因式分解經(jīng)典講義

1、學習資料歡迎下載第二章分解因式【知識要點】1分解因式（1）概念： 把一個 _化成幾個 _的形式， 這種變形叫做把這個多項式分解因式 。（ 2）注意： 分解因式的實質(zhì)是一種恒等變形，但并非所有的整式都能因式分解。分解因式的結(jié)果中，每個因式必須是整式。分解因式要分解到不能再分解為止。2分解因式與整式乘法的關系整式乘法是 _ ；分解因式是 _ ；所以，分解因式和整式乘法為_關系。3提公因式法分解因式（1）公因式： 幾個多項式 _的因式。（2）步驟： 先確定 _，后 _ 。（3）注意： 當多項式的某項和公因式相同時，提公因式后該項變?yōu)?。當多項式的第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“”號。4運用公式法分

2、解因式（1）平方差公式： _（2）完全平方公式： _注：分解因式還有諸如十字相乘法、分組分解法等基本方法，做為補充講解內(nèi)容?！究键c分析】考點一：利用提公因式法分解因式及其應用【例 1】分解因式：（1）4m316m226 m（2） 2x( yz)3( yz)（3） x( xy)( xy)x(xy)2（ 4）(3a4b)(7 a8b)(11a12b)(7 a8b)學習資料歡迎下載解析：（ 1）題先提一個“”號，再提公因式 2m ；（ 2）題的公因式為yz ；（ 3）題的公因式為x(x y) ；（ 4）題的公因式為7a 8b。答案：（ 1） 2m(2 m28m13) ；（ 2） ( yz)(2 x3

3、) ；（ 3） 2xy( xy) ；（ 4） 2(7 a8b)2?！纠?2】（ 1）已知 xy5， xy6 ，求 2x2 y2xy2 的值。（2）已知 ba6 ， ab7 ，求 a2 bab2的值。解析：（ 1）題： 2x2 y2xy22xy( xy) ，所以考慮整體代入求該代數(shù)式的值；（2）題： a2b ab2ab(ab) ，整體代入求值時注意符號。答案：（ 1） 60（ 2）42【隨堂練習】1分解因式：（1） 2x3 y4 10 x2 y32x2 y2（ 2） (mn)(mn)(nm)(m 2n)（3） (2 x 3y)(a b) (3 x 2y)(a b)（ 4） x3 ( x 2) 2

4、x2 (2 x) 2x2 (x 2)2xy123(2 xy)2 (x 3y) 的值2不解方程組2y，求 (2 x y)x11注：（1）公因式應按 “系數(shù)大（最大公約數(shù)），字母同，指數(shù)低”的原則來選取。學習資料歡迎下載（2）當多項式的某項和公因式相同時，提公因式后該項變?yōu)?1，而不是沒有。（ 3）當多項式的第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“ ”號。（ 4）利用分解因式 整體代入 往往應用于代數(shù)式的求值問題。考點二：利用平方差公式分解因式及其應用【例 3】分解因式：（1） (3 x1)2(x2) 2（2） p4q4解析：（ 1）題：原式從整體看符合平方差公式，所以整體套用平方差公式；（ 2）題：

5、p4q4( p2 )2(q2 ) 2 ，所以符合平方差公式，此題注意分解完全。答案：（ 1） (4 x1)(2 x3) ；（2） ( p2q2 )( pq)( pq) ?！纠?4】計算：（ 1） (1 12)(112 )(112 )(112 ) ；567200（ 2） 200822007 20099992 .解析：（ 1）題：原式中每一個因式符合平方差公式，可以借助分解因式簡化計算。原式( 11) ( 1111)11)55) ( 1) ( 1( 1) ( 1662 0 02 0 046571 9 92 0 142 0 12 0 155662002005200250（ 2）題：先化簡，再使用平方

