大學物理馬文蔚課堂筆記5

1、上海師范大學上海師范大學13.6 功能原理功能原理 機械能守恒定律機械能守恒定律質(zhì)點與動量：質(zhì)點與動量： 質(zhì)點的動量定理質(zhì)點的動量定理1221FPPdttt合/15質(zhì)點質(zhì)點質(zhì)點系質(zhì)點系研研究究對對象象主主要要物物理理量量動量動量能量能量質(zhì)點與能量：質(zhì)點與能量： 質(zhì)點的動能定理質(zhì)點的動能定理kkEErd12F合質(zhì)點系與動量：質(zhì)點系與動量： 質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系的動量定理 iiiittiiPPdt12ex21F質(zhì)點系與能量：質(zhì)點系與能量： 質(zhì)點系的動定理是什么樣質(zhì)點系的動定理是什么樣 ？?F rdii上海師范大學上海師范大學2一、質(zhì)點系的動能定理一、質(zhì)點系的動能定理1m2mimexiFiniF內(nèi)

2、力的功內(nèi)力的功外力的功外力的功0kkinexiiiiEEWW 對第對第 個質(zhì)點應用動能定理，個質(zhì)點應用動能定理，有有i3.6 功能原理功能原理 機械能守恒定律機械能守恒定律如圖所示如圖所示, 是一個有是一個有n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系個質(zhì)點組成的質(zhì)點系.質(zhì)點系中的任意一個質(zhì)點通常既受內(nèi)力又受外力作用質(zhì)點系中的任意一個質(zhì)點通常既受內(nèi)力又受外力作用.0kk0kkinexEEEEWWiiiiiiii 對質(zhì)點系來說，對質(zhì)點系來說，有有個質(zhì)點的末動能是第個質(zhì)點的初動能是第iEiEiik0k.;kk0k0k是質(zhì)點系的總末動能是質(zhì)點系的總初動能iiiiEEEE質(zhì)點系的動能的增量等于作用于質(zhì)點系的質(zhì)點系的動能的增量

3、等于作用于質(zhì)點系的一切一切外力外力和和一切一切內(nèi)力內(nèi)力所做的功之和所做的功之和. 質(zhì)點質(zhì)點系系動能定理動能定理 0kk0kkinexEEEEWWiiii(1)/15上海師范大學上海師范大學3非保守力的功非保守力的功二、質(zhì)點系的功能原理二、質(zhì)點系的功能原理3.6 功能原理功能原理 機械能守恒定律機械能守恒定律內(nèi)力和外力一樣內(nèi)力和外力一樣, 可以改變質(zhì)點系的動能可以改變質(zhì)點系的動能.注意注意質(zhì)點系的動能的增量等于作用于質(zhì)點系的質(zhì)點系的動能的增量等于作用于質(zhì)點系的一切一切外力外力和和一切一切內(nèi)力內(nèi)力所做的功之和所做的功之和.作用于質(zhì)點系的力有保守力和非保守力作用于質(zhì)點系的力有保守力和非保守力, 它們

4、做功的特點不同它們做功的特點不同.根據(jù)上節(jié)的知識根據(jù)上節(jié)的知識, 保守力做功等于勢能增量的負值保守力做功等于勢能增量的負值, 即即 質(zhì)點質(zhì)點系系動能定理動能定理 0kk0kkinexEEEEWWiiii(1)inncincininWWWWii(2)(0ppinciiiiEEW(3)(2)式和式和(3)式代入式代入(1)式式, 整理得整理得00p0kpkinncex)()(EEEEEEWWiiii(4)式中式中, iiEEEpiki(5)是系統(tǒng)的是系統(tǒng)的總總機械能機械能.機械能機械能 - 動能和勢能統(tǒng)稱動能和勢能統(tǒng)稱./15上海師范大學上海師范大學4可知可知, 當當 時時, 有有0inncexW

