冪級數(shù)求和問題20140616

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求冪級數(shù)的和函數(shù)的方法:先通過冪函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算和逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩類典型的冪級數(shù)求和問題:11nnnx11nnnx與1.nnxn 1,1)x 1()nnx1()nnx1(1)1x21,(1) x( 1,1)x 1nnxn101dxnntt101()dxnntt01d1xttln(1)x 1,110 xxxnn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若冪級數(shù)nnnxa0的收斂半徑,0R)(xS數(shù)則其和函在收斂域上連續(xù)若冪級數(shù)在收斂區(qū)間的左端點(diǎn) 收斂,xR 在收斂區(qū)間的左端點(diǎn) 右連續(xù),)(xS數(shù)則其和函xR 若冪級數(shù)在收斂區(qū)間的右端點(diǎn) 收斂,xR在收斂區(qū)間的右端點(diǎn)

2、 左連續(xù),)(xS數(shù)則其和函xR 說明：這一性質(zhì)在求某些特殊的數(shù)項(xiàng)級數(shù)之和時(shí)，非 常有用。0lim( )()nnxRnS xaR0lim( )nnxRnS xa R目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求冪級數(shù)的和函數(shù)的技巧:當(dāng)冪函數(shù)的系數(shù)是n的有理整式(n在分子上),先逐項(xiàng)積分把n約去,在逐項(xiàng)求導(dǎo)求和函數(shù).當(dāng)冪函數(shù)的系數(shù)是n的有理分式(n在分母上),先逐項(xiàng)求導(dǎo)把n約去,在逐項(xiàng)積分,求和函數(shù).1()nnxnxn在分子上,利用n在分母上,利用,11nxxx首項(xiàng)10d1nxnxxxn1nnxn求冪級數(shù)01nnnx求導(dǎo)取分母，積分去分子11nn()1首項(xiàng)公比01,1nn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1314

3、C.211( 1)21nnnxn求冪級數(shù)和函數(shù)，在區(qū)間并求級數(shù) 1( 1).(21)3nnnn的和 2111( )( 1)21nnnS xxn 解解:12101( 1)21nnnxn 兩端求導(dǎo)得 120( )( 1)nnnS xx20()nnx 21,1x 1,1x 內(nèi)的 1,10( )(0)( )xS xSS x dx2011xdxx arctan . x( 1,1).x (0)0,S1( 1)(21)3nnnn 21( 1)(21)( 3)nnnn 2111( 1)3(21)( 3)nnnn 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1314C.211( 1)21nnnxn求冪級數(shù)和函數(shù)，在區(qū)間并求級

4、數(shù) 1( 1).(21)3nnnn的和 內(nèi)的 1,11( 1)(21)3nnnn 2111( 1)3(21)( 3)nnnn 解解:11()33S 11arctan33 163 3.18 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2101121nnnxn例例 求 的和函數(shù).解解:21121( )21limlim( )21nnnnnnuxxnu xnx0( 1)1 ,21nnxn當(dāng)時(shí) 級數(shù)為2221lim21nnxxn21,當(dāng)x 時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 1.R 1x 即21,當(dāng)x 1x 即收斂; 1,1.原級數(shù)的收斂域?yàn)?0( 1)1 ,21nnxn 當(dāng)時(shí)級數(shù)為收斂.n在分母上先導(dǎo)后積目錄 上頁

5、 下頁 返回 結(jié)束 2101121nnnxn 2101( 1),21nnnS xxn 2220011(),1,11nnnnSxxxxx 2010arctan ,1xS xSdxxx例例 求 解解 設(shè)兩端積分得 兩端求導(dǎo)得 的和函數(shù).1,1x 00,S11nn()1首項(xiàng)公比01,1nn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1213B.1nnxn求冪級數(shù) 的收斂域及和函數(shù) 解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , 時(shí)級數(shù)且1x收斂 , 1,1)則收斂域?yàn)閤 = 1 時(shí)級數(shù)發(fā)散, 1nxx首項(xiàng)1( ),nnxs xn1( )()nnxs xn1()nnxn11nnnxn11nnx11x( 1,1)在內(nèi),n在

