《軸對稱圖形與等腰三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識講解

1、軸對稱圖形與等腰三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）撰稿：常春芳【學(xué)習(xí)目標】1. 認識軸對稱、軸對稱圖形，理解軸對稱的基本性質(zhì)及它們的簡單應(yīng)用；2. 了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念，并掌握它們的性質(zhì)以及判定方法;3. 了解垂直平分線、角平分線的概念，掌握其性質(zhì)定理及應(yīng)用【知識網(wǎng)絡(luò)】軸對稱圖形紅段線段垂直平分線角平分線等腰三角形性質(zhì)及判定軫邊三角闿【要點梳理】 要點一、軸對稱【高清課堂：389304軸對稱復(fù)習(xí)，本章概述】1. 軸對稱圖形如果一個圖形沿著某一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點

2、所連線段的垂直平分線要點詮釋：軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合.一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定2.軸對稱把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸成軸對稱的兩個圖形的性質(zhì)：要點詮釋： 軸對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系，兩個圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合.成軸對稱的兩個圖形一定全等； 如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分 線； 兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上3.軸對稱圖形與

3、軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：軸對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關(guān)于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形.要點二、作軸對稱圖形1作軸對稱圖形（1） 幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段 端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形2. 用坐標表示軸

4、對稱點（x, y ）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為（x, y ）;點（x,y ）關(guān)于y軸對稱的點 的坐標為（一x, y ）;點（x, y ）關(guān)于原點對稱的點的坐標為（一 x , y ）.3. 對稱軸的作法若兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.因此只要找到一對對應(yīng)點，再作出連接它們的線段的垂直平分線就可以得到這兩個圖形的對稱軸.軸對稱圖形的對稱軸作法相同.要點詮釋：在軸對稱圖形和成軸對稱的兩個圖形中， 對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等.成軸對稱的兩個圖形， 如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點一定在對稱軸上.如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線

5、對稱要點三、等腰三角形1. 等腰三角形（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形（2 ）等腰三角形性質(zhì) 等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”； 等腰三角形頂角的平分線、 底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45 ° .（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).2. 等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形（2） 等邊三角形性質(zhì)：等邊三

6、角形的三個角相等，并且每個角都等于60° .（3）等邊三角形的判定： 三條邊都相等的三角形是等邊三角形； 三個角都相等的三角形是等邊三角形； 有一個角為60 °的等腰三角形是等邊三角形 .3. 直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.要點四、線段垂直平分線、角平分線的性質(zhì)定理1線段的垂直平分線性質(zhì)定理定理1:線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等定理2:到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上2.角平分線的性質(zhì)定理定理1角平分線上的點到角兩邊的距離相等定理2角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上【典型

7、例題】類型一、軸對稱的性質(zhì)與應(yīng)用1如圖，由四個小正方形組成的田字格中, ABC的頂點都是小正方形的頂點.在田字格上畫與 ABC成軸對稱的三角形，且 頂點都是小正方形的頂點，則這樣的三角形（不包含厶ABC本身）共有（）個 C.3個 D.4 個【思路點撥】 分別以正方形的對角線和田字格的十字線為對稱軸，來找三角形【答案】C;【解析】先把田字格圖標上字母如圖，確定對稱軸找出符合條件的三角形，再計算個數(shù). HEC與厶ABC關(guān)于CD對稱； FDB與厶ABC關(guān)于BE對稱； GEDM ABC關(guān)于HF對稱；關(guān)于AG對稱的是它本身.所以共 3個.【總結(jié)升華】本題考查了軸對稱的性質(zhì)；確定對稱軸然后找出成軸對稱的三

8、角形是解題的關(guān) 鍵.舉一反三:【變式】如圖， ABC的內(nèi)部有一點 P,且D, E, F是P分別以AB, BC, AC為對稱軸的對稱 點.若 ABC的內(nèi)角/ A= 70°,/ B= 60°,/ C= 50°，則/ ADBZ BEOZ CFA =()A.180 °B.270°C.360°D.480°c【答案】c；解：連接AP, BP, CPD, E, F是P分別以AB BC, AC為對稱軸的對稱點/ ADB=Z APB / BEC=Z BPC / CFA=Z APC/ AD聊/ BEOZ CFA=Z APB+Z BPOZ APC

9、= 360°2、已知/ MON= 40° , P為/ MON內(nèi)一定點,0M±有一點A, ON上有一點B,當(dāng)厶PAB的周長取最小值時，求/ APB的度數(shù).【思路點撥】 求周長最小，利用軸對稱的性質(zhì)，找到P的對稱點來確定 A、B的位置，角度的計算，可以通過三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)計算【答案與解析】解：分別作P關(guān)于OM ON的對稱點R, P2 ,連接RF2交0M于A, ON于 B.則厶PAB為符合條件的三角形 / MON= 40°/ Rpp2 = 14011/ RPA = - Z PAB,/ F2PB = - Z PBA.221 ( / PABZ P

10、BA)+Z APB= 140 °2 Z PABZ PBA 2 Z APB= 280 °Z PAB=Z P +Z RPA, Z PBA=Z P, +Z P,PBZ P +Z P2 + Z PPP2 = 180° Z APB= 100【總結(jié)升華】 將實際問題抽象或轉(zhuǎn)化為幾何模型，將周長的三條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段, 這樣取得周長的最小值 舉一反三:【變式】如圖，在五邊形 ABCDEKZ BAE= 120°,Z B=Z E= 90°, AB= BC, AE= DE 在AMNZ ANM的度數(shù)為BC DE上分別找一點 M, N,使得 AMN勺周長最小時，