5、W0EE 00p0kpkinncex)()(EEEEEEWW 由功能原理由功能原理三、機械能守恒定律三、機械能守恒定律機械能守恒定律機械能守恒定律: 只有保守內(nèi)力作功的情況下只有保守內(nèi)力作功的情況下, 質(zhì)點系的機械能保持不變質(zhì)點系的機械能保持不變. 3.6 功能原理功能原理 機械能守恒定律機械能守恒定律機械能機械能pkEEE0inncexEEWW 質(zhì)點系質(zhì)點系的功能原理的功能原理: 質(zhì)點系質(zhì)點系總總機械能的增量等于機械能的增量等于外外力和力和非非保守保守內(nèi)內(nèi)力作功之和力作功之和.iiiiEEEE0p0kpiki(6)即即保守力做功不改變質(zhì)點系的總機械能保守力做功不改變質(zhì)點系的總機械能.)(0p

6、p0kkEEEE(6)式還可表示為式還可表示為,由由(6)式或式或(7)式可見式可見, 在外力和非保守內(nèi)力不做功時在外力和非保守內(nèi)力不做功時, 質(zhì)點系內(nèi)的動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)質(zhì)點系內(nèi)的動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)換換, 但動能和勢能之和是不變的但動能和勢能之和是不變的. 動能和勢能的轉(zhuǎn)換是通過保守內(nèi)力做功而實現(xiàn)的動能和勢能的轉(zhuǎn)換是通過保守內(nèi)力做功而實現(xiàn)的.pkEE即即0pkEE或或(7)/15上海師范大學上海師范大學5例例 1 (習題習題3-4) 如圖的系統(tǒng)如圖的系統(tǒng), 物體物體 A, B 置于光滑的桌面上置于光滑的桌面上, 物體物體 A 和和 C, B 和和 D 之間摩擦因數(shù)均不為零之間摩擦因數(shù)均不

7、為零, 首先用外力沿水平方向相向推壓首先用外力沿水平方向相向推壓 A 和和 B, 使彈簧壓使彈簧壓縮縮, 后拆除外力后拆除外力, 則則 A 和和 B 彈開過程中彈開過程中, 對對 A、B、C、D 和彈簧組成的系統(tǒng)有和彈簧組成的系統(tǒng)有 （A）動量守恒，機械能守恒）動量守恒，機械能守恒 . （B）動量不守恒，機械能守恒）動量不守恒，機械能守恒. （C）動量不守恒，機械能不守恒）動量不守恒，機械能不守恒. （D）動量守恒，機械能不一定守恒）動量守恒，機械能不一定守恒.DBCA3.6 功能原理功能原理 機械能守恒定律機械能守恒定律四、例題分析四、例題分析DBCA例例 2 一雪橇從高度為一雪橇從高度為5

8、0m 的山頂上點的山頂上點A沿冰沿冰道由靜止下滑道由靜止下滑,山頂?shù)缴较碌钠碌篱L為山頂?shù)缴较碌钠碌篱L為500m. 雪雪橇滑至山下點橇滑至山下點B后后,又沿水平冰道繼續(xù)滑行又沿水平冰道繼續(xù)滑行,滑行滑行若干米后停止在若干米后停止在C處處.若摩擦因數(shù)為若摩擦因數(shù)為0.050 .求此求此雪橇沿水平冰道滑行的路程雪橇沿水平冰道滑行的路程.(點點B附近可視為連附近可視為連續(xù)彎曲的滑道續(xù)彎曲的滑道.忽略空氣阻力忽略空氣阻力.)本題可以直接用牛頓定律求解本題可以直接用牛頓定律求解, 但解題步驟較多但解題步驟較多.若用功能原理求解則較簡捷若用功能原理求解則較簡捷./15上海師范大學上海師范大學6已知已知 ,

9、m500 , 050. 0 , m50sh求求 s解解 雪橇在坡道上和水平冰道上的受力如上圖所示雪橇在坡道上和水平冰道上的受力如上圖所示.12fEEW3.6 功能原理功能原理 機械能守恒定律機械能守恒定律以雪橇、冰道和地球為一以雪橇、冰道和地球為一系統(tǒng)系統(tǒng), 支持力和壓力不做功支持力和壓力不做功, 重力是保守力重力是保守力.NFfFPsinPcosPh sP2NF2fF而非保守摩擦力做功而非保守摩擦力做功. 因此由功能原理可得因此由功能原理可得因此因此, 摩擦力在坡道上做功為摩擦力在坡道上做功為 coscosf1mgsdsmgdsFWBABAf坡道上的摩擦力為坡道上的摩擦力為cosfmgFFN