6、分母上先導(dǎo)后積0( )(0)( )dxs xss xx01d1xxx(0)0,sln(1).x 1,1).x 1213高數(shù)B112nnn并求的值.112nnn1( )2S12(1ln)ln2.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求冪級數(shù)1nnxn的和函數(shù)( ).s x解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , 時(shí)級數(shù)且1x收斂 , 1,1),則收斂域?yàn)閤 = 1 時(shí)級數(shù)發(fā)散, 10dnxnxttn1nxx首項(xiàng)( 1,1)在內(nèi),n在分母上先導(dǎo)后積1213高數(shù)B1nnxn101dxnntt101()dxnntt01d1xttln(1)x ( )s xln(1),x 1,1)x 112nnn1( )2S12

7、(1ln)ln2.112nnn并求的值.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0(1)(1)nnnx求級數(shù)的收斂域及和函數(shù).1(1)(1)limlim|1|,nnnnunxxun由解解: :|1| 1,2.xx所以當(dāng)即0時(shí)，原級數(shù)收斂1112B00 ,( 1) (1),nnxn當(dāng)時(shí)級數(shù)為時(shí)級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 1.R |1| 1,x當(dāng)發(fā)散;(0,2).收斂域?yàn)?2 ,(1),nxn當(dāng)時(shí) 級數(shù)為發(fā)散.|1| 1,x 當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂12nnn0并求的值.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0(1)(1)nnnx求級數(shù)的收斂域及和函數(shù).解解: : 0,2x 對對，110( )1 (1)xxnns t dtntdt

8、1112B101(1).2nnxxx0(1)(1)( )nnnxs x02x 2111( )().2(2)xdxs xs t dtdxxx對上式兩邊求導(dǎo)，得11(1)( )22nnnnnn00122114.(2)xx 從而12nnn0并求的值.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21( 1)(1)4 (21)nnnnxn求級數(shù)的收斂半徑和收斂域.1011B解解: :21( )121lim| lim(1)( )4 (23)nnnnuxnxu xn;級數(shù)收斂214(1)1,1| 2,xx當(dāng)故|1( 1)3 1 ,2nnxn 當(dāng)或時(shí) 級數(shù)為1,3 .原級數(shù)的收斂域?yàn)?1(1)4x214(1)1當(dāng)，x1|

9、2,故|x 31 ,.xx 即或時(shí)級數(shù)發(fā)散13,x 即時(shí)此級數(shù)收斂;故收斂半徑為 2.R 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求級數(shù) 1011B35213521nxxxxn 的和函數(shù).解解: :21( )21lim| lim( )21nnnnuxnxu xn2x111 ,21nxn當(dāng)時(shí)級數(shù)為21,當(dāng)x 時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 1.R 1x 即21,當(dāng)x 1x 即此級數(shù)發(fā)散;( 1,1).收斂域?yàn)?11 ,2nxn當(dāng)時(shí)級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求級數(shù) 1011B35213521nxxxxn 的和函數(shù).( 1,1),在內(nèi)

10、212211()21 nnnnxS xxn20 nnx211 x0( )(0)( )xS xSS xdt 2011 xdtx11ln.21 xx( 1,1).x (0)0,S 211( ),21 nnxS xn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0910B(1)(1)0nnxn求級數(shù)的收斂域及和函數(shù).1(1)(1)limlim|1|,nnnnunxxun由解解: : 0,2,S x在內(nèi)設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為 0,2x 對對，|1| 1,2.xx所以當(dāng)即0時(shí)，原級數(shù)收斂20,0 2 .xx易知和時(shí) 原級數(shù)發(fā)散 所以收斂域?yàn)椋?1110011 (1)(1).2xxnnnnxS t dtntdtxx 12nnn