6、差公式。原式20082(20081)(20081)999220082(200821)9992129992(1999)(1999)998000答案：（ 1） 201 ；（ 2）。250998000【例 5】利用因式分解說明： 367612能被 140 整除。解析： 對于符號相反的二項式， 我們考慮使用平方差公式。 此種題型應先將兩項化為底數(shù)相同的情況，再利用提取公因式法和平方差公式進行因式分解，最后湊出除數(shù)。71 2271 21 461 261 221 235 6 1403 66( 6 )66( 61 ) 6所以 367612 能被 140 整除?！倦S堂練習】學習資料歡迎下載1分解因式：（1）

7、ax 4a（ 2） 9x2 (ab)y2 (ba)2. 利用分解因式說明： 257 512 能被 60 整除 .注：（1）平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：二項式，兩項都是平方項，且兩項符號相反；（ 2）公式中的 a, b 可以是具體數(shù)，也可以是代數(shù)式；（ 3）在運用平方差公式的過程中，有時需要變形?？键c三：利用完全平方公式分解因式及其應用【例 6】（ 1）分解因式：abx22abxyaby2（2）已知 1 x2bx36 是完全平方式，求b 的值。4（ 3）計算： 9999 9999 19999 .解析：（ 1）題：原式要先提取公因式，再利用完全平方差公式進行分解。（ 2）題：此種題型考察完全平方公式的

8、特征，中間項是首尾兩項底數(shù)積的 2 倍（或其相反數(shù)）。（ 3）題： 9999 9999199999999 2299991 (9999 1) 210 8。答案：（ 1） ab (x y)2 ；（2） 6；（3） 108【例 7】（四川·成都） 已知 y1 x1，那么1 x22 xy3 y22 的值是 _。331 (x1 x解析： 原式的前三項可以進行因式分解，分解為3y) 2 ，再將 y1 變形為33x 3y 3 ，整體代入求值。答案： 1【隨堂練習】學習資料歡迎下載1（ 1）分解因式：2( ab)(ab) 21（ 2）若多項式a2(k1)ab9b2 能運用完全平方差公式進行因式分解，

9、求k 的值。（ 3） 1999 1999 2000 19992（ 1）已知： ab 5 ， ab3 ，求代數(shù)式 a3b 2a2b2ab3 。（ 2）當 s t1時，求代數(shù)式 s22st t 2 的值。2注：（ 1）完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是：三項式，首尾兩項分別為兩個數(shù)的平方，中間項是兩個底數(shù)積的2倍（或其相反數(shù)） ；（2）公式中的a, b 可以是具體數(shù)，也可以是代數(shù)式；考點四：綜合利用各種方法分解因式及其應用【例 8】分解因式：（1） 81m472 m2n216 n4（2） a24a4c2解析：（ 1）、（2）題都應先利用完全平方公式，再利用平方差公式進行因式分解。答案：（ 1） (3m 2n

10、)2 (3m 2n)2 ；（ 2） (a2c)(a2 c) ?！纠?9】（福建·漳州） 給出三個多項式：1 x22x1,1 x24x 1,1 x2 2 x ，請選擇你222最喜歡的兩個多項式進行加減運算，使所得整式可以因式分解，并進行因式分解。解析： 本題是一道開放題，只要所得整式可以因式分解。本題可任取兩個多項式進行加法運算再因式分解。如： (1x22x 1) (1x24x 1) x26x x(x 6)22學習資料歡迎下載【例 10】已知 a, b,c 分別是三角形 ABC 的三邊，試證明 (a2b2c2 ) 4a2b20解析： 已知 a,b,c 分別是三角形ABC 的三邊，可以想

11、到利用三角形的三邊關系，再由不等式的左邊是平方差形式，可想到利用平方差公式分解因式。(a2b2c2 )4a2b2(a2b2c22ab)( a2b2c22ab)ab22a2c2cb(abc)(ab c)( a bc)(a bc)由三角形三邊關系可知，上式的前三個因式大于0，而最后一個因式小于0，則有：(a2b2c2 )4a2b20【隨堂練習】1分解因式：（1） ( x2y 2 )24x2 y2（2） a46a 2272. （ 2009，吉林） 在三個整式：x22xy, y22 xy, x2 中，請你任意選出兩個進行加（或減）法運算，使所得整式可以因式分解，并進行因式分解。注：分解因式的一般步驟可

