全等三角形常用輔助線做法(共13頁)

1、五種輔助線助你證全等 姚全剛在證明三角形全等時有時需添加輔助線，對學習幾何證明不久的學生而言往往是難點下面介紹證明全等時常見的五種輔助線，供同學們學習時參考一、截長補短一般地，當所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時，通?？梢钥紤]用截長補短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等例1如圖1，在ABC中，ABC=60°，AD、CE分別平分BAC、ACB求證：AC=AE+CD分析：要證AC=AE+CD，AE、CD不在同一直線上故在AC上截取AF=AE，則只要證明CF=CD證明：在AC上截取AF=AE，連接OFAD、CE分別平分BAC

2、、ACB，ABC=60°1+2=60°，4=6=1+2=60°顯然，AEOAFO，5=4=60°，7=180°（4+5）=60°在DOC與FOC中，6=7=60°，2=3，OC=OCDOCFOC， CF=CDAC=AF+CF=AE+CD 截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例2：如圖甲，ADBC，點E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求證：CD=A

3、D+BC。思路分析：1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。2）解題思路：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的。解答過程：證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙FCEBCE（SAS），2=1。又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4。在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC。解題后的思

4、考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。1）對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證明不出來，可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明。二、中線倍長三角形問題中涉及中線（中點）時，將三角形中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形是常用的解

5、題思路例3已知三角形的兩邊長分別為7和5，那么第三邊上中線長的取值范圍是（ ）分析：要求第三邊上中線的取值范圍，只有將將中線與兩個已知邊轉(zhuǎn)移到同一個三角形中，然后利用三角形的三邊關(guān)系才能進行分析和判斷解：如圖2所示，設AB=7，AC=5，BC上中線AD=x延長AD至E，使DE = AD=xAD是BC邊上的中線，BD=CDADC=EDB（對頂角）ADCEDBBE=AC=5在ABE中 AB-BEAEAB+BE即7-52x7+5 1x6例4：已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF提示：倍長AD至G，連接BG，證明BDGCDA 三角形B

6、EG是等腰三角形例5：已知：如圖，在中，D、E在BC上，且DE=EC，過D作交AE于點F，DF=AC.求證：AE平分提示：方法1：倍長AE至G，連結(jié)DG方法2：倍長FE至H，連結(jié)CH例6：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中線，求證：C=BAE提示：倍長AE至F，連結(jié)DF 證明ABEFDE（SAS）進而證明ADFADC（SAS）5、分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)

7、移到同一個三角形中去ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形對應邊相等）在ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）AB+AC>2AD。6、分析：欲證AC=BF，只需證AC、BF所在兩個三角形全等，顯然圖中沒有含有AC、BF的兩個全等三角形，而根據(jù)題目條件去構(gòu)造兩個含有AC、BF的全等三角形也并不容易。這時我們想到在同一個三角形中等角對等邊，能夠把這兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中，只要說明轉(zhuǎn)移到同一個三角形以后的這兩條線段，所對的角相等即可。思路一、以三角形ADC為基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線段AC，使AC、BF在三角形BFH中方法一：延長AD到H，使得DH=AD，連結(jié)BH，

8、證明ADC和HDB全等，得AC=BH。通過證明H=BFH，得到BF=BH。 ADCHDB(SAS) AC=BH， H=HAC EA=EF HAE=AFE又 BFH=AFEBH=BFBF=AC方法二：過B點作BH平行AC，與AD的延長線相交于點H，證明ADC和HDB全等即可。小結(jié)：對于含有中點的問題，通過“倍長中線” 可以得到兩個全等三角形。而過一點作已知直線的平行線，可以起到轉(zhuǎn)移角的作用，也起到了構(gòu)造全等三角形的作用。思路二、以三角形BFD為基礎(chǔ)三角形。轉(zhuǎn)移線段BF，使AC、BF在兩個全等三角形中方法三：延長FD至H，使得D

9、H=FD，連接HC。證明CDH和BDF全等即可。三、作平行線當三角形問題中有相等的角或等腰等條件時，可通過作平行線將相等的角轉(zhuǎn)換到某一個三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，從而為證明全等提供條件例7如圖3，在等腰ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延長線上截取CE，且使CE=BD連接DE交BC于F求證：DF=EF分析：要證DF=EF，必須借助三角形全等而現(xiàn)有圖形中沒有全等三角形由等腰三角形條件，可知B=ACB，作DHAE，可得DHB=ACB則DBH為等腰三角形證明：作DHAE交BC于HDHB=ACB，AB=AC，B=ACBDHB=B，DH=BDCE=BD DH= CE又DHAE，

10、HDF=E DFH=EFC（對頂角） DFHEFC（AAS） DF=EF四、補全圖形在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段（邊）相交，構(gòu)成一個封閉的圖形，可找到更多的相等關(guān)系，有助于問題的解決例8如圖4，在ABC中，AC=BC，C=90°，BD為ABC的平分線若A點到直線BD的距離AD為a，求BE的長分析：題設中只有一條已知線段AD，且為直角邊，而要求的BE為斜邊要找到它們之間的關(guān)系，需設法構(gòu)造其他的全等三角形證明：延長AD、BC相交于F由BD為ABC的平分線，BDAF易證ADBFDB FD= AD=a AF=2a F=BAD 又BAD+ABD=90°，F(xiàn)+FAC=90&#

11、176;ABD=FAC BD為ABC的平分線 ABD=CBEFAC=CBE，而ECB=ACF=90°，AC=BCACFBCE（ASA） BE=AF=2a五、利用角的平分線對稱構(gòu)造全等角的平分線是角的對稱軸，在證明全等過程中不僅提供了兩個相等的角，還有一條公共邊，利用角的平分線在角的兩邊上截取相等的線段，或向兩邊作垂線，對稱構(gòu)造出全等三角形是常用的證明方法例5如圖5，在四邊形ABCD中，已知BD平分ABC，A+C=180°證明：AD=CD分析：由角的平分線條件，在BC上截取BE=BA，可構(gòu)造ABDEBD，從而AD=DE則只要證明DE=CD證明：在BC上截取BE=BA，連接DE

12、由BD平分ABC，易證ABDEBDAD=DE A=BED又A+C=180°，BED+DEC=180°DEC=C，DE=CDAD=CD2、已知，如圖2，1=2，P為BN上一點，且PDBC于點D，AB+BC=2BD。求證：BAP+BCP=180°。證明：過點P作PE垂直BA的延長線于點E，如圖2-2全等三角形問題中常見的輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種：1)       遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點作特