10、/15上海師范大學上海師范大學7mghssmg)(可得可得12fEEW由功能原理由功能原理3.6 功能原理功能原理 機械能守恒定律機械能守恒定律mghEE12初末態(tài)機械能的變化為初末態(tài)機械能的變化為)( cos fssmgmgssmgW因此因此, 摩擦力在水平冰道上做功為摩擦力在水平冰道上做功為smgmgdsdsFWf 2f2水平冰道上的摩擦力為水平冰道上的摩擦力為mgFFN2f2初態(tài)雪橇的機械能為初態(tài)雪橇的機械能為(以水平冰道處的勢能為零以水平冰道處的勢能為零)mghEEEpk111末態(tài)雪橇的機械能為末態(tài)雪橇的機械能為0222pkEEEm500500100050005. 050 shs即即即

11、雪橇沿水平冰道滑行的距離為即雪橇沿水平冰道滑行的距離為500米米.NFfFPsinPcosPh sP2NF2fF/15上海師范大學上海師范大學8例例3 有一輕彈簧，其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點有一輕彈簧，其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點P，另一端系一質(zhì)量為，另一端系一質(zhì)量為 m 的小球，小球穿過圓環(huán)并在圓環(huán)上運動的小球，小球穿過圓環(huán)并在圓環(huán)上運動(不計摩擦不計摩擦).開始小球靜止于點開始小球靜止于點 A, 彈簧處于自然狀態(tài)彈簧處于自然狀態(tài),其長度為圓環(huán)半徑其長度為圓環(huán)半徑R ;當小球運動到圓環(huán)的底端點當小球運動到圓環(huán)的底端點B 時時,小球?qū)A環(huán)沒有壓力小球?qū)A環(huán)沒有壓力.求彈簧的勁度系數(shù)求彈簧

12、的勁度系數(shù).解解 以彈簧、小球和地球為一系統(tǒng)，以彈簧、小球和地球為一系統(tǒng)，因為小球在因為小球在AB內(nèi)內(nèi)只有保守內(nèi)力做功只有保守內(nèi)力做功所以系統(tǒng)機械能守恒所以系統(tǒng)機械能守恒, 即即ABEE 取圖中點取圖中點B為重力勢能零點為重力勢能零點3.6 功能原理功能原理 機械能守恒定律機械能守恒定律)30sin2(212122mgRmghkRmBv在在B點處由牛頓第二定律得點處由牛頓第二定律得 由上述兩式由上述兩式, 可以解得可以解得,RmmamgkRBn2v)30sin2(212kRmgRRmgkR30oPBRA0pEkRF mgP h/15上海師范大學上海師范大學930oPBRA0pE3.6 功能原理

13、功能原理 機械能守恒定律機械能守恒定律)30sin2(212kRmgRRmgkRkRmgmgkR3即即mgkR42Rmgk2由此解得由此解得, 本題如直接用牛頓定律求解是比較困難的本題如直接用牛頓定律求解是比較困難的./15上海師范大學上海師范大學103.8 能量守恒定律能量守恒定律機械能守恒定律機械能守恒定律: 只有保守內(nèi)力作功的情況下只有保守內(nèi)力作功的情況下, 質(zhì)點系的機械能保持不變質(zhì)點系的機械能保持不變. pkEE即即0pkEE或或iiiiEEEE0p0kpiki即即機械能守恒的前提條件是只有保守內(nèi)力做功機械能守恒的前提條件是只有保守內(nèi)力做功.如果體系有非保守內(nèi)力如果體系有非保守內(nèi)力(如

