如圖2-21b所示。由于實(shí)驗(yàn)中的底層液體是被均勻加熱的，哪里都沒有開始宏觀運(yùn)動(dòng)的優(yōu)

32、先權(quán)。形成規(guī)則圖案是對(duì)均勻液體的一種對(duì)稱破缺，是解決這個(gè)矛盾一種途徑。規(guī)則圖形還有其它種種圖樣，具體出現(xiàn)那種圖案還與容器的結(jié)構(gòu)有關(guān)，類似蛋卷樣的圖形只是諸多規(guī)則圖形之一。當(dāng)R進(jìn)一步增加時(shí)，規(guī)則的對(duì)流圖形將受到破壞，系統(tǒng)進(jìn)入到了湍流狀態(tài)。1.2倍周期分岔的流體實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)從分岔觀點(diǎn)分析，兩塊平板間的液體隨著溫差的升高所出現(xiàn)從靜止發(fā)展到對(duì)流也是一種分岔現(xiàn)象。帶著這樣的觀點(diǎn)，低溫物理學(xué)家利布沙伯(ALibchaber)于1980年用液氦重做了貝耐特對(duì)流實(shí)驗(yàn)以尋找其間存在的規(guī)律。液氦粘度極低，可以在極輕微的推動(dòng)下出現(xiàn)對(duì)流，這是利布沙伯選用液氦來做對(duì)流實(shí)驗(yàn)的原因。他設(shè)計(jì)了一個(gè)非常精巧的實(shí)驗(yàn)裝置：一個(gè)很小的不

33、銹鋼液氦的容器，其長(zhǎng)度為3mm，寬度與高度分別為1.5mm與1.25mm。用高純度銅做容器的底板，容器蓋是用蘭寶石做的，在蘭寶石上嵌入兩個(gè)精巧的溫度計(jì)，用以監(jiān)視兩點(diǎn)的溫度。容器中的液氦對(duì)溫度非常敏感，只要上下液面之間存在千分之一的溫度差，就可出現(xiàn)對(duì)流。對(duì)流發(fā)生時(shí)液氦在中心升起，往左右分流，然后沿腔壁下降形成兩個(gè)對(duì)流圈的翻動(dòng)。對(duì)流會(huì)引起溫度變化，因此可以從溫度計(jì)輸出信號(hào)的變化中分析出對(duì)流的產(chǎn)生過程與變化規(guī)律。但是實(shí)驗(yàn)遇到了困難，接受到的信號(hào)受噪聲的干擾很大，很難從中分析出有用的信息。于是利布沙伯將接收到的隨時(shí)間變化信號(hào)進(jìn)行了傅立葉變換，再從變換后的頻譜圖來分析液氦的對(duì)流信息。圖2-22是利布沙伯

34、所將記錄信號(hào)經(jīng)傅立葉變換后的功率譜。由圖可見，開始時(shí)功率譜中只有對(duì)流翻動(dòng)頻率為f的基波峰，相應(yīng)液氦作兩個(gè)對(duì)流圈翻動(dòng)。隨著瑞利數(shù)的增大，在功率譜中頻率為基波頻率f一半的倍周期（f/2）諧波出現(xiàn)了，接著又出現(xiàn)f/4、f/8等的次諧波。利布沙伯獲得的這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯然是一種倍周期分岔現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明倍周期分岔不僅在平方映射這樣的數(shù)學(xué)模型中存在，而且在真實(shí)的物理學(xué)系統(tǒng)中也會(huì)出現(xiàn)。受到利布沙伯用液氦成功地檢測(cè)到倍周期分岔結(jié)果的啟發(fā)，許多學(xué)者開始在不同類型的動(dòng)力系統(tǒng)中去尋找倍周期分岔現(xiàn)象。果然除了流體的對(duì)流實(shí)驗(yàn)以外，倍周期分岔現(xiàn)象在LCR振蕩、激光振蕩、化學(xué)反應(yīng)等許多過程中都相繼得到了證實(shí)，從而說明了倍周

