《抽樣技術(shù)》第三章-分層隨機(jī)抽樣

1、抽樣技術(shù)第三章王學(xué)民 編第三章 分層隨機(jī)抽樣v3.1 概述v3.2 估計(jì)量的性質(zhì)v3.3 樣本容量在各層的最優(yōu)分配v3.4 樣本容量的確定v3.5 求比例的分層抽樣3.1 概述v例3.1 假定對(duì)全市N=30000名高一學(xué)生作一次數(shù)學(xué)統(tǒng)考，有關(guān)人士欲采用抽樣的方式對(duì)全市的平均考分有所了解。確定n=300。v設(shè)總體的均值為 ,方差為S2，抽取一個(gè)容量為n=300的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，得樣本均值 ，Y 211,100SnV yffnNyv假設(shè)N1=3000,N2=7000,N3=20000，則從各層中分別抽取樣本容量為n1=30, n2=70, n3=200 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本均值分別記為 ，令123

2、300070002000030000YYYY123,y yy12312330007000200001723000010303styyyyyyy則它是 的無偏估計(jì)?？捎?jì)算出由經(jīng)驗(yàn)知，應(yīng)有 ，故Y222123117210303stfV ySSSn2222123,SSSS 22221172103031stfV ySSSnfSV yn定義v設(shè)總體包含N個(gè)單元，將總體分成互不重復(fù)的L個(gè)子總體，每一子總體稱為一個(gè)層，L個(gè)層分別包含N1, , NL個(gè)單元，N1+ +NL = N。層被確定后，就從每一層抽一個(gè)樣本，抽樣是在各層獨(dú)立地進(jìn)行的。各層的樣本容量分別用n1, , nL表示，n1+ +nL=n。這種抽樣

3、方法稱為分層抽樣或類型抽樣或分類抽樣。v如果從每層抽取一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則稱為分層隨機(jī)抽樣。采用分層技術(shù)的主要理由v1.需要有總體的某些分類數(shù)據(jù)，且要具有規(guī)定的精確度。v2.為便于行政管理而要求分層。v3.總體的各個(gè)不同部分的抽樣問題可能顯著地不同，即采用各自不同的抽樣方法。v4.分層可能提高整個(gè)總體指標(biāo)估計(jì)值的精確度。它可以將一個(gè)內(nèi)部差異很大的總體分成一些內(nèi)部比較相似的子總體。記號(hào)v下標(biāo)h表示層號(hào)，i表示這一層內(nèi)的單元號(hào)。1,1,hhhihhihhhNnYiiNyiinNWN單位的總數(shù)樣本中的單位數(shù)第 個(gè)單位的標(biāo)志值,樣本中第 個(gè)單位的標(biāo)志值,層的權(quán)數(shù)11221221111111hhhhhh

4、hNhhiihnhhiihNhhihihnhhihihnfNYYNyynSYYNsyyn層的抽樣比真實(shí)的均值樣本均值真實(shí)方差樣本方差3.2 估計(jì)量的性質(zhì)v總體均值 可表示為v定理1 在分層隨機(jī)抽樣中是總體均值 的無偏估計(jì)（st表示分層）。v證明Y111LLhhhhhhYN YW YN1LsthhhyW yY11LLsthhhhhhE yW E yW YYv定理2 在分層隨機(jī)抽樣中，估計(jì)量 的方差是v證明v定理2的重要一點(diǎn)是 的方差只取決于各層的層內(nèi)方差 ，而與層之間的差別無任何關(guān)系。層間的差異越大，分層抽樣越有效。sty22122111LhsthhhhhLhhhhhSV yNNnNnSWfn2

5、22111LLhsthhhhhhhSV yW V yWfnsty2hSv推論1 若各層中的抽樣比 是可忽略的，就有v推論2 采用按比例分配時(shí)，即 ，則v推論3 在推論2中，若 ，則hhhnfN22222111LLhhhhsthhhhN SW SV yNnnhhnNnN22111LLhhsthhhhN SNnfV yW SN nNn2221LwSSSv定理3 總體總值 的無偏估計(jì) 的方差v定理4 采用分層隨機(jī)抽樣時(shí)， 方差的無偏估計(jì)是21LhsthhhhhSV YNNnn221wwstSSNnV yfnnN 22wstSSV yV y當(dāng)時(shí)，。YNYststYNysty2222221111LLLh

6、hhh hsthhhhhhhhsW sW ssyNNnNnnNv v若nh較小，則用t分位點(diǎn)代替u/2，合適的自由度ne是1YY和 的置信區(qū)間分別為：22ststststyus yNyuNs y和,ststyNs y公式中假定，而且是被很好確定了的。2224,1h hhhhehhhhhg sNNnngg snn其中例3.2v某市進(jìn)行家庭收入調(diào)查，分城鎮(zhèn)居民及農(nóng)村居民兩部分抽樣，在全部城鎮(zhèn)23560戶中抽取300戶，在全部農(nóng)村148420戶中抽取250戶(均按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣進(jìn)行)，調(diào)查結(jié)果是城鎮(zhèn)年平均戶收入為15180元，標(biāo)準(zhǔn)差為2972元；農(nóng)村年平均戶收入為2546元。求全市年平均戶收入的估計(jì)及

