數(shù)理統(tǒng)計之大數(shù)定理

1、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院一、問題的引入一、問題的引入二、大數(shù)定律二、大數(shù)定律三、中心極限定理三、中心極限定理四、小結(jié)四、小結(jié) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對極限定理進行研究形式，由此導(dǎo)致對極限定理進行研究. . 極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種的有兩種: : 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院22()P X 切比雪夫不等式切比雪夫不等式2 22()1P X 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與

2、技術(shù)學(xué)院1111lim |1nniiniiPXnn2i i 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院證明證明111111()=nnniiiiiiEXE Xnnn 222111111M()=nnniiiiiiDXD Xnnnn 21222111111,ninniiiiiMPXnnnn ，在在上上式式中中令令 n1111lim |1nniiniiPXnn 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院關(guān)于定理一的說明: 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院. 0lim1lim , 0 , , pnnPpnnPApAnnAnAnA或或有有則對于任意正數(shù)則對于任意正數(shù)率率在每次試驗中發(fā)生的概在每次

3、試驗中發(fā)生的概是事件是事件的次數(shù)的次數(shù)發(fā)生發(fā)生次獨立重復(fù)試驗中事件次獨立重復(fù)試驗中事件是是設(shè)設(shè)證明證明引入隨機變量引入隨機變量 ., 2, 1, 1, 0kAkAkXk發(fā)發(fā)生生次次試試驗驗中中若若在在第第不不發(fā)發(fā)生生次次試試驗驗中中若若在在第第 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,21nAXXXn 顯然顯然是是相相互互獨獨立立的的，因因為為, 21nXXX , )10( 分布分布為參數(shù)的為參數(shù)的服從以服從以且且 pXk., 2, 1),1()(,)( kppXDpXEkk所所以以根據(jù)定理一有根據(jù)定理一有, 1)(1lim21 pXXXnPnn.1lim pnnPAn即即 上頁 下頁 返

4、回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院), 2 , 1( )( , , , , 21 kXEXXXkn 且且具具有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望服服從從同同一一分分布布相相互互獨獨立立設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量. 11lim,1 nkknXnP有有則則對對于于任任意意正正數(shù)數(shù) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院有有意意正正數(shù)數(shù)證證明明對對任任且且獨獨立立同同分分布布設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量 , 2 , 1,)(, 0)(,221 kXDXEXXXkkn解解. 11lim212 nkknXnP是是相相互互獨獨立立的的，因因為為, 21nXXX也是相互獨立的，也是相互獨立的，所

5、以所以, 22221nXXX, 0)( kXE由由22 )()()( kkkXEXDXE 得得,2 由由辛欽定理辛欽定理知知,有有對于任意正數(shù)對于任意正數(shù) , . 11lim212 nkknXnP 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院111()()nnkkkknnkkXEXZDX 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院定理四（獨立同分布的中心極限定理）1limniin

6、XnPxn 2-t2-1edt2xx 2 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院1limniinXnPxn x 1(0,1)niiXnNn 近近似似地地211( ,/ )niiXNnn 近近似似地地 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院211( ,/ )niiXNnn 近近似似地地 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院定理五（李雅普諾夫定理）, 0|1,), 2 , 1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 時時使得當(dāng)使得當(dāng)若存在正數(shù)若存在正數(shù)記記和方差：和方差：們具有數(shù)學(xué)期望們具有數(shù)學(xué)期望它它相互獨立相互獨立設(shè)隨機變量設(shè)隨機

7、變量 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院則則 xBXPxFnnkknkknnn11lim)(lim xtxt).(de2122 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 xtnnnxtxpnpnpPxppnn).(de21)1(lim,)10(,), 2 , 1(22 恒恒有有對對于于任任意意則則的的二二項項分分布布服服從從參參數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院證明證明1,nnkkX 分分布布律律為為分分布布的的隨隨機機變變量量一一是是相相互互獨獨立立的的、服服從從同同其其中中,)10(,21nXXX. 1, 0,)1(1 ippiXPiik,)

8、(pXEk ), 2 , 1()1()(nkppXDk 根據(jù)定理四得根據(jù)定理四得 xpnpnpPnn)1(lim xpnpnpXPnkkn)1(lim1( ).x 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院例3解解010()5,2kE V 2(100)25()(1,2,20).123kD Vk 由定理四由定理四, , 知：知：(1,2,20)kVk (0,10)201kkVV 105P V 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院20120525203kkVZ 205(0,1)25203VN 近近似似105P V2051052052525202033VP 2050.38725203VP 上頁

9、 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院105P V10010.38725203VP )387. 0(1 .348. 0 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院例4 一船舶在某海區(qū)航行一船舶在某海區(qū)航行, , 已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的沖擊的沖擊, , 縱搖角大于縱搖角大于 3 3 的概率為的概率為1/3, 1/3, 若船舶若船舶遭受了遭受了90 00090 000次海浪沖擊次海浪沖擊, , 問其中有問其中有29 50029 50030 50030 500次縱搖角大于次縱搖角大于 3 3 的概率是多少？的概率是多少？1 (90000,).3Xb且且 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科

10、學(xué)與技術(shù)學(xué)院所求概率為所求概率為2950030500PX 9000030500295019000012.33kkkk P Xk 900009000012,33kkk 1,90000.k 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2950030500PX 2950030500(1)(1)(1)npXnpnpPnppnppnpp 3050029500(1)(1)npnpnppnpp ,31,90000 pn5 25 222 0.9995. 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院解解設(shè)設(shè) X 為一年中投保老人的死亡數(shù)為一年中投保老人的死亡數(shù), ,),(pnBX則則,017. 0,10000 pn其中其中由由棣莫佛拉普拉斯定理棣莫佛拉普拉斯定理知知, , 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院1000010000200PX 200P X 200(1)(1)XnpnpPnppnpp2.321(1)XnpPnpp 1(2.3