11、0并求的值.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 02x 2111( )().2(2)xdxs xS t dtdxxx對上式兩邊求導(dǎo)，得對上式兩邊求導(dǎo)，得11(1)( )22nnnnnn0012121|4.(2)xx 從而從而目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0809B212nnxn求冪級數(shù) 在收斂域的和函數(shù) 解:2212( )2limlim( )2(1)nnnnnnuxxnu xnx111 ,2nxn 當(dāng)時(shí) 級數(shù)為22lim1nnxxn21,當(dāng)x 時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 1.R 1x 即21,當(dāng)x 1x 即此級數(shù)發(fā)散;( 1,1).收斂域?yàn)槟夸?上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( 1,1) ,在內(nèi)有

12、 212nnxn求冪級數(shù)求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的收斂域及和函數(shù). .201ln(1)|2xt 21ln(1).2x 解解:2101 xnntdt2011 xnnt dtt2011( ) xnntdtt22011xtdttt 201xtdtt 22011(1)21xdtt ( 1,1).x 21( )2nnxs xn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21(21).112nnnxnnn求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求121limlim1,23nnnnanRan解解:( 1,1) ,( ),s x在內(nèi)設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為則 111212nnnnnns xnxnxx ( 1 1). 所以收斂域?yàn)椋?,x 且時(shí) 通項(xiàng)極

13、限不為零,原級數(shù)發(fā)散1112nnnnxnxx 12 ()nnxx=1xx2()11xxxxx0405高數(shù)A目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2222311111xxxxxxxx 12221213|5.2(1)xnnnxxx從而2()11xxxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0607高數(shù)A1nnxn 已知冪級數(shù)求其收斂區(qū)間、和函數(shù), 并求出數(shù)項(xiàng)級數(shù) 112nnn 的和.1213B目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解注意：缺少偶次冪的項(xiàng)注意：缺少偶次冪的項(xiàng)(不能用公式）不能用公式）應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法)()(lim1xuxunnn 212121lim21nnnxnxn 2,x 級數(shù)收斂

14、級數(shù)收斂,21,x 當(dāng)當(dāng)1 ,x 即即時(shí)時(shí)21,x 當(dāng)當(dāng)1 ,x 即即時(shí)時(shí)級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,1,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)1,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域?yàn)樵墧?shù)的收斂域?yàn)? 1,1). 11,21nn 級級數(shù)數(shù)為為11,21nn 級級數(shù)數(shù)為為- -0708A21121nnxn求級數(shù) 的和函數(shù)， 并求11(21)4nnn 的和.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解:),(xS設(shè)它的和函數(shù)為設(shè)它的和函數(shù)為211( ).21nnxS xn 則則21222111( )211nnnnxS xxnx 故故, 0)0( S20111( )ln,( 1,1)121xxS xdxxxx ,)

15、1, 1(內(nèi)內(nèi)在在 11( )22S1ln3.4 11(21)4nnn 1211(21)212nnn 1112ln1412 0708A21121nnxn求級數(shù) 的和函數(shù)， 并求11(21)4nnn 的和.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(lim1xuxunnn |)12()12(|lim222 nnnxnxn2x 解解收斂收斂, , 12 x當(dāng)當(dāng),1時(shí)時(shí)即即 x, 12 x當(dāng)當(dāng)，發(fā)散，發(fā)散時(shí)，級數(shù)為時(shí)，級數(shù)為 1)12(1nnx故收斂故收斂域域?yàn)闉?-1,1)發(fā)散發(fā)散, ,1 ,x 即時(shí)0809高數(shù)A2(1)1(21)nnnx求冪級數(shù) 的收斂域及和函數(shù) 級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng)級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),目

16、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的的收收斂斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)五五，求求冪冪級級數(shù)數(shù))1(21)12( nnxn 122)12()(nnxnxs 112)(nnx 112)(nnx 123112nnnxxxx21xx )1(2 xx222)1(1xx 解解目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0910高數(shù)A1nnnx 求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù) 解解nnnaa1lim nnn1lim 1 R故收斂故收斂域域?yàn)闉?-1,1),1- 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)1(-1 nnn級級數(shù)數(shù)為為,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散,1 nn級數(shù)為級數(shù)為 1)(nnnxxs)(1 nnxx 11nnnxx)(1 nnxx 2xx 1