35、期分岔是存在于許多動(dòng)力學(xué)過程中的一種普遍現(xiàn)象。圖2-22 利布沙伯實(shí)驗(yàn)記錄的液氦對(duì)流中的功率譜3 洛倫茲方程解的分岔3.1 洛倫茲方程二十世紀(jì)六十年代蓬勃發(fā)展的計(jì)算機(jī)技術(shù)開始得到廣泛應(yīng)用，其中包括長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)。大氣與液體同屬流體，太陽照射使地面升溫，靠近地面的氣體受到加熱而高層大氣還是冷的，于是上下層氣體之間將會(huì)出現(xiàn)對(duì)流，產(chǎn)生類似于貝納德實(shí)驗(yàn)中的對(duì)流現(xiàn)象。在美國氣象學(xué)局工作的數(shù)學(xué)家洛倫茲(E.Lorens)將大氣對(duì)流與貝納德液體對(duì)流聯(lián)系起來，企圖用數(shù)值方法進(jìn)行長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)。從貝耐特對(duì)流出發(fā)，利用流體力學(xué)中的納維葉斯托克斯(NavierStokes)方程、熱傳導(dǎo)方程和連續(xù)性方程，洛倫茲推導(dǎo)出描述

36、大氣對(duì)流的微分方程： (2-3-3)它被稱為洛倫茲方程，式中x是對(duì)流的翻動(dòng)速率，y比例于上流與下流液體之間的溫差，z是垂直方向的溫度梯度，s無量綱因子，稱為Prandtl數(shù)，它等于; b為反映速度阻尼的常數(shù)：; r為相對(duì)瑞利數(shù)：。方程組(2-3-3)稱為洛倫茲方程，其中xz與xy是非線性項(xiàng)，求導(dǎo)是對(duì)為無量綱時(shí)間進(jìn)行的：洛倫茲方程是一個(gè)能量耗散系統(tǒng)，這可以從它的相空間隨時(shí)間變化特性去證明。設(shè)在x,y,z的三維相空間內(nèi)取一個(gè)閉合曲面，該曲面所包圍的體積V隨時(shí)間的變化與其中代表點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有如下關(guān)系： (2-3-4)式中為代表點(diǎn)在相空間的相應(yīng)方向上的運(yùn)動(dòng)速度。將此公式應(yīng)用于洛倫茲方程，于是就有 (2-3

37、-5)解方程(2-3-5)，得 (2-3-6)式中為初始相空間的體積。由于參數(shù)與，可見洛倫茲方程的相空間體積是隨時(shí)間收縮的，初始時(shí)的有限相體積隨時(shí)間收縮到一點(diǎn)，這點(diǎn)應(yīng)是坐標(biāo)的原點(diǎn)。由此可見洛倫茲方程描寫的是一個(gè)耗散系統(tǒng)。正如阻尼單擺那樣，耗散意味著系統(tǒng)存在吸引子。3.2 洛倫茲方程解的分岔由可得洛倫茲方程(2-3-3)的三個(gè)平衡點(diǎn)：；, 然而如果后兩個(gè)平衡點(diǎn)就不存在，只存在一個(gè)平衡點(diǎn)。因此平衡點(diǎn)是洛倫茲方程的不動(dòng)點(diǎn)，相應(yīng)于貝納爾德實(shí)驗(yàn)中的液體的靜止定態(tài)。因此洛倫茲方程的平衡點(diǎn)將隨瑞利數(shù)r的增加而發(fā)生分裂，原來穩(wěn)定的平衡點(diǎn)變?yōu)椴黄胶鉅顟B(tài)。為了研究平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問題，我們將方程(2-3-3)寫成矩

