應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第四章-向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、14.11 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定義定義定義 設(shè)映射 f： m ( n是開集)，x 。如果存在線性算子 A： n m，使得對(duì) h n，有0| | | | | )()(| |0|limhAhxfhxfh則稱 f 在點(diǎn) x 處 Frechet 可微(簡(jiǎn)稱可微)，并稱線性算子 A 是 f 在 x 處的 Frechet 導(dǎo)算子，記為 f ，即 f (x) = A 。0| | )()(|0|limhAhxfhxfh f : (a, b) A: 24.11 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定義定義 （2）導(dǎo)算子一定是唯一的。注意： （1）導(dǎo)算子的定義式等價(jià)于 f (x+h) f (x) =

2、 Ah + r (h)其中 lim h0 r(h) / h = 0 , 稱 Ah 為 f 在 x 點(diǎn)的微分。思路： 假設(shè)有兩個(gè)導(dǎo)算子： A1及A2 先證： (A1A2)(h) / h 0 ( h 0)； 再證： (A1A2)(h) / h = 0 ( h)。34.11 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 性質(zhì)性質(zhì)命題 如果 f： m,則導(dǎo)算子 f ：n m 在標(biāo)準(zhǔn)正交基e1,e2,en下的表示矩陣是 （fi(x)/xj） Jacobi矩陣。 類似地，如果 f （一般寫成列向量）是可微的，則稱相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為二階導(dǎo)數(shù)。證明思路：x = (x1,x2,xn)T, h = (h1,h2,hn)T, 計(jì)算差

3、商的極限。此時(shí)，二階導(dǎo)算子相應(yīng)的矩陣稱為 f 在 x 處的Hesse矩陣，（2fi(x)/ xi xj）（認(rèn)為偏導(dǎo)可以交換）。44.12 單元函數(shù)矩陣的微分單元函數(shù)矩陣的微分 定義定義nmijtadtddttdA)()(定義 設(shè)A(t) = (ij(t)mn , 其中 ij(t) 是變量 t ( )的函數(shù)。若對(duì)于 i=1,2,m, j=1,2,n, ij(t) 均可微，則 A(t) 關(guān)于變量 t 的導(dǎo)數(shù)定義為矩陣函數(shù)的微分與積分具有與純量函數(shù)的微分、積分 類似的定義 及 性質(zhì)。54.12 單元函數(shù)矩陣的積分單元函數(shù)矩陣的積分 定義定義 定義 設(shè)A(t) = (ij(t)mn . 如果 ij(t

4、) 在 a, b 上可積， ( i=1,2, ,n ; j = 1,2,m), 則稱A(t) 在a, b上可積， 且定義nmbaijbadttadttA)()( bamnbambanbadttdttdttdttaaaa)()()()(1111而稱A(t)dt=nmijdtta)(為A(t)的不定積分。64.12 單元函數(shù)矩陣的微分單元函數(shù)矩陣的微分 性質(zhì)性質(zhì)若函數(shù)矩陣A(t)，B(t)均可導(dǎo), a,b，C,K是數(shù)字矩陣, 則dttdBbdttdAatbBtaAdtd)()()()(dttdBtAtBdttdAtBtAdtd)()()()()()(dttdACtACdtd)()(KdttdAKt

5、Adtd)()(74.12 單元函數(shù)矩陣的微分單元函數(shù)矩陣的微分 性質(zhì)性質(zhì)dttdfduudAtfAdtd)()()()()()()(111tAdttdAtAtAdtd84.21 方陣序列 收斂的充要條件及性質(zhì)定理4.1 方陣序列 Am 收斂于 A (即 Am=A ), 對(duì)于所有 i,j=1,2, n, 都有 aij (m)收斂于aij .mlimAm=(aij (m) ) nn注意： 定理4.1 說(shuō)明，一個(gè)方陣序列收斂，意味著 n2個(gè)元素?cái)?shù)列收斂。(1) 如果 Am=A, Bm=B, 則 AmBm=AB.(2) 如果 Am=A, A 1及Am1均存在, 則 Am1=A1.mlimmlimml

6、immlimmlim性質(zhì)：94.21 方陣序列 收斂的充要條件及性質(zhì)定理4.2 設(shè)ACnn, 則 收斂于零矩陣 (A)1. 0mmA證明思路： ( ) (A)m = (Am) Am; ( ) 利用譜范數(shù)與矩陣范數(shù)的關(guān)系。定理4.3 設(shè)ACnn, 則Am收斂于零矩陣 至少存在一種方陣范數(shù)|, 使得|A|1.104.21 方陣級(jí)數(shù) 收斂的充要條件及性質(zhì)證明思路：根據(jù)矩陣級(jí)數(shù)收斂的定義，以及定理4.1。定理4.5 絕對(duì)收斂 對(duì)所有i,j=1,2,n, 絕對(duì)收斂. ommA ommija)(證明思路： 絕對(duì)收斂 等價(jià)于 收斂。ommA1 |ommA定理4.4 設(shè) Am=aij (m)Cnn, m=0,