7、其90的置信區(qū)間。3.3 樣本容量n在各層的最優(yōu)分配v一、Neyman最優(yōu)分配v二、分層隨機(jī)抽樣的精確度的評(píng)價(jià)v三、要求進(jìn)行大于100%的抽樣的分配v四、考慮費(fèi)用時(shí)，樣本容量的最優(yōu)分配一、Neyman最優(yōu)分配v 這里n1+ +nL = n。n為總的樣本容量，使的一組值n1, , nL稱為最優(yōu)分配或Neyman分配。221222111LhhhsthhhLLhhhhhhhW SnV ynNW SW SnNminstV yv定理5 分層隨機(jī)抽樣時(shí)，在樣本的總的容量n固定的情況下，如：則 達(dá)到最小值。v證明 11hhhhhLLhhhhhhN SW SnnnN SW SstV y222221111LLL

8、hhhhhsthhhhhhhSW SW SV yWfnnN等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)即2222111222211LLLhhhhhhhhhhLLhhhhhhhhW SW SnnnnW SnW Sn22221111LLLLW SW Snnnn1111LhhLLhLW SWSW Snnn也就是v注 柯西不等式：等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng) 1,1,2,hhhLhhhW SnnhLW S222111nnni iiiiiiabab1212nnaaabbbv當(dāng)各層的方差 時(shí)，最優(yōu)分配為nh =nNh/N=nWh此時(shí)，最優(yōu)分配即為按比例分配。v定理5導(dǎo)出下面的行動(dòng)準(zhǔn)則。若1.這一層單元較多（Nh大）；2.這一層內(nèi)部變異程度較

9、大（Sh大）；則這一層要抽取一個(gè)容量較大的樣本（nh大）。221LSS二、分層隨機(jī)抽樣的精確度的評(píng)價(jià)v記ran 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；prop 按比例分配的分層隨機(jī)抽樣；opt 最優(yōu)分配的分層隨機(jī)抽樣。均值估計(jì)量的方差分別用Vran，Vprop，Vopt表示。v從Vopt的定義必定有VpropVopt。nh (h=1,2, ,L)不取整時(shí)，使用公式222111111LLLprophhhhhhhhhfVW SW SW SnnN2222211112211211111 LLLLhhhhopthhhhhhhhhLLpropopthhhhhhLhhhW SW SVW SW SnNnNVVW SW SnWSSn1

10、LhhhhSW SS其中是 的加權(quán)平均值。v這是因?yàn)?2112211221112122LLpropopthhhhhhLLhhhhhhLLLhhhhhhhhLhhhn VVW SW SW SSW SSW SW S SW SWSSv 反映了S1,S2, ,SL之間的差異程度。若其值大，則Vprop比Vopt明顯要大，采用按比例分配在精度上明顯要比最優(yōu)分配差，這時(shí)應(yīng)盡量考慮使用最優(yōu)分配；反之，若其值小，則說明Vprop與Vopt之間的差距不大，此時(shí)可以考慮采用按比例分配。v一般來說， 是未知的，而且需要在抽樣之前進(jìn)行估計(jì)，這樣就很難給出它的一個(gè)較好估計(jì)，因此所計(jì)算出的最優(yōu)分配只是近似的，有時(shí)甚至是很

11、不準(zhǔn)確的。按比例分配的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)便易行，便于在現(xiàn)場(chǎng)使用。因此即使增加1020%的方差，那也是值得的。21LhhhWSS2hS12,1,2,hhhhNYYYhL總體：。 22112112211122112211111111111hhhNLhihiNLhihhhiNLLhihhhhihLLhhhhhhLLhhhhhhSYYNYYYYNYYNYYNNNSYYNNW SW YYv 反映了 之間的差異程度。v方差消除了： 層間均值之間差異的結(jié)果； 層間標(biāo)準(zhǔn)差之間差異的結(jié)果。22211212211111111LLranhhhhhhLprophhhLLopthhhhhhSffVfW SW YYnnnfVW Y

12、YnfVWSSW YYnn21LhhhW YY1,LYY三、要求進(jìn)行大于100%的抽樣的分配v最優(yōu)分配的三個(gè)條件：(1) n1+ n2+ + nL = n； (2) n1, n2, , nL皆為自然數(shù)； (3) nhNh，h=1, 2, , L。v例2 N1=5, N2=5, n =7第一層：65, 65, 65, 65, 65；第二層：4, 20, 45, 67, 112。v若n1N1，則最優(yōu)的修正分配法是這是假定h2時(shí)， ；v若又發(fā)生了 ，則我們就改變分配方案為這是假定h3時(shí)， ；1112,2,hhhLhhhW SnNnnNhLW ShhnN22nN1122123,3,hhhLhhhnNn