38、陣形式 (2-3-7)首先討論原點(diǎn)的穩(wěn)定性。為此對(duì)原點(diǎn)附近作線性化處理，即在附近有：由行列式 (2-3-8)可得特征方程： (2-3-9)由于參數(shù)，方程(2-3-9)有三個(gè)根，即：, (2-3-10)由式(2-3-10)可見，在范圍內(nèi)所有的根，因此坐標(biāo)原點(diǎn)是穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，它是方程的唯一吸引子，所有的軌線吸引到坐標(biāo)的原點(diǎn)，如圖2-23。圖2-23 坐標(biāo)原點(diǎn)是洛倫茲方程的穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn) 如方程(2-3-9)就有一正根，于是分支出兩個(gè)新的平衡點(diǎn)與，其坐標(biāo)分別為： (2-3-11)說明在時(shí)系統(tǒng)將發(fā)生一次分岔，跨越意味著原點(diǎn)的吸引子喪失了穩(wěn)定性，出現(xiàn)了局部的不穩(wěn)定性。這時(shí)在坐標(biāo)的原點(diǎn)出現(xiàn)了一維不穩(wěn)

39、定的流形，如圖2-24所示。這是一次叉式分岔。相應(yīng)于在貝納德實(shí)驗(yàn)中流體從靜態(tài)走向?qū)α鞣瓌?dòng)。 圖2-24 時(shí)原點(diǎn)為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，同時(shí)出現(xiàn)兩新的穩(wěn)定平衡點(diǎn) 現(xiàn)在討論時(shí)出現(xiàn)的兩個(gè)新平衡點(diǎn)與的穩(wěn)定性。于是對(duì)它們的鄰域作線性化處理，得：，仿照(2-3-8)的做法，可得特征方程： (2-3-12)在它的三個(gè)根中有一實(shí)根和一對(duì)共軛復(fù)根，其中實(shí)根說明坐標(biāo)原點(diǎn)為鞍點(diǎn)。共軛復(fù)根的實(shí)部為負(fù)，說明兩個(gè)新平衡點(diǎn)與是穩(wěn)定的焦點(diǎn)，它們是與鄰域螺旋線的吸引點(diǎn)，如圖2-25所示。與穩(wěn)定焦點(diǎn)的出現(xiàn)說明貝納德實(shí)驗(yàn)形成了穩(wěn)定的定態(tài)對(duì)流。圖2-25 兩個(gè)穩(wěn)定的和一個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn) 當(dāng)r繼續(xù)增加到時(shí)，兩個(gè)螺

40、旋線外徑會(huì)接觸并合并到一起。到時(shí)，若式(2-3-12)中與項(xiàng)的系數(shù)之積等于常數(shù)項(xiàng)，則共軛復(fù)根是純虛數(shù)： (2-3-13)這時(shí)得：. (2-3-14)說明時(shí)兩個(gè)平衡點(diǎn)與發(fā)展成了中心點(diǎn)，其鄰域的相軌線是橢圓。而當(dāng)時(shí)共軛復(fù)根的實(shí)部為正值，與成了不穩(wěn)定的焦點(diǎn)，如圖2-26所示，于是定態(tài)對(duì)流失穩(wěn)。所以是定態(tài)對(duì)流穩(wěn)定性的閾值，若，定態(tài)對(duì)流是穩(wěn)定的；若，如r值足夠大的，定態(tài)對(duì)流是不穩(wěn)定的。在定態(tài)對(duì)流穩(wěn)定性的數(shù)值計(jì)算中，通常把參數(shù)b、s 固定，例如?。簊 =10，b = 8/3，于是可算得：。這時(shí)將出現(xiàn)一次新分岔霍夫分岔，平衡點(diǎn)與將失穩(wěn)，成為奇怪吸引子。圖2-26 時(shí)兩個(gè)螺旋線外徑合并到一起 第四節(jié)

