數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文關(guān)于二次矩陣的換位子的性質(zhì)的進(jìn)一步研究

1、莆 田 學(xué) 院畢 業(yè) 論 文題 目關(guān)于二次矩陣的換位子的性質(zhì)的進(jìn)一步研究學(xué)生姓名 學(xué) 號(hào) 專(zhuān) 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)班 級(jí)數(shù)本062 指導(dǎo)教師 二零一零年四月二十日目 錄1. 滿(mǎn)足方程其中的二次矩陣換位子的性質(zhì)-(5)1.1滿(mǎn)足此條件的二次矩陣的換位子的秩的等式-(5)1.2滿(mǎn)足此條件的二次矩陣的換位子的可逆性的等價(jià)條件-(8)2當(dāng)時(shí), 即a,b滿(mǎn)足,時(shí),相應(yīng)換位子的性質(zhì)的特殊情況-(11)3.當(dāng)a是冪等矩陣，b是對(duì)合矩陣,此時(shí)矩陣a,b的換位子的性質(zhì)-(13)關(guān)于二次矩陣換位子的性質(zhì)的進(jìn)一步研究李素英莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)老師：楊忠鵬摘要：本文從冪等矩陣與二次矩陣的關(guān)系出發(fā)，將y.ti

2、an和styan的關(guān)于冪等矩陣的換位子的秩的性質(zhì)推廣到了二次矩陣上，從而通過(guò)高斯消元法進(jìn)一步得到了兩個(gè)二次矩陣的換位子的秩的等式，接著根據(jù)矩陣a可逆的充要條件是齊次線(xiàn)性方程組只有零解這一性質(zhì)探究出了關(guān)于兩個(gè)二次矩陣的換位子可逆的幾個(gè)等價(jià)條件，同時(shí)得到了兩個(gè)二次矩陣可交換的充要條件；最后由一般到特殊，得到了兩個(gè)特殊的二次矩陣冪等矩陣和對(duì)合矩陣的換位子的秩的等式及其可逆性的等價(jià)條件。關(guān)鍵詞:二次矩陣 冪等矩陣 矩陣的秩 可逆性 換位子abstract: in this paper,beginning with the relation of idempotent matrices and quad

3、ratics,somerank properties for idempotent matrices commutator of y,tian and styans are generalized to the quadratic matrices.then some rank equalities of the two quadratic matricescommutator is got in gaussian elimination,and then ,according to the properties on the necessary and sufficient conditio

4、ns for the invertibility of matrices a is that there is only one zero solution.i get several equal conditions for the invertibility of the commutator.at the same time i get the necessary and sufficient conditions for the exchangeable of the commutator. at last,the commutator of two special quadratic

5、 matrices which are idempotent and involutory matrices are shown ,and again i study the rank of the commutator and its invertibility.keywords: quadratic matrices idempotent matrix rank equality invertibility commutator0引言與符號(hào)說(shuō)明:冪等矩陣和對(duì)合矩陣是矩陣論中兩類(lèi)特殊的矩陣,文獻(xiàn)1-4對(duì)冪等矩陣的秩的性質(zhì)做了深刻的研究,其中yongge.tian 和george.p.h.st

6、yan對(duì)冪等矩陣和對(duì)合矩陣的換位子的性質(zhì)做了深刻的研究;而二次矩陣也是矩陣論中一種特殊的矩陣,前人很少對(duì)二次矩陣的換位子的性質(zhì)做深入探討,因此本文在兩個(gè)冪等矩陣和兩個(gè)對(duì)合矩陣換位子的性質(zhì)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上得出了兩個(gè)二次矩陣的換位子的秩的性質(zhì)及其可逆性條件.用表示復(fù)數(shù)域上的所有矩陣組成的集合;表示復(fù)數(shù)域上所有維列向量組成的集合，i表示階單位矩陣，表示矩陣的秩.若，稱(chēng)a為冪等矩陣.若，稱(chēng)為對(duì)合矩陣;分塊矩陣，.，.若稱(chēng)為與的換位子. 1預(yù)備定理:引理1(見(jiàn)2，定理2.1) 若且都為冪等矩陣，則和有下列秩等式： ， ， ， ， ， 引理2（見(jiàn)1定理2.1） 設(shè)，是復(fù)數(shù)域上的兩個(gè)階冪等矩陣，則有下列秩的等式

7、：引理3(見(jiàn)1定理2.7) 設(shè)是兩個(gè)冪等矩陣，是單位矩陣，那么下面的秩等式成立：引理4(見(jiàn)1定理2.19) 設(shè)是兩個(gè)冪等矩陣，是任意的一個(gè)矩陣，那么下面的秩等式成立：特別的,令和可以得到下列等式,推論1(見(jiàn)1推論2.20) 設(shè)是兩個(gè)冪等矩陣，則 =引理5 若是冪等矩陣，則也是冪等矩陣.證明：因?yàn)槭莾绲染仃嚕?所以為冪等矩陣.，所以為冪等矩陣.引理6 (見(jiàn)2定理2.9)設(shè)是兩個(gè)冪等矩陣,則引理7 設(shè)矩陣,則.證明:因?yàn)榉謮K矩陣初等變換不改變矩陣的秩,所以由初等變換從而由矩陣的秩的不變性,得證.引理8 (見(jiàn)6定理3.3) 設(shè)是兩個(gè)冪等矩陣，則 引理9 設(shè)，那么a可逆的充要條件是齊次線(xiàn)性方程組 只有