12、歸納為：“一提、二套、三查”。一提： 先看是否有公因式，如果有公因式，應先提取公因式；二套： 再考察能否運用公式法分解因式；運用公式法，首先觀察項數(shù)，若為二項式 ，則考慮用平方差公式；若為 三項式 ，則考慮用完全平方公式。三查： 分解因式結(jié)束后，要檢查其結(jié)果是否正確，是否分解徹底?！眷柟烫岣摺恳?、選擇題1下列從左到右的變形中，是分解因式的有（）學習資料歡迎下載 ( x 1)( x 2) x2x 2 x 29 (3 x)(3 x) ab a b 1 ( a 1)(b 1) a 24 a (a 2)( a 2) a ( y 1)( y 3)(3 y)( y 1) a2 1 = a( a1 )aA、

13、1個B、2 個C、3 個D、4 個2下列多項式能分解因式的是（）A 、 x2yB、 x21C、 x2yy2D、 x24x43下列多項式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）A 、 m1m2B、x 22xyy 2C、a214ab 49b2D 、 n 22 n14934 a、b、c是 ABC的三邊，且 a2 b2c2ab ac bc，那么 ABC的形狀是（）A 、直角三角形B 、等腰三角形C、等腰直角三角形D 、等邊三角形5如果9 x 2kx25 是一個完全平方式，那么k 的值是（）A 、15B、 5C、 30D、 306已知多項式 2x2bxc 分解因式為2( x3)( x1) ，則 b,c 的

14、值為（）A 、 b3,c1B、 b6, c2C、 b6, c4 D 、 b4, c67已知 2x23xyy20( xy0) ，則 xy 的值是（）yxA、 2或 21B 、 2C、21D、 2或 212228若 ( p q)2(q p)3(q p) 2 E ，則 E 是（）A 、 1 q pB、 q pC、 1 p qD、 1 q p9已知二次三項式x2bx c 可分解為兩個一次因式的積( x)( x) ，下面說法中錯誤的是（）A 、若 b0, c0 ，則、同取正號；B 、若 b0, c0 ，則、同取負號；C、若 b0, c0 ，則、異號，且負的一個數(shù)的絕對值較大；D 、若 b0, c0 ，則

15、、異號，且負的一個數(shù)的絕對值較大。10 已 知 a2 0 0x22 0 ，0 b 2002x 2004 ， c 2002x2005，則多項式學習資料歡迎下載a2b2c2abbc ca 的值為（）A 、 0B 、 1C、 2D 、 3二、填空題11.分解因式： m54m =.12在括號前面填上“”或“”號，使等式成立：( y x) 2( x y) 213x2mx9是一個完全平方式，則m 的值是；若14已知： ab0, a2ab2b20 ，那么 2ab2ab的值為 _.15 ABC的三邊滿足a4b2c2a2c2b40 ，則 ABC的形狀是 _.16.觀察圖形，根據(jù)圖形面積的關系，不需要連其他的線，

16、便可以得到一個用來分解因式的公式，這個公式是.17若 x2y2xy(xy)A ，則 A =_.18分解因式 : x a2 na) 2n 1_. ( 第 16 題圖 )by(b19若 a22ab26b100， 則 a_， b _.20若 ( x2y 2 )( x2y21)12 ， 則 ( x2y2 ) _.三、解答題21.分解因式：（1） 8a3b212 ab3c6a3b2c（2） 8a( xa)4b(ax)6c( xa)（3）x5 y3x3 y5（ 4） 4( ab)216( ab) 2（5） m416n4（ 6） 9(mn)216(mn) 2（7） 5m( xy) 2 10n( y x) 3