41、 第四節(jié)       李雅普諾夫指數(shù)與奇怪吸引子1. 李雅普諾夫指數(shù)從阻尼單擺、范德玻耳方程等系統(tǒng)的相圖討論中知道，由于能量耗散系統(tǒng)的狀態(tài)最終都會(huì)收縮到吸引子所表示的狀態(tài)上。從廣義的角度講，這是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)在t 時(shí)所呈現(xiàn)的與時(shí)間無關(guān)的定態(tài)，并且不管選取什么樣的初始值其終值的定態(tài)只有一個(gè)，也就是說終值與初始值無關(guān)。人們稱這類吸引子為平庸吸引子，因此平庸是指常態(tài)、無變化的意思。奇怪吸引子是相對(duì)于平庸吸引子而言的，它們的特點(diǎn)之一是終態(tài)值與初始值密切相關(guān)，或者說對(duì)初始值具有極端敏感性。這一現(xiàn)象相傳是洛倫茲在一次計(jì)算中首次偶然發(fā)現(xiàn)的。1961年

42、洛倫茲在進(jìn)行數(shù)值長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)的計(jì)算，當(dāng)時(shí)在計(jì)算中使用了一臺(tái)現(xiàn)在看來速度太慢的計(jì)算機(jī)，因此在考察洛倫茲方程的一個(gè)解在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的行為需要進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)算。有一次他在計(jì)算中斷后重新開始計(jì)算時(shí)，把上一次計(jì)算的中間數(shù)據(jù)作為這次計(jì)算的初始值輸入計(jì)算機(jī)，指望在重復(fù)給出上次的計(jì)算結(jié)果后計(jì)算機(jī)再繼續(xù)運(yùn)行下去。然而出人意料的是計(jì)算結(jié)果只在開始的一小段與原來結(jié)果偏差很小，之后偏差越來越大以致得到完全相反的結(jié)果。洛倫茲意識(shí)到問題出在他輸入數(shù)據(jù)的精度上。因?yàn)橛?jì)算機(jī)能以六位小數(shù)運(yùn)行，這次存儲(chǔ)下的是：0.606127，而打印機(jī)僅打印了前三位數(shù)字：0.606。這次他是以這個(gè)三位小數(shù)作為重新計(jì)算的初始值，忽略掉了尾數(shù)0.000

43、127。洛倫茲認(rèn)為造成重大偏差的原因就是忽略掉了這點(diǎn)尾數(shù)，由此他認(rèn)定這個(gè)方程對(duì)初始值具有高度的敏感性。洛倫茲將這一現(xiàn)象形象地比喻為“蝴蝶效應(yīng)”，意思是說一只蝴蝶扇動(dòng)翅膀所引起的氣流擾動(dòng)會(huì)發(fā)展成一場(chǎng)“巨大風(fēng)暴”?，F(xiàn)在知道，在一定的參數(shù)值下有一些動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)出對(duì)初值的敏感性現(xiàn)象，即使是簡(jiǎn)單的平方映射也有這樣的特性。我們已經(jīng)看到，當(dāng)平方映射映射的參數(shù)，不管初始取值如何迭代的終態(tài)值是周期（單周期、雙周期、）的，說明在此參數(shù)值下平方映射的這些解表現(xiàn)為平庸吸引子。但當(dāng)參數(shù)時(shí)迭代的終態(tài)值將進(jìn)入隨機(jī)混沌狀態(tài)，終態(tài)值與初始取值密切相關(guān)，初始取值的細(xì)微差別可能會(huì)導(dǎo)致完全不同的結(jié)果，這時(shí)的吸引子毫無周期可言，轉(zhuǎn)

44、變成所謂的奇怪吸引子。為了具體了解奇怪吸引子中相軌線對(duì)初始擾動(dòng)的敏感性，我們考察平方映射的兩個(gè)迭代運(yùn)算 (2-4-1)如上所述，當(dāng)m大于3.5966時(shí)，該映射可以進(jìn)入混沌?，F(xiàn)在取m = 4并取有一點(diǎn)微小的差別的兩個(gè)初始值與：=0.370，=0.380，運(yùn)算結(jié)果如表3.1所列。由表可見，經(jīng)過前第四次迭代兩個(gè)運(yùn)算結(jié)果還沒有顯出太大差別，但是從第五次開始迭代結(jié)果的差別就非常顯著了。 表 3.1 初始值與的微小誤差的迭代運(yùn)算N012345678910Xn0.3700.9320.2520.7540.7410.7670.7150.8140.6050.9560.167Yn0.3800.9420.2