7、1,2,S=sijCnn. 則方陣級(jí)數(shù) 收斂于方陣 S=sij i,j=1,2,n, 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂于sij.0mmAommija)(114.22 方陣冪級(jí)數(shù) 定義定義4.4 設(shè)X是任意的 n 階方陣, cm是一個(gè)復(fù)數(shù)列, 稱為方陣X的冪級(jí)數(shù), cm稱為第m項(xiàng)的系數(shù). 約定 X 0=E.0mmmXc若 收斂(絕對(duì)收斂)到 f (A), 即 f (A) = , 則稱 在ACmn處收斂(絕對(duì)收斂).0mmmAc0mmmXc0mmmAc若 X Cnn, 都收斂(絕對(duì)收斂), 則稱它在內(nèi)收斂(絕對(duì)收斂), 稱 f (X)為方陣冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).0mmmXc124.22 方陣冪級(jí)數(shù) 收斂性定理定理4.6

8、設(shè)復(fù)冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為R, XCnn的譜半徑為(X),則當(dāng)(X)R時(shí),絕對(duì)收斂; 當(dāng)(X)R時(shí),發(fā)散.0mmmzc推論推論1 若 在全平面收斂, 則該級(jí)數(shù)在全空間Cnn中絕對(duì)收斂.0mmmzc推論推論2 設(shè) 的收斂半徑為R. 若XCnn的所有特征值都滿足不等式 | j - 0 | R, 則方陣冪級(jí)數(shù)發(fā)散.00)(mmmzc00)(mmmEXc134.23 方陣函數(shù) 幾個(gè)特殊的和函數(shù)!21!02mzzzmzemmmz)!12()1(! 5! 3)!12()1(sin1205312mzzzzmzzmmmmm)!2()1(!4!21)!2()1(cos20422mzzzmzzmmmmm1) 1(3

9、21) 1()1ln(10321mzzzzmzzmmmmm02! 2) 1(1!) 1() 1()1 (mmzzzmmz!2!02mXXXEmXemmmX)!12() 1(! 5! 3)!12() 1(sin1205312mXXXXmXXmmmmm)!2()1(!4!2)!2()1(cos20422mXXXEmXXmmmmm1) 1(321) 1()ln(10321mXXXXmXXEmmmmm02! 2) 1(!) 1() 1()(mmXXEXmmXE144.24 方陣函數(shù) 性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 (Euler公式) XCnn, 有 eiX = cosX + isinX , cosX = ( eiX

10、 + e iX )/2 , sinX = ( eiX e iX )/2 .性質(zhì)性質(zhì)2 XCnn及 t C, 有 eAt = AeAt = eAt A , sin(At) = A cos(At) = cos(At)A, cos(At) = A sin(At) = sin(At)A.性質(zhì)性質(zhì)3 設(shè)A, B Cnn, tA. 若AB=BA, 則eAt B=B eAt.兩邊對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)冪級(jí)數(shù)具有此性質(zhì)dtddtddtd154.24 方陣函數(shù) 性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)4 A, BCnn 且 AB=BA, 則 eA+B = eA eB = eB eA .性質(zhì)性質(zhì)5 ACnn , eA必可逆且(eA)1 = e A .

11、性質(zhì)性質(zhì)6 A, BCnn 且 AB=BA， 有 sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB, cos(A+B) = cosA cosBsinA sinB, sin(2A) = 2 sinA cosA, cos(2A) = cos2A sin2A, cos2A + sin2A = E.性質(zhì)性質(zhì)7 XCnn , 有 sin(X+2E) = sinX, cos(X+2E) = cosX, eX+2iE = eX .即, sinX和cosX是以2E為周期, eX是2iE為周期的周期函數(shù).性質(zhì)性質(zhì)8 對(duì)任意XCnn , f(XT) = (f(X) T.164.31 方陣函數(shù)值的計(jì)

12、算 當(dāng)A可對(duì)角化時(shí) f (A)的計(jì)算),(diag211nAPP121 ),(diag PPAn0)(mmmAcAf, )(0mmmR |z|zczf如果如果則當(dāng) (A)R 時(shí) mnmmPPc ),(diag 12101210 ),(diag PPcmnmm1210 ),(diag PcPmnmmmm1210 ),(diag limPPcmnNmmN121 )(,),(),(diag PfffPn170)(mmmAcAf與A 可以同時(shí)對(duì)角化。 的特征值是f (1), f(2), f(n).0)(mmmAcAf注意：注意： ),(diag 21nPAPP 的列向量是 A 的特征向量4.31 方陣