17、（8） 2x22x12學習資料歡迎下載22先分解因式，再求值：已知a b 2， ab2，求1 a3b a 2b 21 ab3 的值2223設 a13212 ， a25232 ， an(2 n1)2(2 n1)2 （ n 為大于零的自然數(shù)） 。探究 an 是否為 8 的倍數(shù)，并用文字語言表達你所得到的結(jié)論。ab4x2( x1)224對于實數(shù) a,b, c, d ，定義一種新運算：dad bc ，分解因式：1xcx 125閱讀下列計算過程：222499× 99+199=99 +2 × 99+1=（ 99+1） =100 =10999× 999+1999=_=_=_=_

18、 ；9999 ×9999+19999=_=_=_=_ 。（2）猜想 9999999999×等于多少？寫出計算過程。學習資料歡迎下載第三章分式【知識要點】1分式的概念及特征：A、 B 表示兩個整式， A ÷ B 就可以表示成A 的形式， 如果 BA 就叫做分式。B中含有字母，式子BA 中，有： B2分式有意義、無意義的條件：因為0 不能做除數(shù)，所以在分式0 則A 有意義； B則 A 無意義。B0BB3分式值為零的條件：分式的值為零要同時滿足：分母的值不為零，分式的值為零這兩個條件。即 A0則有A 0且 B0 。Bb b b b4. 分式的符號法則：aaaa5. 分式

19、的運算（ 1）同分母分式相加減，分母不變，只把分式相加減，即ab abc=cc（ 2）異分母分式相加減， 先通分， 變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減， 即 ac = adbcad bcbd bdbd=bd注： 1.無論是探求分式有意義、無意義的條件，還是分式值等于零的條件，都將轉(zhuǎn)化成解方程或不等式的問題。2.分式約分步驟：（ 1）找出分式的分子與分母的公因式，當分子分母是多項式時，要先把分式的分子和分母分解因式。（ 2）約去分子與分母的公因式。3.最簡公分母的確定：（ 1）當幾個分式的分母是單項式時，各分式的最簡公分母是系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同字母的最高次冪、所有不同字母的積；（ 2）如果各分母都是

20、多項式，應先把各個分母按某一字母降冪或升冪排列，再分解因式，找出最簡公分母。學習資料歡迎下載【考點分析】考點一：分式有意義、無意義、值等于零的條件（重點）【例 1】（ 2009 ，天津）若分式x2x2 的值為零，則x 的值等于。x22x1答案： 2評析：由于 x2x2 可得 (x2)( x 1)0 ，解得 x2 或 x 1 。又因為 x1 時，x22x1 0 ； x2時， x22x 10 。所以要使分式的值為零，x 的值只能等于 2 ?！倦S堂練習】1.若分式 x 21 的值為 0，則 x 的值等于。x 212.若分式 x2x6 的值為零，則x 的值等于。x2x1考點二：分式的約分【例 2】（

21、2009，吉林）化簡xy2y的結(jié)果是（）x24x4A xxyyx 2B C.D.x 2x 2x 2答案：評析：觀察題中所給分式，分子、分母都為多項式，且都能分解，因此應先將分子分母分解因式，再約去公因式。如xy2 yx24x4注： 1. 在應用分式的基本性質(zhì)時要充分理解都和同這兩字的含義。2. 約分的結(jié)果是最簡分式或整式?！倦S堂練習】學習資料歡迎下載m2n2）1. （ 2008，太原）化簡的結(jié)果是（m2mnm nmnm nmnA.B.C.D.n2mmmm2化簡 ( y1 ) ( x1 ) )的結(jié)果是（）xyyB.xxyA.C.D.xxyy考點三：分式的加減運算（重點）【例 3】（ 2009，長

22、沙）分式11的計算結(jié)果是（）a 1a(a 1)1a1a 1A.B.C.D.a 1a 1aa答案： C評析：先通分化為同分母分式，再進行加法運算。11a1a11a 1+=+=1)=a( a 1)a(a 1)a(a 1)a(aa注： 1. 同分母分式加減運算中的“把分子相加減”是指把各個分式的“分子的繁體相加減，故當分子是多項式時，應加括號。2. 通分和約分是兩種截然不同的變形，約分是針對一個分式而言，通分是針對多個分式而言；約分是將一個分式簡化，通分是將一個分式化繁?！倦S堂練習】（ 2008，杭州）化簡x2y2）x yy的結(jié)果是（xA. x yB.y xC. x yD. x y考點四：分式的乘除