45、170.6800.8700.4510.9900.0380.1470.5010.999 為了從理論上定量地考察一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)對(duì)初始值的敏感性問題，我們研究一下兩個(gè)系統(tǒng)： (2-4-2)設(shè)其初始值有一微小誤差，經(jīng)過一次迭代以后有： (2-4-3)式中：由式(2-4-3)可見，對(duì)初始擾動(dòng)的敏感的程度由導(dǎo)數(shù)決定。顯然與初始值有關(guān)。由于我們需要描述映射的整體敏感性，而不只是某一個(gè)初始條件，為此需要對(duì)全部初始條件進(jìn)行平均。通過繼續(xù)迭代可以完成這種平均工作。由第二次迭代得：第n次迭代得： (2-4-4)式中為多重乘號(hào)。因此，每次迭代產(chǎn)生的平均分離值為：這是的幾何平均值。在非線性動(dòng)力學(xué)中，分離的程度

46、通常用李雅普諾夫（Lyapunov）指數(shù)來度量，定義為該值的對(duì)數(shù)： (2-4-5)式中為第n次迭代后的值。取，得常用的李雅普諾夫指數(shù)的計(jì)算公式： (2-4-6)利用李雅普諾夫指數(shù)，相空間內(nèi)初始時(shí)刻的兩點(diǎn)距離將隨時(shí)間（迭代次數(shù)）作指數(shù)分離：。需要注意在一維映射中只有一個(gè)值，而在多維相空間情況下一般就有多個(gè)，而且沿相空間的不同方向，其(i=1,2,)值一般也是不同的。設(shè)為多維相空間中兩點(diǎn)的初始距離，則經(jīng)n次迭代后兩點(diǎn)的初始距離為： (2-4-7)式中指數(shù)值可正可負(fù)。0表示沿該方向擴(kuò)展，0表示沿該方向收縮，于是在經(jīng)過一段時(shí)間（數(shù)次迭代）以后，兩個(gè)不同的值使相空間中原來的圓球演變?yōu)闄E球了，如圖2-27

47、所示。圖2-27 經(jīng)過數(shù)次迭代后，相空間中的圓球演變?yōu)椴粚?duì)稱橢球 我們知道，穩(wěn)定體系的相軌線相應(yīng)于趨向某個(gè)平衡點(diǎn)，如果出現(xiàn)越來越遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)，則體系是不穩(wěn)定的。正值的正是描述了這樣的不穩(wěn)定性。研究表明一個(gè)系統(tǒng)只要有一個(gè)正值的就可出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。因此，在判別一個(gè)非線性系統(tǒng)是否存在混沌運(yùn)動(dòng)時(shí)，需要檢查它的最大李雅普諾夫指數(shù)是否為正值。于是我們可以按照的符號(hào)可對(duì)吸引子的性質(zhì)進(jìn)行分類。對(duì)于三維空間有以下幾種吸引子類型：當(dāng)三個(gè)指數(shù)均為負(fù)值，相點(diǎn)收縮到一點(diǎn)，即存在不動(dòng)點(diǎn)；當(dāng)三個(gè)指數(shù)中有一個(gè)為零另外兩個(gè)為負(fù)值，相點(diǎn)收縮在一個(gè)環(huán)上，這是極限環(huán)；三個(gè)指數(shù)中兩個(gè)為零一個(gè)為負(fù)值，相點(diǎn)收縮在一個(gè)二維的環(huán)面上，這