8、零解。引理10(見(jiàn)5定理1) 設(shè)是兩個(gè)冪等矩陣，那么下列各條件彼此等價(jià)： 1） 2） 3）;引理11(見(jiàn)5定理2或見(jiàn)12定理5.1) 設(shè)是兩個(gè)冪等矩陣，那么下列各命題彼此等價(jià)： 1） 2） 3） 4）引理12(見(jiàn)5定理3) 設(shè)是兩個(gè)冪等矩陣，a,b是兩個(gè)非零復(fù)數(shù)，那么下列各命題彼此等價(jià)： 1） 2） 3）引理13 設(shè)，則有秩的恒等式 證明:式（1）是常見(jiàn)的矩陣秩的恒等式（見(jiàn)文獻(xiàn)【5】），證明如下:因?yàn)榉謮K矩陣初等變換不改變矩陣的秩,所以由初等變換從而由矩陣的秩的不變性,得證整理變形得: .式（2）也是常見(jiàn)的矩陣秩的恒等式，證明方法如下：用代替（1）式中的a，有 =n+r( 得證；引理14(見(jiàn)7

9、定理1(4) 設(shè)a是滿(mǎn)足的二次矩陣,則存在冪等矩陣z,使得.2主要結(jié)果:2.1 滿(mǎn)足方程其中的二次矩陣換位子的秩的等式:定理2.1.1 已知;其中。為冪等矩陣。下面關(guān)于滿(mǎn)足上述條件的兩個(gè)二次矩陣的換位子的秩的等式是成立的：證明：令; ; ;因?yàn)?由分塊矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，所以：，所以，由高斯消元法：= =所以， 從而證得再有文獻(xiàn)7根據(jù)冪等矩陣與二次矩陣的關(guān)系分別代入文獻(xiàn)1的定理2.7，然后將所得的公式依次代入2.1.1.1得到(2.1.1.2),(2.1.1.3),(2.1.1.4),(2.1.1.5)，得證。定理2.1.2 設(shè)a,b是滿(mǎn)足方程的兩個(gè)二次矩陣,則有下列換位子的秩的等式

10、成立: 證明：由于分塊矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，所以由高斯消元法令 則：=又=由矩陣秩的不變性得到再?gòu)牧硪环矫鎭?lái)講=從而得證式（2.1.2.1）；同理令得證式（2.1.2.2）再由文獻(xiàn)1的引理1.1的（1.1）（1.2）得到（2.1.2.3）和（2.1.2.4）得證。推論2.1.1設(shè)a,b是滿(mǎn)足上述方程的兩個(gè)二次矩陣,則: 證明:根據(jù)引理14的二次矩陣與冪等矩陣的關(guān)系,再代入引理6就可得到結(jié)論. 定理2.1.3 設(shè)a,b是滿(mǎn)足方程的兩個(gè)二次矩陣,則有下列換位子的秩的等式成立:證明：由引理14得為冪等矩陣。又因?yàn)樵賹ⅲ?.1.3.1）（2.1.3.2）（2.1.3.3）代入引理,得定理2.1

11、.4 當(dāng)時(shí), 即這兩個(gè)二次矩陣具有可交換性.證明:若,則由矩陣論知識(shí)得,從而得證,即a與b可交換.定理2.1.5 當(dāng)時(shí),此換位子是可逆的.2.2滿(mǎn)足方程其中的 二次矩陣換位子可逆性的的性質(zhì).定理2.2.1 設(shè)a,b是滿(mǎn)足上述條件的兩個(gè)二次矩陣，則它們換位子的可逆性具有如下等價(jià)條件：1） ab-ba可逆；2）3）證明：先證1）等價(jià)于2）：由于從而有,，因此 =得證1）等價(jià)于2）。下證2）等價(jià)于3）：先證2）3），因?yàn)?，又根?jù)分塊矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，得同樣由初等變換得；再由引理2得從而由文獻(xiàn)5的引理2式及 得出下證3）2）：由引理2可推出2）；定理1得證。推論2 .2.1設(shè)a,b是滿(mǎn)足上

12、述條件的兩個(gè)二次矩陣，a,b,那么下列各條件彼此等價(jià)：1） ab-ba可逆；2） 都可逆；3） 都可逆；4） 都可逆；證明：由定理2.2.1及引理文獻(xiàn)12的定理4.3再利用冪等矩陣與二次矩陣的關(guān)系就得出；定理2.2.2設(shè)a,b是滿(mǎn)足上述條件的兩個(gè)二次矩陣，a,b是非零復(fù)數(shù)，則下列各條件彼此等價(jià)：1） ab-ba可逆；2） 可逆且 可逆；3） 都可逆；證明：要證1）與2）等價(jià)，只需證的充要條件是可逆；“”若則設(shè)（）x=0則 所以，又因?yàn)榭赡嫠?從而得證?？赡?。“”若可逆，設(shè)則有從而有得出,從而得證可逆；下證1）等價(jià)于3）：由2）中的得出可逆；因?yàn)橛忠彩莾绲染仃嚕杂?）與2）等價(jià)且可逆的充要