13、函數(shù)值的計(jì)算 當(dāng)A可對(duì)角化時(shí) f (A)的計(jì)算184.31 方陣函數(shù)值的計(jì)算 當(dāng)A可對(duì)角化時(shí) f (A)的計(jì)算例例 4.6 設(shè)設(shè) 求求 2200A)sin( tA1210 )(,),(),(diag )(PfffPAcAfnmmm0)det( tAE0)/det()det(AEtttAEn其中 j 為A 的特征值。/t= 為A的特征值 121 )sin(,),sin(),sin(diag )sin(PtttPtAn194.31 方陣函數(shù)值的計(jì)算 當(dāng)A可對(duì)角化時(shí) f (A)的計(jì)算例例 4.6 設(shè)設(shè) 求求 2200A)sin( tA det( EA) = ( +2)1110=0:=2:的特征值 =

14、 0, sin(2t):)( sintA 1101 )2sin(,0diag 1101)sin(ttA )2sin()2sin(00tt204.32 方陣函數(shù)值的計(jì)算 當(dāng)A不能對(duì)角化時(shí) f (A)的計(jì)算定理定理 4.7 設(shè) f(X) = , XCnn 且(X) R . 若X = diag(X1, X2, , Xs), 其中Xi是 ni 階方陣且則 f(X) = diag( f(X1), f(X2), , f(Xs) ).021)(mmsm, X, , X Xdiagcnnsii 1 f(X) = f(diag(X1, X2, , Xs)(Xi) (X)()()(21sX, f, X, fX f

15、diag0mmmXcNmmsmN, X, , X Xdiagc021)(lim)limlim(001NmmsmNNmmmNXc, Xc diag214.32 方陣函數(shù)值的計(jì)算 當(dāng)A不能對(duì)角化時(shí) f (A)的計(jì)算定理定理4.8 設(shè)復(fù)冪級(jí)數(shù) f(z) = 的收斂半徑為R; 0mmmzc 1 1 1J() =是 k 階 Jordan 塊, 則當(dāng)|R時(shí), 0)()(mmmJ cJf)()(2!)(1)!-()()()(2!)()()()( 1)(f f fkff f ff ff -k 224.33 方陣函數(shù)值的計(jì)算 將 f (A)表示為多項(xiàng)式定義定義 設(shè)ACnn 的譜(A) = 1, 2, s , A

16、的最小多項(xiàng)式()= (-1) (m11) (-s) (ms1), f (z)是復(fù)變函數(shù). 若對(duì)j=1, 2, s, f(j), f (j), f (mi1)(j) 都存在, 則稱 f(z)在(A)上有定義, 并稱f(j), f (j), f (mi1)(j) (j=1, 2, s)為 f 在(A)上的值 或 f 在A上的譜值.234.33 方陣函數(shù)值的計(jì)算 將 f (A)表示為多項(xiàng)式定理定理4.10 設(shè)ACnn 的譜(A) = 1, 2, s , f(z) = 在(A)上有定義, 則 (f (A) = f ( 1), f ( 2), f ( s ), A =PJP1 f (A) = P f (

17、J) P1 )()( 2)( 1)!-()()()( 2)()()( )( )( 1)(kkkk-kkkkkkkkfffkff f ff ffJf f (J) = diag( f (J1), , f (Js) ). 0mmmzc244.33 方陣函數(shù)值的計(jì)算 將 f (A)表示為多項(xiàng)式命題命題 設(shè)ACnn 的譜(A) = 1, 2, s , f(z) = , g(z) = 在(A)上有定義, 且 f ( i )(k) = g( i )(k) (k=1, 2, s; i=0,1, mk1)則 f (A) g(A). )()( 2)( 1)!-()()()( 2)()()( )( )( 1)(kk

18、kk-kkkkkkkkfffkff f ff ffJf 0mmmzc 0mmmzbf (A) = P f (J) P1254.33 方陣函數(shù)值的計(jì)算 將 f (A)表示為多項(xiàng)式定理4.9 設(shè)ACnn的最小多項(xiàng)式為 ()=(1) (s) , f() = 的收斂半徑為R. m1ms0kckk則當(dāng)(A)R時(shí), 存在唯一的m次多項(xiàng)式T() = ,使得T()與f()在(A)上的值相同, 且 f(A)=T(A).1kkcmokmm1sjj思路: 1. 在A的譜上與 f () 的值相同的多項(xiàng)式T()可由線性代數(shù)方程組解得。2. T()在(A)上與 f () 的值相同, 則 T(A) f (A)。264.33 方陣函數(shù)值的計(jì)算 將 f (A)表示為多項(xiàng)式(1) 最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式m( )由由A唯一確定；唯一確定；(2) m( )能整除能整除A的任一零化多項(xiàng)式；的任一零化多項(xiàng)式；(3) m( )與特征多項(xiàng)式有相同的零點(diǎn)；與特征多項(xiàng)式有相同的零點(diǎn)；(4) m( )