14、摩擦力如摩擦力)做功做功, 機械能還守恒嗎機械能還守恒嗎 ?不守恒不守恒 !機械能要與其它形式的能量發(fā)生轉(zhuǎn)換機械能要與其它形式的能量發(fā)生轉(zhuǎn)換.如轉(zhuǎn)換為熱能等如轉(zhuǎn)換為熱能等.但在轉(zhuǎn)換過程中但在轉(zhuǎn)換過程中, 其數(shù)量有什么關系其數(shù)量有什么關系 ?許多物理學家對此進行了定量研究許多物理學家對此進行了定量研究, 總結出了一條重要結論總結出了一條重要結論: 對于一個與外界對于一個與外界無無任何聯(lián)系的系統(tǒng)來說任何聯(lián)系的系統(tǒng)來說, 系統(tǒng)內(nèi)各種形式的能量系統(tǒng)內(nèi)各種形式的能量(機械能、機械能、光能、熱能和電能等光能、熱能和電能等)是是可以可以相互轉(zhuǎn)換的，但是不論如何轉(zhuǎn)換，能量既相互轉(zhuǎn)換的，但是不論如何轉(zhuǎn)換，能量既

15、不能不能產(chǎn)生產(chǎn)生，也不能消滅，也不能消滅. 這一結論叫做這一結論叫做能量守恒定律能量守恒定律./15上海師范大學上海師范大學114）能量的變化常用功來量度能量的變化常用功來量度. 功是功是過程物理量過程物理量.3.8 能量守恒定律能量守恒定律1）能量守恒定律是從）能量守恒定律是從生產(chǎn)實踐和科學實驗總結出來；無法證明但可以驗證生產(chǎn)實踐和科學實驗總結出來；無法證明但可以驗證.2）能量是系統(tǒng)能量是系統(tǒng)狀態(tài)狀態(tài)的函數(shù)；的函數(shù)；3）系統(tǒng)總能量不變系統(tǒng)總能量不變,但各種能量形式可以互相但各種能量形式可以互相轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化；關于能量守恒定律關于能量守恒定律, 請注意如下幾點請注意如下幾點: 注注 意意例例 下列各

16、物理量中下列各物理量中, 與參照系有關的物理量是哪些？與參照系有關的物理量是哪些？ (不考慮相對論效應不考慮相對論效應) 1）質(zhì)量質(zhì)量 2）動量動量 3）沖量沖量 4）動能動能 5）勢能勢能 6） 功功答：答：動量、動能、勢能動量、動能、勢能./15上海師范大學上海師范大學12完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞 兩物體碰撞后兩物體碰撞后, 以同一速度運動以同一速度運動.CpFFiiinex碰撞碰撞 兩物體互相接觸時間極短而互作用力較大的相互作用叫做碰撞兩物體互相接觸時間極短而互作用力較大的相互作用叫做碰撞.CEEE2k1kk完全彈性碰撞完全彈性碰撞 兩物體碰撞之后兩物體碰撞之后, 它們的動能之和不變

17、它們的動能之和不變.非彈性碰撞非彈性碰撞 由于非保守力的作用由于非保守力的作用 ，兩物體碰撞后，使機械能轉(zhuǎn)換為熱能、，兩物體碰撞后，使機械能轉(zhuǎn)換為熱能、 聲能、化學能等其他形式的能量聲能、化學能等其他形式的能量.3. 7 完全彈性碰撞完全彈性碰撞 完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞即碰撞即碰撞(不管何種碰撞不管何種碰撞)過程中過程中, 系統(tǒng)總動量守恒系統(tǒng)總動量守恒. 對完全彈性碰撞對完全彈性碰撞, 動量和動能都守恒動量和動能都守恒. 對非彈性碰撞對非彈性碰撞, 動量守恒動量守恒, 但動能不守恒但動能不守恒. 對完全非彈性碰撞對完全非彈性碰撞, 動量守恒動量守恒, 但動能不守恒但動能不守恒. /15上

18、海師范大學上海師范大學13例例 1 如圖所示如圖所示, 一質(zhì)量為一質(zhì)量為10克的子彈以克的子彈以100 ms-1的速度射入一質(zhì)量為的速度射入一質(zhì)量為500克的克的 靜止木塊并與木塊一起運動靜止木塊并與木塊一起運動, 求子彈和木塊一起運動的速度求子彈和木塊一起運動的速度.解解 由題意可知由題意可知)vv21202101(mmmm0,/1002010sm3. 7 完全彈性碰撞完全彈性碰撞 完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞m1m2v10V20=0kggmkggm5 . 0500,100 . 110221子彈射入木塊的過程屬于完全非彈性碰撞子彈射入木塊的過程屬于完全非彈性碰撞, 因此動量守恒因此動量守恒.

