(甘志國)蒙日圓及其證明

1、蒙日圓及其證明甘志國(已發(fā)表于 河北理科教學(xué)研究，2015(5)：11-13)高考題 (2014年高考廣東卷文科、理科第20題)已知橢圓的一個焦點為，離心率為(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動點為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程答案：(1)；(2)這道高考題的背景就是蒙日圓.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)2·必修·A版(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22頁對畫法幾何的創(chuàng)始人蒙日(G.Monge，1745-1818)作了介紹.以上高考題第(2)問的一般情形是定理1 曲線的兩條互相垂直的切線的交點P的軌跡是圓.定理1的結(jié)

2、論中的圓就是蒙日圓.先給出定理1的兩種解析幾何證法：定理1的證法1 當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時，可得點P的坐標(biāo)是，或.當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時，可設(shè)點P的坐標(biāo)是且，所以可設(shè)曲線的過點P的切線方程是.由，得由其判別式的值為0，得因為是這個關(guān)于的一元二次方程的兩個根，所以 由此，得進(jìn)而可得欲證成立.定理1的證法2 當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時，可得點P的坐標(biāo)是，或.當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時，可設(shè)點P的坐標(biāo)是且，所以可設(shè)兩個切點分別是.得直線，切線.所以： 因為點既在曲線上又在直線上，所

3、以所以 由此，可得進(jìn)而可得欲證成立.再給出該定理的兩種平面幾何證法，但須先給出四個引理.引理1 (橢圓的光學(xué)性質(zhì)，見普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)·選修2-1·A版(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76頁)從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上(如圖1所示).圖1證明 如圖2所示，設(shè)為橢圓(其左、右焦點分別是)上任意給定的點，過點作的外角平分線所在的直線.先證明和相切于點，只要證明上異于的點都在橢圓的外部，即證：圖2在直線上選取點，使，得，所以，還得再過點作的平分線，易得，入射角等于反射角，這就證得了引理1成立.

4、引理2 過橢圓(其中心是點O，長半軸長是)的任一焦點F作橢圓的任意切線的垂線，設(shè)垂足是H，則.證明 如圖3所示，設(shè)點分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓的切線上的切點，又設(shè)直線交于點.圖3由引理1，得(即反射角與入射角的余角相等)，進(jìn)而可得，所以點H是FB的中點，得OH是的中位線.又，所以.引理3 平行四邊形各邊的平方和等于其兩條對角線的平方和.證明 由余弦定理可證(這里略去過程).引理4 設(shè)點是矩形所在平面上一點，則.證明 如圖4所示，設(shè)矩形的中心是點圖4由引理3，可得即欲證成立注 把引理4推廣到空間，得到的結(jié)論就是：底面是矩形的四棱錐相對側(cè)棱長的平方和相等定理1的證法3 可不妨設(shè).當(dāng)時，易證成立

5、.下面只證明的情形.如圖5所示.設(shè)橢圓的中心是點O，左、右焦點分別是，焦距是，過動點P的兩條切線分別是.圖5連結(jié)，作，垂足分別是.過點作，垂足為，由引理2得.再作于.記，得.由Rt，得.又作，垂足分別為.在Rt中，同理可得. (1)若，得矩形，所以(2)若，得由，得，所以.同理，有，所以四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得四邊形是矩形，所以. 由(1),(2)得點P的軌跡方程是.定理1的證法4 可不妨設(shè).當(dāng)時，易證成立.下面只證明的情形.如圖6所示.設(shè)橢圓的中心是點O，左、右焦點分別是，焦距是，過動點P的兩條切線分別是，兩切點分別為. 分別作右焦點關(guān)于切線的對稱點，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得三點共線(用反射角

6、與入射角的余角相等).同理，可得三點共線.圖6由橢圓的定義，得，所以.由是的中點，及平行四邊形各邊的平方和等于其兩條對角線的平方和，可得 (1)若，得，即三點共線.又，所以，進(jìn)而得(2)若，得所以.同理，可得.所以三點共線.得，即. 由(1),(2)得點P的軌跡方程是.定理1的證法5 (該證法只能證得純粹性)可不妨設(shè).當(dāng)時，易證成立.下面只證明的情形.如圖7所示，設(shè)橢圓的中心是點O，左、右焦點分別是，焦距是，過動點P的兩條切線分別是，切點分別是.設(shè)點關(guān)于直線的對稱點分別為，直線與切線交于點，直線與切線交于點.圖7得，再由橢圓的定義，得，所以.因為四邊形為矩形，所以由引理4得，所以，得點P的軌跡

7、方程是.讀者還可用解析幾何的方法證得以下結(jié)論：定理2 (1)雙曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓；(2)拋物線的兩條互相垂直的切線的交點是該拋物線的準(zhǔn)線.定理3 (1)橢圓的兩條斜率之積是的切線交點的軌跡方程是；(2)雙曲線的兩條斜率之積是的切線交點的軌跡方程是.定理4 過橢圓上任一點作橢圓的兩條切線，則(1)當(dāng)時，所作的兩條切線互相垂直；(2)當(dāng)時，所作的兩條切線斜率之積是.定理5 (1)橢圓的兩條斜率之積是的切線交點的軌跡是：當(dāng)時，即圓(但要去掉四個點)；當(dāng)且時，即橢圓(但要去掉四個點)；當(dāng)時，即兩條直線在橢圓外的部分(但要去掉四個點)；當(dāng)時，即雙曲線在橢圓外的部分(但要去掉四個點)；當(dāng)時，即雙曲線在橢圓外的部分(但要去掉四個點).(2)雙曲線的兩條斜率之積是的切線交點的軌跡是：當(dāng)時，即圓；當(dāng)時，即雙曲線；當(dāng)或時，即橢圓；當(dāng)時，不存在.(3)拋物線的兩條斜率之積是的切線交點的軌跡是：當(dāng)時，即直線；當(dāng)時，的方程為. 例 (北京市海淀區(qū)2015屆高三第一學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)練習(xí)第14題)已知. 若直線上總存在點，使得過點的的兩條切線互相垂直，則實數(shù)的取值范圍是_. 解 .在圖8