17、nnxxx 1)1( xxx21xx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1011高數(shù)A1nnnx求冪級數(shù) 的收斂域及和函數(shù) ,并求級數(shù) 112nnn 的和 1-1)(nnnxxs)(1 nnx)(1 nnx)1( xx211）（x 112nnn4)21( s解解nnnaa1lim 12lim nnn1 1 R,1- 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)1(-11 nnn級級數(shù)數(shù)為為,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x發(fā)散發(fā)散;發(fā)散發(fā)散,1 nn級數(shù)為級數(shù)為故收斂故收斂域域?yàn)闉?-1,1)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1112高數(shù)A0(1)nnnx求冪級數(shù) 的收斂域及和函數(shù). 解解nnnaa1lim 12lim nnn1 1 R故收斂故收

18、斂區(qū)間區(qū)間為為(-1,1)故收斂故收斂域域?yàn)闉?-1,1),1- 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, )1()1(-0 nnn級級數(shù)數(shù)為為,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x發(fā)散發(fā)散;發(fā)散發(fā)散, )1(0 nn級數(shù)為級數(shù)為 0)1()(nnxnxs 01)(nnx)(01 nnx)1( xx2)1(1x 1 nan目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1213高數(shù)A1nnxn 求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù). 1213高數(shù)B目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11( 1).nnnxn求級數(shù)的和函數(shù)例例10.解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , 1x 且時(shí)級數(shù)收斂 , ( 1,1,則在中 有1x 時(shí)級數(shù)發(fā)散,11( 1)( )nnnnSxx01d1x

19、xx11x ln(1) x1011( 1d)xnnnxx1011( 1d)xnnnxx 201()()nnnxxxx 011()dxnnxx00() dxnnxx11x11x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11( 1).nnnxn求級數(shù)的和函數(shù)例例10.111()(nnnxnS xln(1) x11)(1)( 1nnnS111111( 1)234nn ln(1 1)ln2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 01(1);1nnxx2201(2)( 1);1nnnxx2201(3);1nnxx0(4);!nxnxen常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)11(5)( 1)ln(1).nnnxxn( 11)x 目錄 上頁

20、 下頁 返回 結(jié)束 21( 1)2nnnxn五、（10分）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).解:2212( )2limlim( )2(1)nnnnnnuxxnu xnx111 ,( 1),2當(dāng)時(shí)級數(shù)為nnxn 22lim1nnxxn21,當(dāng)x 時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 1.R 1x 即21,當(dāng)x 1x 即此級數(shù)收斂;1,1 .原級數(shù)的收斂域?yàn)?0910C)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21( 1)2nnnxn五、（10分）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).另解:(0910C)2212( )2limlim( )2(1)nnnnnnuxxnu xnx22lim1nnxxn111 ,( 1),2當(dāng)時(shí)級數(shù)為

21、nnxn 21,當(dāng)x 時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 1.R 1x 即21,當(dāng)x 1x 即此級數(shù)收斂;1,1 .原級數(shù)的收斂域?yàn)槟夸?上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1,1), 在在內(nèi)內(nèi) 則則 22111( 1)( 1)2nnnnnnxS xxn 21( 1)2nnnxn五、（10分）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).211( 1)nnnxx 211()nnxx 2211 ()xxx 21xx 0( )(0)( )xS xSS xdt 201xtdtt 21ln(1).2x 由和函數(shù)的連續(xù)性知21( )ln(1), 1,1.2S xxx (0)0,S (0910C)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 213.

22、(21).112nnnxnnn求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求121limlim1,23nnnnanRan解解:( 1,1) ,( ),s x在內(nèi)設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為則 111212nnnnnns xnxnxx ( 1 1). 所以收斂域?yàn)椋?,x 且時(shí) 通項(xiàng)極限不為零,所以原級數(shù)發(fā)散1112nnnnxnxx 12 ()nnxx=1xx2()11xxxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2222311111xxxxxxxx 12221213|5.2(1)xnnnxxx從而2()11xxxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 1. 解解: :五、綜合題（每小題五、綜合題（每小題10分，共分，共20分）分）(1