19、設子彈與木塊一起運動的速度為設子彈與木塊一起運動的速度為 v. 則由動量守恒定律得則由動量守恒定律得21202101mmmmv即1296.151.015.001.00100101sm子彈射入木塊后與木塊一起運動的速度為子彈射入木塊后與木塊一起運動的速度為1.96 ms-1.1. 驗證碰撞過程動能是否守恒驗證碰撞過程動能是否守恒? 2. 有多少能量轉(zhuǎn)化為熱能有多少能量轉(zhuǎn)化為熱能?/15上海師范大學上海師范大學1420v例例 2 設有兩個質(zhì)量分別為設有兩個質(zhì)量分別為m1 和和m2, 速度分別為速度分別為 和和 的彈性小球作對心碰的彈性小球作對心碰撞撞 , 兩球的速度方向相同兩球的速度方向相同. 若

20、碰撞是完全彈性的若碰撞是完全彈性的,求碰撞后的速度求碰撞后的速度 和和 . 10v1v2v2211202101vvvvmmmm解解 由于碰撞是完全彈性的由于碰撞是完全彈性的, 因此動量和動能都守恒因此動量和動能都守恒.由動能守恒得由動能守恒得2222112202210121212121vvvvmmmm3. 7 完全彈性碰撞完全彈性碰撞 完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞取速度方向為正向，由取速度方向為正向，由動量守恒動量守恒定律得定律得由由(1)式、式、(2)式可解得式可解得,2)(2120210211mmmmmvvv21101201222)(mmmmmvvv)()(20221101vvvvmm即即

21、(1)()(220222212101vvv-v mm即即(2)A1m2m10v20vB1v2vABm1m2/15上海師范大學上海師范大學15（1）若）若21mm 則則102201 , vvvv（2）若）若且且0 20v12mm 則則0 , 2101vvv0 20v12mm （3）若）若且且1021012 , vvvv則則討討 論論21202102112)(mmmmmvvv21101201222)(mmmmmvvv3. 7 完全彈性碰撞完全彈性碰撞 完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞說明質(zhì)量相同的小球碰撞后相互交換速度說明質(zhì)量相同的小球碰撞后相互交換速度.小球碰靜止的大球時小球碰靜止的大球時, 小球以

22、入射同樣大的速率被反彈小球以入射同樣大的速率被反彈.大球碰靜止的小球時大球碰靜止的小球時, 大球速率基本不變大球速率基本不變, 但小球以近似于大球速度的兩但小球以近似于大球速度的兩倍向前運動倍向前運動.A1m2m10v20vB1v2vABm1m2/15上海師范大學上海師范大學16作業(yè)作業(yè): pp97-98 習題習題 3-22; 3-25; 3-26; 3-29上海師范大學上海師范大學173.6 功能原理功能原理 機械能守恒定律機械能守恒定律例例 3 在一截面積變化的彎曲管中，在一截面積變化的彎曲管中， 穩(wěn)定流動著不可壓縮的密度為穩(wěn)定流動著不可壓縮的密度為 的流體的流體. 點點 a 處的壓強為處

23、的壓強為 p1 1、截面積為、截面積為A1 1 ,在點在點b 處的壓強為處的壓強為p2 2 截面積為截面積為A2 2 .由于由于 點點 a 和點和點 b 之間存在壓力差之間存在壓力差, 流體將在管中移動流體將在管中移動. 在點在點 a 和點和點b 處的速率處的速率 分別為分別為v1 和和V2 . 求流體的壓強和速率之間的關系求流體的壓強和速率之間的關系.yxo1x11dxx 2x22dxx 2y1y2p1p1v2vab1A2A解解 取如圖所示坐標取如圖所示坐標,在在 dt 時間內(nèi)時間內(nèi)a 、 b處流體分別移動處流體分別移動dx1、dx2 . 2211dddxFxFWp則則壓力所做的元功壓力所做的元功為為222111ddxApxAp8/ 16第第3-6節(jié)的例節(jié)的例3.VxAxAddd2211因為流體不可壓縮因為流體不可壓縮, 因此有因此有VppWpd)(d21代入元功表達式代入元功表達式, 得得上海師范大學上海師范大學18g