13、NW SnnNNhLW ShhnNv我們可以繼續(xù)這樣做，直到每個(gè) 。這樣最后所得的分配可以證明是當(dāng)給定n以后所能希望得到的最優(yōu)分配。v如使用修正后的最優(yōu)分配 ，則v一般地，有其中 表示對(duì) 的各層求和， 是修正后的這些層的總樣本容量。hhnN2211minLLhhhhhhstW SW SVynN22minhhhhstW SW SVynNhhnNn四、考慮費(fèi)用時(shí)，樣本容量的最優(yōu)分配v假定費(fèi)用函數(shù)具有形式 v定理6 在具有(1)式線性費(fèi)用函數(shù)的分層隨機(jī)抽樣中，在規(guī)定的費(fèi)用C的條件下，如01(1)LhhhCcc n00,1,hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhCcN ScCcW ScnN

14、 ScW ScN ScW ScnnnhLN ScW Sc則 達(dá)到最小值。v定理6導(dǎo)出下面的行動(dòng)準(zhǔn)則。若 這一層單元較多（Nh大）； 這一層內(nèi)部變異程度較大（Sh大）； 這一層抽樣比較省錢（ch?。t對(duì)這一層要抽取一個(gè)容量較大的樣本。v當(dāng)c1= =cL=c時(shí)，C=c0+cn，這時(shí)定理6就退化為定理5。stV yv定理7 在具有(1)式線性費(fèi)用函數(shù)的分層隨機(jī)抽樣中，在規(guī)定的方差 的條件下，如 則費(fèi)用C達(dá)到最小值。v推論4 定理7中，若c1= =cL=c，則所需的最小樣本容量為 stV yV2,1,hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhW ScW ScnVW SNN ScW ScnnnhLN

15、ScW Sc22hhhhhhhhhW SN SnnnVW SNN S，且3.4 樣本容量的確定v給定方差上限V，即 ，采用的分配可表示為 ，這樣就可以確定n。stV yVhhnw n11Neyman1hhhhhhhhLLhhhhhhhNwWNN SW SwN SW SwL為按比例分配；為分配；為等額分配；等等。v解方程 ，可得一般地， 是未知的，需用估計(jì)值 代替。v按比例分配時(shí)，stV yV22221122111111LLhhhhhhhhLLhhhhhhW SW SwVwnVW SW SNNV2hS2hs21000,1LhhhW SnnnnVNv最優(yōu)分配時(shí)，v若V沒有給定，而是給定絕對(duì)誤差限d

16、（置信度為1），并假定 ，則 ，將 代入上述各公式中即可求得n 。21211LhhhLhhhW SnVW SN,styN2duV222Vdu3.5 求比例的分層抽樣v一、總體比例的估計(jì)v二、最優(yōu)分配v三、比例的分層抽樣在精確度上的評(píng)價(jià)v四、求比例時(shí)樣本容量的確定一、總體比例的估計(jì)v記 為第h層的總體比例， 為第h層的樣本比例，于是總體比例易見， 是P的無偏估計(jì)。v定理8 采用分層隨機(jī)抽樣時(shí)，pst的方差是hhhPANhhhpanhhhhhhAN PPW PNNsthhpW p21hhhsthhW PQV pfnv推論5 采用按比例分配時(shí)，有v在定理8和推論5中，將 代替 即可得到V(pst)的

17、估計(jì)量s2(pst)。v當(dāng)nh皆很大，ph和qh皆不太小時(shí)，ph N( , )，于是 pst N( , )，因此可得P的置信度為1的置信區(qū)間為pstu/2s(pst) A=NP的1置信區(qū)間為Npstu/2Ns(pst)1sthhhfV pW PQn1hhhp qn hhhPQn例3.3 v為調(diào)查某個(gè)高血壓高發(fā)病地區(qū)青少年與成年人高血壓的患病率，對(duì)14歲以上的人分四個(gè)年齡組進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，調(diào)查結(jié)果如下表所示。求總體高血壓患病率P的估計(jì)及其標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)。二、最優(yōu)分配v當(dāng)n固定時(shí)，最優(yōu)分配公式為v當(dāng)總費(fèi)用 固定時(shí)，最優(yōu)分配為11,1,hhhhhhLLhhhhhhhNPQN SnnnhLN SNPQ0hhCcc n111,hhhhhhhhLLhhhhhhhhhN ScNPQcnnnN ScNPQchL三、比例的分層抽樣在精確度上的評(píng)價(jià)v假定費(fèi)用函數(shù)為 。若所有各層每一單元的費(fèi)用都相同，即c1= =cL= c，則有兩條有用的工作規(guī)則：v1.除非Ph在各層間差異程度很大，與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣相比，分層隨機(jī)抽樣在精確度上的提高是小的或是中等。如：取 ，則得下表0hhCcc n12313,3LWWWv2.若所有Ph的 在0.1與0.9之間，當(dāng)n為固定時(shí)，采取最優(yōu)分配與采取按比例分配