48、是二維環(huán)面；吸引子；最后一種情況是三個(gè)指數(shù)中有一個(gè)為正值，另外對(duì)于三維相流要求相應(yīng)于相流方向的指數(shù)為零，于是最后那個(gè)指數(shù)必定為負(fù)，這是系統(tǒng)出現(xiàn)奇怪吸引子的情形。前三種吸引子都是平庸吸引子。在第四章中我們還要討論吸引子的空間維數(shù)。平庸吸引子的維數(shù)都為整數(shù)。與整數(shù)維的平庸吸引子不同，奇怪吸引子維數(shù)一般為非整數(shù)，稱為分?jǐn)?shù)維數(shù)。因此分?jǐn)?shù)維數(shù)是奇怪吸引子的另一重要特征。近年的非線性系統(tǒng)研究表明，吸引子可能存在于高維相空間內(nèi)。在這高維相空間中大于零的李雅普諾夫指數(shù)也可能不止一個(gè)，顯然這樣體系的運(yùn)動(dòng)情況將為更加復(fù)雜。人們常稱高維相空間中有多個(gè)正值李雅普諾夫指數(shù)的混沌為超混沌。將三維空間推廣到高維空間，由指數(shù)

49、的值決定的各種類型的吸引子可以歸納如下： 吸引子類型維 數(shù)不動(dòng)點(diǎn)D = 0極限環(huán)D = 1二維環(huán)面D = 2三維環(huán)面D = 2奇怪吸引子（混沌）D = 23（非整數(shù)）超混沌D = 高于3非整數(shù)對(duì)于一維映射，利用BASIC計(jì)算程序可以方便地求得它們的李雅普諾夫指數(shù)。作為例子，圖2-28給出了一維的平方映射的指數(shù)的變化曲線。由圖可見平方映射的指數(shù)隨參數(shù)值變化起伏很大，但它有一個(gè)臨界參數(shù)值（=3.5699），當(dāng)時(shí)盡管指數(shù)隨值有很大的變化但始終處于負(fù)值，最多只升高到零附近。當(dāng)以后指數(shù)開始轉(zhuǎn)為正值，也就是說平方映射從這里開始由規(guī)則運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)為混沌，或者說迭代進(jìn)入到混沌狀態(tài)。由圖還可以發(fā)現(xiàn)在進(jìn)入混沌

50、以后，值仍有忽大忽小的變化，特別是在某些值處值又突然由正轉(zhuǎn)變到負(fù)，說明在這些地方平方映射又轉(zhuǎn)入到規(guī)則運(yùn)動(dòng)。所以從值的變化可以看出，平方映射具有規(guī)則隨機(jī)規(guī)則隨機(jī)相交織的非常復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖2-28 平方映射的李雅普諾夫指數(shù)隨參數(shù)值的變化下面是一個(gè)可以運(yùn)行的計(jì)算平方映射的指數(shù)隨參數(shù)值變化的Qbasic計(jì)算程序。該程序在運(yùn)行中在顯示器屏幕上顯示出運(yùn)行結(jié)果，非常直觀。尤其是參數(shù)值的運(yùn)行范圍可以隨意調(diào)換，以對(duì)自己感興趣的區(qū)域進(jìn)行計(jì)算。下面程序所取參數(shù)值范圍為3.44.0。REM Chaos L-exponents Diagram 01CLSSCREEN 10WINDOW (0, 0)-(630, 47

51、0)pi = 3.141593c1 = 10c2 = 10LINE (50, 250)-STEP(520, 0), c1LINE (50, 30)-STEP(0, 460), c1n = 500: m = 0: e = .0001DIM x(n), y(5000)u = 3.4: b1 = uIF INKEY$ = "x" THEN GOTO f2f1: x = .3FOR i = 0 TO n - 1IF INKEY$ = "x" THEN GOTO f2x(i) = LOG(ABS(u - 2 * u * x)x = u * x * (1 - x)NEXT iFOR i = 0 TO