23、運算學習資料歡迎下載【例 4】（ 2009 ，天水）已知a2b30 ，計算 a2aba2abb2a2b2評析：因為a 2b 3 0，所以a 2 0且b 3 0即 a2, b 3,a(a b)a( ab)a2,當 a2, b 3時，原式 =4原式 =(ab)(a=9b2b)b2注：先化簡再求值，運算更簡便，分式的乘除運算要進行到分式和分母不再有公因式為止?！倦S堂練習】化簡1.xyx2y213yx26xy9 y2x2.x2x24 x 44 x2x.考點五： 分式的混合運算【例 5】（ 2010 ，常德）化簡： (1y)xyxy2x2評析：原式 = y xy( y x)( yx)= yxyxx注：

24、1. 正確運用運算法則；2. 靈活運用運算規(guī)律；3.運算結(jié)果要最簡化【隨堂練習】（2010 ，瀘州）化簡：3a1(1)4a 2a2學習資料歡迎下載考點六：條件分式求值的常用技巧（難點）【例 6】已知 113 ，則分式2 x3xy2 y 的值為xyx2xyy答案: 35x, y 的值，所以考慮將已知條件向著所求代數(shù)式的方向評析 : 由已知條件不能直接求出進行變形轉(zhuǎn)化，通過整體代換解決問題。由11y xx3, 可得3, 所以 x y3xy ,yxy所以原式 = 2( xy)3xy = 2( 3xy)3xy = 3( xy)2xy3xy2xy5注：條件分式求值主要方法有：xyz1. 參數(shù)法：當已知條

25、件形如b所要求值的代數(shù)式是一個含 x, y, z而又不易化簡的分式acxyzka, y kb, z kc時，常設bk（ k 就是我們所說的參數(shù)） ，然后將其變形為 xac的形式，再代入所求代數(shù)式，約分即可。2. 整體代換法：若由已知條件不能直接求分式中字母的值，可考慮把已知條件和所求代數(shù)式進行適當?shù)淖冃?，然后整體代換，可使問題得到解決【隨堂練習】1.已知 x220，求代數(shù)式 (x1)2x2的值x21x12.a2 ，則a2ab b2若a2b2的值b學習資料歡迎下載【鞏固提高 】一、選擇題1（ 2009，荊門）計算：(ab)2的結(jié)果是（）a2bA. aB.bC.1D.b2（ 2009, 威海）化簡

26、( y1( x1）) )的結(jié)果是（xyA.yB.xC.xD.yxyyx3若 a2 ，則 a2abb2等于（）ba2b24B.1C.3D.2A.554（ 2010, 河北）化簡a2b2）aba的結(jié)果是（bA. a2b2B.a bC.a bD.15（ 2009, 陜西）化簡 (ab2)a的結(jié)果是（）aabA. abB.a bC.1D.1abab二、填空題6計算：3x2y22 y23x7（ 2009，漳州）若分式1無意義，則實數(shù)xx2x218（ 2010，黃岡）當 x=2010 時，代數(shù)式1的值為x19在下列三個不為零的式子：x24, x22 x, x24x 4 中，任選兩個組成一個分式是把這個分式

27、化簡所得結(jié)果是三、解答題學習資料歡迎下載xyx2y210(2010,煙臺 )先化簡， 再求值：2 yx24xy，其中 x 1 2, y 1 2xy211 (2010,貴陽 ) 先化簡：a2b2a 2ab a2，當 b1 時，再從2 a 2 的a2aba范圍選取一個合適的整數(shù)a 代入求值。12（表格信息題）按下圖的程序計算，把答案寫在表格內(nèi)：n 平方（n ）n （n ）答案（ 1）填寫表格輸入 n3123121輸出答案（ 2）請將題中的計算程序用代數(shù)式表達出來，并化簡。13（條件開放題）請從下列三個代數(shù)式中任選兩個構(gòu)造一個分式，并化簡該分式：a21,abb,bab學習資料歡迎下載第四章相似三角形