13、條件是可逆，得證1）3）。2.3 當(dāng)時(shí), 即a,b滿(mǎn)足,時(shí),相應(yīng)換位子的性質(zhì)的特殊情況。設(shè),是冪等矩陣,則得到了2.1和2.2的推論.推論2.3.1 設(shè)a,b滿(mǎn)足矩陣方程,則 推論2.32 設(shè)a,b滿(mǎn)足矩陣方程,則有下列秩的等式成立: 推論2.3.3設(shè)a,b滿(mǎn)足矩陣方程,則有下列秩的等式成立: 推論2.3.4設(shè)a,b滿(mǎn)足矩陣方程,則有下列秩的等式成立: 推論2.3.5 設(shè)a,b是滿(mǎn)足上述條件的兩個(gè)二次矩陣,則下列個(gè)條件彼此等價(jià).1) 可逆; 2)可逆且可逆; 3) ;推論2.3.6 設(shè)a,b是滿(mǎn)足上述條件的兩個(gè)二次矩陣,則下列個(gè)條件彼此等價(jià). 1) 可逆; 2)都可逆; 3)都可逆; 4)都可

14、逆;推論2.3.7 設(shè)a,b是滿(mǎn)足上述條件的兩個(gè)二次矩陣,且a,b是兩個(gè)非零復(fù)數(shù),那么下列個(gè)條件彼此等價(jià). 1) 可逆; 2)可逆 且可逆; 3)與都可逆;2.4當(dāng)a是冪等矩陣，b是對(duì)合矩陣,此時(shí)矩陣a,b的換位子的性質(zhì).這樣我就可以通過(guò)上述論證的二次矩陣的換位子的性質(zhì)更深一層的得出一個(gè)冪等矩陣與一個(gè)對(duì)合矩陣的換位子的秩的性質(zhì)。即：推論2.4.1 設(shè)a是冪等矩陣，b是對(duì)合矩陣，則 推論2.4.2 設(shè)a是冪等矩陣，b是對(duì)合矩陣，則 推論2.4.3 設(shè)a是冪等矩陣，b是對(duì)合矩陣，則推論2.4.4 設(shè)a是冪等矩陣，b是對(duì)合矩陣，則 推論2.4.5 設(shè)a是冪等矩陣，b是對(duì)合矩陣，則下列各條件等價(jià) 1）

15、可逆； 2） 3） ;推論2.4.6 設(shè)a是冪等矩陣，b是對(duì)合矩陣，a,b,那么下列各條件彼此等價(jià)： 1）可逆； 2）都可逆； 3）都可逆； 4）都可逆；推論2.4.7 設(shè)a是冪等矩陣，b是對(duì)合矩陣，a,b是非零復(fù)數(shù)，則下列各條件彼此等價(jià)： 1）可逆； 2） 3）都可逆。結(jié)束語(yǔ)：本論文是在認(rèn)真研究閱讀george p.h. styan和yongge tian 的文章（文獻(xiàn)1 2）和有關(guān)二次矩陣的文章（文獻(xiàn)見(jiàn)7）之后，查閱大量相關(guān)資料的基礎(chǔ)上，提出了新的研究方向，即將冪等矩陣和對(duì)合矩陣的換位子的秩等式推廣到二次矩陣上，并且得出了新的結(jié)果，同時(shí)對(duì)二次矩陣換位子的可逆性做了深入的研究。此研究課題是在

16、二次矩陣上研究，這是很少有人涉及到的新問(wèn)題，同時(shí)得到了很多創(chuàng)新性的結(jié)論，本文最后采用從一般到特殊的思想方法得出了一個(gè)冪等矩陣與一個(gè)對(duì)合矩陣換位子的相應(yīng)性質(zhì).本文只研究了兩個(gè)二次矩陣的秩的性質(zhì)，我們還可以研究三個(gè)二次矩陣的秩的性質(zhì)甚至對(duì)n個(gè)二次矩陣也可做深入的研究，因此，這里還有很大的研究空間。致謝：本論文是在導(dǎo)師楊忠鵬的悉心指導(dǎo)下完成的。導(dǎo)師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，對(duì)我影響深遠(yuǎn)。本論文從選題到完成，每一步都是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血。在此，謹(jǐn)向楊忠鵬教授表示崇高的敬意和衷心的感謝！還要感謝數(shù)學(xué)系各老師的教育和幫助，感謝同組同學(xué)和班級(jí)同學(xué)的支持，在此表示深深的感謝。

17、參考文獻(xiàn):1yongge tian,george.p.h.styan.rank equalities for idempotent and involutorymatricesj.linear algebra and its applications,2001,335:101-117.2 yongge tian，george p.h. styan . rank equalities for idempotent matrices with applicationsj .linear algebra appl,2006(191):77-97. 3y.tian,problem 04.2.1:a r

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