23、213C)1limnnnaRa 2,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)2,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)11,2nn 級級數(shù)數(shù)為為11( 1),2nnn 級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散.該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散.12lim12nnnnn2.R( 2,2).故級數(shù)的收斂域?yàn)?2lim2,1nnn 1112()nnnnnx求求冪冪級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)， - -= =- - 112().nnnn并并求求級級數(shù)數(shù)的的和和 = =- - 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )s x 22,(2)x 1( 1)(1)2nnnns 122|(2)xx 2.9 22.x 1. 1. 1112()nnnnnx求求冪冪級級數(shù)數(shù)的的收收斂

24、斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)， - -= =- - 五、綜合題（每小題五、綜合題（每小題10分，共分，共20分）分） (1213C)112().nnnn并并求求級級數(shù)數(shù)的的和和 = =- - 解解: :目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 五、綜合題（每小題五、綜合題（每小題1010分，共分，共3030分）分）(1112C)(1112C)1.1. 解解: :2,x 當(dāng)時(shí)2,x 當(dāng)時(shí)11,級數(shù)為nn1( 1),級數(shù)為nnn該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂2lim2+1nnn( 2,2. 故級數(shù)的收斂域?yàn)?limnnnaRa 11212(1)limnnnnn1( 1).2nnnnxn求冪級數(shù)的收斂域及和

25、函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 五、綜合題（每小題五、綜合題（每小題10分，共分，共30分）分）(1112C)1. 解解: :( 2,2. 故級數(shù)的收斂域?yàn)? 2,2 , 在內(nèi) 有1( 1)( )2nnnns xxn 1011()22xnntdt 1011()22xnntdt 021121xtdt ln2ln(2),x 1( 1).2nnnnxn求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)101( 1)2nxnnntdt 01222xdtt 0ln(2)|xt 22.x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、計(jì)算題（每小題四、計(jì)算題（每小題8 8分，共分，共3030分）分）(1011C)(1011C)(4) 求級數(shù)

26、21( 1)(1)4 (21)nnnnxn的收斂域.解解: :21( )121lim| lim(1)( )4 (23)nnnnuxnxu xn;級數(shù)收斂214(1)1,1| 2,xx當(dāng)故|1( 1)3 1 ,2nnxn 當(dāng)或時(shí) 級數(shù)為1,3 .原級數(shù)的收斂域?yàn)?1(1)4x214(1)1當(dāng)，x1| 2,故|x 31 ,.xx 即或時(shí)級數(shù)發(fā)散13,x 即時(shí)此級數(shù)收斂;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 1. 1111212().(nnnnnnnnxn求求冪冪級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)，并并求求級級數(shù)數(shù)的的和和 - -= = = =- - - 解二解二: :五、綜合題（每小題五、綜合

27、題（每小題10分，共分，共20分）分）(1213C)1limnnnaRa 2,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)2,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)11,2nn 級級數(shù)數(shù)為為11( 1),2nnn 級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散.該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散.12lim12nnnnn 2R ( 2,2). 故故級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域?yàn)闉閘im22,1nnn 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 1. 1111212().(nnnnnnnnxn求求冪冪級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)，并并求求級級數(shù)數(shù)的的和和 - -= = = =- - - 解二解二: :五、綜合題（每小題五、綜合題（每小題10分，共分，共20分）分） 2,2, 在在

28、內(nèi)內(nèi) 有有11( 1)( )2nnnnns xx 兩邊逐項(xiàng)積分兩邊逐項(xiàng)積分011( 1)2nnxnnt 1001( )( 1)2xxnnnnns t dttdt 1()2nnx 112xx ,2xx (1213C)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 02( )1,2xs t dtx 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得兩邊再對兩邊再對 x( )()2xs xx 22.(2)x 1( 1)(1)2nnnns 122|(2)xx 2.9 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 1. 1111212().(nnnnnnnnxn求求冪冪級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)，并并求求級級數(shù)數(shù)的的和和 - -= = = =- -

29、- 解三解三: :五、綜合題（每小題五、綜合題（每小題10分，共分，共20分）分）1limnnnaa 2,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)2,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)11,2nn 級級數(shù)數(shù)為為11( 1),2nnn 級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散+1 11lim22nnn2R ( 2,2). 故故級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域?yàn)闉?1213C)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 1. 1111212().(nnnnnnnnxn求求冪冪級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)，并并求求級級數(shù)數(shù)的的和和 - -= = = =- - - 解三解三: :五、綜合題（每小題五、綜合題（每小題10分，共分，共20分）分）