28、【知識要點】1相似三角形對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。注：（ 1）兩個全等三角形一定相似（ 2）兩個直角三角形不一定相似。兩個等腰直角三角形一定相似。（ 3）兩個等腰三角形不一定相似。兩個等邊三角形一定相似。2相似比（ 1）相似三角形對應邊的比叫做相似比。（ 2）面積比等于相似比的平方。注：相似比要注意順序：如ABC A'B'C' 的相似比 k1AB，而A'B'' 'C'A'B'1。A B ABC 的相似比 k2，這時 k1k2AB3相似三角形的識別（ 1）如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的

29、兩角對應相等，那么這兩個三角形相似。（ 2）如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。（ 3）如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似。學習資料歡迎下載【考點分析】考點一：相似三角形的判定【例 1】 如圖， 1 2 3，圖中相似三角形有（）對。A1ED23BC解析：由平行線的性質(zhì)，123，可知 DE BC， DEBEBC ，ADEABC ，再由相似三角形判定定理一，可得有四組三角形相似。答：4 對?！倦S堂練習】1 如圖，已知：ABC 、 DEF，其中 A 50°， B 60° C70

30、76;，D 40°， E 60°， F80°，能否分別將兩個三角形分割成兩個小三角形，使 ABC 所分成的每個三角形與DEF 所分成的每個三角形，分別對應相似？如果可能，請設計一種分割方案；若不能，說明理由。BEACDF考點二：相似三角形的識別、特征在解題中的應用22008ABCDFBA長線上，連結(jié)CF 交AD于點E。（ 1）求證： CDE FAE ；（ 2）當 E 是 AD 的中點，且 BC 2CD 時，求證： F BCF 。學習資料歡迎下載DCEFAB解析：由AB DC 得： F DCE ， EAF D CDE FAECDDEFAAE，又 E為 AD 中點 D

31、EAE ，從而 CD FA ，結(jié)合已知條件，易證BF BC， F BCF（ 1）四邊形ABCD 是平行四邊形 ABCD F DCE ， EAF D CDE FAE（ 2） E 是 AD 中點， DE AECDDE由（ 1）得： AFAE CD AF四邊形 ABCD 是平行四邊形 ABCD AB CDAF BF 2CD ，又 BC 2CD BC BF F BCF注：平行往往是證兩個三角形相似的重要條件，利用比例線段也可證明兩線段相等。【隨堂練習】1已知：如圖 (a)，在梯形 ABCD 中， AD BC ，對角線交于O 點，過 O 作112EFBC 分別交 AB ，DC 于 E， F。求證： (1

32、)OE=OF;(2) ADBCEF ;(3)若學習資料歡迎下載MN 為梯形中位線，求證AF MC ?？键c三：未知數(shù)的設定應用【例 3】 在梯形 ABCD 中， A 90°， AD BC ，點 P 在線段 AB 上從 A 向 B 運動，（ 1）是否存在一個時刻使 ADP BCP；（ 2）若 AD 4，BC 6，AB 10，使 ADP BCP，則 AP 的長度為多少？AD解析：（ 1）存在（ 2）若 ADP BCP，則BCADPBCADAPBCBP設 AP x4x，x 4， AP 4610 x學習資料歡迎下載ADAP或BP BC4xx ，x 4106或 x 6AP4或 AP6AP 長度為 4或 6【隨堂練習】1如圖，有一批形狀大小相同的不銹鋼片，呈直角三角形，已知C 90°， AB 5cm，BC 3cm，試設計一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積達最大的正方形不銹鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長?？键c四：直角三角形相似的比例關系【例 4】已知：如圖，RtABC 中， ACB=90 °， CD AB