11、則Z【答案】110120 ° D . 130( )A 100 °BC；提示：找A點關(guān)于BC的對稱點A1，關(guān)于ED的對稱點A2，連接A1A2，交BC于M 點，ED于 N點，此時 AMN周長最小.Z AMNbZ ANMk 180°-Z MAN 而 2Z BAMkZ AMN 2Z EAN=Z ANM Z BAWZ EANFZ MAN= 120° ,所以Z AMNbZ ANMk 120° .類型二、等腰三角形的性質(zhì)與判定3、如圖，在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且 BE = AC，延長 BE交AC于F.求證：AF = EF【思路點撥

12、】 證AF = EF，只需證明/ FAE = Z AEF，考慮中線倍長，構(gòu)造全等三角形、等 腰三角形【答案與解析】證明：延長 AD至U H使DH = AD，連接BH。/ AD是BC邊上的中線， BD = CD在厶 ADC 和厶 HDB 中，BD = DC，/ BDH =Z CDA ,=HD , ADC HDB ,/ 1=Z H , BH = ACBE = BH ,/ BE = AC , 3=Z H,1 =Z 3又/ 2 =Z 3,/ 1=Z 2, AF = EF舉一反三:【變式】已知，如圖,求證：AM1JAB + AC).AD為厶ABC的內(nèi)角平分線，且 AD = AB , CM丄AD于M.A【

13、答案】證明：延長AM至點E,使ME = AM，連結(jié)CE.v AM ME,CM AE, AC CE. E CAM.v AD平分 BAC, CAM BAM. E BAM. AB/ CE. BBCE.v AB AD,二 BADB.又v CDE ADB,二 CDE BCE.二 DE CE.二 2AM AE AD DE AB AC.1 AM AB AC2類型三、等邊三角形的綜合應(yīng)用4、如圖所示，已知等邊三角形 ABC中，點D, E, F分別為邊 AB, AC , BC的中點，M為直線BC上一動點， DMN為等邊 三角形.（1）如圖（1）所示，當(dāng)點M在點B左側(cè)時，請你判斷 EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點

14、F是否在直線NE 上?（2）如圖（2）所示，當(dāng)點M在BC上時，其他條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請利用圖（2）證明；若不成立，請說明理由.【答案與解析】 解：(1)EN = MF，點F在直線 NE 上.證明：連接DF, DE ,/ ABC是等邊三角形，AB = AC = BC .又 D , E, F是厶ABC三邊的中點， DE , DF, EF為三角形的中位線.DE = DF = EF,Z FDE = 60°.又/ MDN +Z NDF = Z MDF，/ NDF + Z FDE =Z NDE ,/ DMN 為等邊三角形， DM = DN，/ MD

15、N = 60°/ MDF =Z NDE .DF DE在厶DMF和厶DNE中， MDF NDE ,DM DN DMF 也厶 DNE ,MF = NE, / DMF =Z DNE ./ DMF + 60° =/ DNE + / MFN/ MFN = 60° FN / AB ,又 EF / AB , E、F、N在同一直線上.(2)成立證明：連結(jié) DE , DF, EF,/ ABC是等邊三角形，AB = AC = BC .又 D , E, F是厶ABC三邊的中點， DE , DF, EF為三角形的中位線.DE = DF = EF, / FDE = 60°.又/

16、MDF +/ FDN = 60°,/ NDE + / FDN = 60 / MDF =/ NDE .DF DE在厶DMF和厶DNE中， MDF NDE ,DM DN DMF DNE ,MF = NE.【總結(jié)升華】此題綜合應(yīng)用了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定全等是證明線段相等的重要方法（2）題的證明可以沿用（1）題的思路.11半得到CM=-AB=BM再根據(jù)在直角三角形中，30°所對的邊等于斜邊的一半得到CB=-22AB=BM則CM=CB而D為MB的中點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【答案與解析】證明：/ ACB=9C° , M為 AB中點，1

17、CMd AB=BM2/ ACB=90，/ A=30°,1 CB= AB=BM2 CM=CB/ D為MB的中點， CD! BM 即 CDL AB.【總結(jié)升華】 本題考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)：30°所對的邊等于斜邊的一半；也考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等腰三角形的性質(zhì).舉一反三：【變式】如圖，在ABC中，BA=B（CZB=120°,AB的垂直平分線MN交AC于D,求證：AD= -DCAZB【答案】解：如圖，連接DB/ MN是AB的垂直平分線， AD=DB/ A=Z ABD/ BA=BC / B=120°1/ A=Z C=_

18、 (180 ° -120 ° ) =30°2/ ABD=30 ,又/ ABC=120 ,/ DBC=120 -30 ° =90 °,1 BD=_ DC21 AD= DC2類型五、線段垂直平分線性質(zhì)定理及應(yīng)用6、如圖，已知 AB=AD BC=DC BD交 AC于點O,請分別說明下列判斷成立的理由:(1 ) ABCA ADC【思路點撥】(1)再加上公共邊 AC,即可利用SSS證明；(2)由(1)中的結(jié)論可判斷出點 A、C均在BD的垂直平分線上.【答案與解析】證明：(1)v AB=AD BC=DC AC=AC ABCA ADC(2)v ABCA ADC AB=AD BC=CD點A C在線段BD的垂直平分線上. AC是線段BD的垂直平分線.【總結(jié)升華】注意兩個三角形中的公共邊通常是證兩個三角形全等隱含的條件.需注意與-條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，但兩點確定一條直線.舉一反三【變式】用圓規(guī)和直尺作圖，在/DEC中找一點P,使點P到/ DEC兩邊的距離相等，并且到M、N兩點的距離也相等(保留作圖痕跡).