30、 2,2, 在在內(nèi)內(nèi) 有有11( 1)( )2nnnnns xx 兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)01( 1),1nnnxx 111( 1)1nnnxx 1211( 1),(1)nnnnxx 1211( 1) ( )2(1)2nnnxnx (1213C)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1211( 1) ( )2(1)2nnnxnx 112( 1)2nnnnnx 12142( 1)(2)2nnnnnxx 121( 1)2.2(2)nnnnnxx 1( 1)(1)2nnnns 122|(2)xx 2.9 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 五、綜合題（每小題五、綜合題（每小題10分，共分，共30分）分）11.()

31、2nnnnxn 求求冪冪級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)1. 解解: :1limnnnaa 2,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)2,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)11,nn 級級數(shù)數(shù)為為1( 1),nnn 級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂1+11lim22nnn2R ( 2,2. 故故級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域?yàn)闉?1112C)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 五、綜合題（每小題五、綜合題（每小題10分，共分，共30分）分）11.()2nnnnxn 求求冪冪級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)1. 解解: :( 2,2. 故故級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域?yàn)闉? 2,2 ,( ),s x 在在內(nèi)內(nèi) 設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)

32、的的和和函函數(shù)數(shù)為為則則1( 1)( )2nnnns xxn 兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)11( 1)2nnnnx 1( 1)( )()2nnnns xxn 11(1)12xx 1,2x 11()2nnxx (1112C)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )s x 1,2x 兩邊逐項(xiàng)積分兩邊逐項(xiàng)積分001( )(0)( ),2xxs xss t dtdtt (0)0.s 且且0ln(2)|xt ln2ln(2).t 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí):1(2).(1)nnxn n;212) 1()1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x 1221nnxx22

33、2211xxx22xx222)2(2xx顯然 x = 0 時(shí)上式也正確,. )2,2(x故和函數(shù)為而在2xx0,)2(2)(222xxxS4. 求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：級數(shù)發(fā)散,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2)nnxnn1111原式101dxnntt 011dxnnttx01d1xtt01d1xttxt)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( x101dxnntt011dxnnttxx0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx顯然 x = 0 時(shí), 級數(shù)收斂于0, 根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1x

34、xxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 時(shí), 級數(shù)也收斂 . 即得)1(ln)11(1lim0 xxx0)1(lnlim10 xxx又 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 CH11 級數(shù)級數(shù)一、基本概念一、基本概念:二、計(jì)算二、計(jì)算:數(shù)項(xiàng)級數(shù)、冪級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)、冪級數(shù):( ).常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)審審斂斂法法 比比較較、比比值值；交交錯(cuò)錯(cuò)級級數(shù)數(shù)審審斂斂法法、絕絕對對收收斂斂、條條件件收收斂斂；冪冪級級數(shù)數(shù) 收收斂斂半半徑徑 、和和函函數(shù)數(shù)、冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開Rs x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 3121111 nnn 1 3121111 nnn 1 3121111 nnn調(diào)和級數(shù)調(diào)和

35、級數(shù) ) 1(1 321211) 1(11 nnnnn ) 1(1 321211) 1(11 nnnnn ) 1(1 321211) 1(11 nnnnn 20 nnnaqaqaqaaq 20 nnnaqaqaqaaq幾何級數(shù)幾何級數(shù) 1 31211 11 pppnpnn 1 31211 11 pppnpnn 1 31211 11 pppnpnn級數(shù)的展開形式級數(shù)的展開形式備注備注一般項(xiàng)一般項(xiàng)簡寫形式簡寫形式aqn 1p級數(shù)級數(shù) 無窮級數(shù)無窮級數(shù)發(fā)散發(fā)散 拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消 收斂收斂 1,1,qq當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 收收斂斂當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 發(fā)發(fā)散散1 ,1 ,pp當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)收收斂斂11( 1)n

36、pnnp 1 時(shí), 絕對收斂 ; 0 p1 時(shí), 條件收斂 ;p0 時(shí), 發(fā)散 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念設(shè)121)()()()(nnnxuxuxuxu為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù) .對,0Ix 若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)10)(nnxu斂點(diǎn)斂點(diǎn), 所有收斂點(diǎn)的全體稱為其收斂域收斂域 ;若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)10)(nnxu為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù), 稱收斂,發(fā)散 ,所有0 x稱為其收收 0 x稱為其發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn), ),2, 1()(nxun發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散域發(fā)散域 .12nx211( )2n12nn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , )(xS為級數(shù)

37、的和函數(shù)和函數(shù) , 并寫成)()(1xuxSnn若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余項(xiàng))()()(xSxSxrnn則在收斂域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函數(shù)項(xiàng)級數(shù)前 n 項(xiàng)的和, 即在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是 x 的函數(shù) 稱它目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù), 其中數(shù)列), 1 , 0(nan下面著重討論00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如, 冪級數(shù)1,110 xxxnn為冪級數(shù)的系數(shù)系數(shù) .即是此種情形.的情形,

38、 即nnxxa)(0稱 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 收斂 發(fā)散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若冪級數(shù)0nnnxa,0點(diǎn)收斂在xx 則對滿足不等式0 xx 的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂.反之, 若當(dāng)0 xx 0 xx 的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散 . 時(shí)該冪級數(shù)發(fā)散 , 則對滿足不等式Ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂阿貝爾 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 冪級數(shù)在 (, +) 收斂 ;由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的區(qū)間. 用R 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為則R = 0 時(shí), 冪級數(shù)僅在 x = 0 收斂 ;R = + 時(shí),0 R冪級數(shù)在 (R , R )

39、收斂 ;(R , R ) 加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域收斂域.R 稱為收斂半徑收斂半徑 ， 在R , R 可能收斂也可能發(fā)散 .Rx外發(fā)散; 在(R , R ) 稱為收斂區(qū)間收斂區(qū)間.Ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2. 若0nnnxa的系數(shù)滿足,lim1nnnaa;1R;R.0R1) 當(dāng) 0 時(shí),2) 當(dāng) 0 時(shí),3) 當(dāng) +時(shí),則 0nnnxa的收斂半徑為說明說明: :據(jù)此定理1limnnnaaR目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng) 時(shí)，級數(shù)發(fā)散。定理定理3.如果任意項(xiàng)級數(shù)滿足條件則當(dāng) 時(shí)，級數(shù)收斂，且為絕對收斂1nnu 1limnnnuu 當(dāng) 時(shí)，級數(shù)可能絕

40、對收斂,可能條件收斂，也可能發(fā)散.111目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、求冪級數(shù)收斂域的方法二、求冪級數(shù)收斂域的方法 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù): 先求收斂半徑 R : 再討論Rx 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處的斂散性 .,lim1nnnaaR注: 求冪級數(shù)的收斂域,應(yīng)先求出收斂半徑和收斂區(qū)間,再考慮區(qū)間端點(diǎn)的斂散性,而區(qū)間端點(diǎn)的斂散性可轉(zhuǎn)化為數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別.一般不能用比值判別法判定區(qū)間端點(diǎn)的斂散性.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 求冪級數(shù)收斂域的方法1) 對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑 , 再討論端點(diǎn)的收斂性 .2) 對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為

41、復(fù)合式)求收斂半徑時(shí)直接用比值法,)0(0nnnnaxa也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求 .求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域的步驟求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域的步驟:1( )1g( )1( )nnuxxux（ ）由由得得一一區(qū)區(qū)間間(2),.xa xb判別當(dāng)時(shí) 級數(shù)是否收斂axb：目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 212nnnnx)()(lim1xuxunnn解解: 因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x當(dāng)時(shí)，即22x,2時(shí)當(dāng)x故收斂域?yàn)? )2,2(級數(shù)收斂;一般項(xiàng)nun不趨于0,nlim級數(shù)發(fā)散; 3. 求下列級數(shù)的收斂域:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.12) 1(nnnnx求冪級數(shù)的收斂域.解

42、解: 令 ,1 xt級數(shù)變?yōu)閚nntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12當(dāng) t = 2 時(shí), 級數(shù)為,11nn此級數(shù)發(fā)散;當(dāng) t = 2 時(shí), 級數(shù)為,) 1(1nnn此級數(shù)收斂;因此級數(shù)的收斂域?yàn)?22t故原級數(shù)的收斂域?yàn)?212x即.31x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.1(1)2nnnxn求冪級數(shù)的收斂域.另解另解:1( ) limlim( )nnnnuxu x11(1)2(1)nnxn(1)2nnxn1lim1 2nnxn比值審斂法求收斂半徑.直接由12x112x當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)發(fā)散 13x 即112x當(dāng)13xx 即或1

43、2,x,12,x,故級數(shù)的收斂區(qū)間為 ( 1,3).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.12) 1(nnnnx求冪級數(shù)的收斂域.另解另解:當(dāng) x = 3 時(shí), 級數(shù)為,11nn此級數(shù)發(fā)散;當(dāng) x = 1 時(shí), 級數(shù)為,) 1(1nnn此級數(shù)收斂;故原級數(shù)的收斂域?yàn)?1,3).故級數(shù)的收斂區(qū)間為 ( 1,3).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、冪級數(shù)的運(yùn)算三、冪級數(shù)的運(yùn)算定理定理3. 設(shè)冪級數(shù)nnnxa0nnnxb0及的收斂半徑分別為,21RR令nnnxa0)(0為常數(shù)nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 則有 :nnnn

44、nnxbxa00其中knnkknbac0以上結(jié)論可用部分和的極限證明 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4 若冪級數(shù)nnnxa0的收斂半徑,0R)(xS數(shù)nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx則其和函在收斂域上連續(xù), 且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分, 運(yùn)算前后收斂半徑相同: 注注: 逐項(xiàng)積分或逐項(xiàng)求導(dǎo)時(shí), 運(yùn)算前后的收斂半徑不變.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): :目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 . 冪級數(shù)經(jīng)過有限次的逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分,不改變其收斂半徑和收斂區(qū)間,但在收斂區(qū)間端點(diǎn)的斂散性可能會(huì)

45、發(fā)生改變,積分后收斂域可能增加,求導(dǎo)后收斂域可能減少. 冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)無窮次可導(dǎo). 利用冪級數(shù)的性質(zhì),可以求一些冪級數(shù)的和函數(shù).注:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求部分和式極限三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法 求和 映射變換法 逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分nnnxa0)(*xS對和函數(shù)求積或求導(dǎo))(xS難直接求和: 直接變換,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和, 再代值求部分和等 初等變換法: 分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)） 數(shù)項(xiàng)級數(shù) 求和nnnxa0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 冪級數(shù)的和函數(shù)冪級數(shù)的和函數(shù)(1)必必須須在在該該級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域內(nèi)內(nèi)考考慮慮；1(2),1.1nxxx以以

46、為為參參考考依依據(jù)據(jù)注：注：( ):.s x求求基基本本思思想想 利利用用冪冪級級數(shù)數(shù)性性質(zhì)質(zhì)將將所所給給級級數(shù)數(shù)化化為為幾幾何何級級數(shù)數(shù)1()()nn一一般般常常用用逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分 求求導(dǎo)導(dǎo) 法法去去掉掉系系數(shù)數(shù)中中的的“”因因子子；用用逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求導(dǎo)導(dǎo) 積積分分 法法去去掉掉系系數(shù)數(shù)中中的的“ ”因因子子；也也可可以以先先求求導(dǎo)導(dǎo), ,后后再再積積分分, ,或或者者先先積積分分再再求求導(dǎo)導(dǎo). .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 1. 1112()nnnnnx求求冪冪級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)， - -= =- - 解解: :五、綜合題（每小題五、綜合題（每小題10分，共分，共20分）分） (1213C)2,2,在內(nèi) 有11( 1)( )2nnnnns xx 1() )2nnx2()1()2xx ()2xx 22,(2)x