動(dòng)力學(xué)臨界問題解題技巧

1、.動(dòng)力學(xué)臨界問題的類型與處理方法、問題的緣起高中物理中的動(dòng)力學(xué)臨界問題是一類較難的題目，本文嘗試從牛頓第二定律的等號(hào)的含義的挖掘出發(fā)，提出這類問題的產(chǎn)生原因、基本類型和基本解決方法。一、動(dòng)力學(xué)臨界問題的本質(zhì)供需匹配問題牛頓第二定律，等式的左邊是其他物體提供給物體的力（供），右邊是物體以加速度a運(yùn)動(dòng)時(shí)所需要的力（需），因此實(shí)際上是供需匹配的方程。當(dāng)某些外界條件變化時(shí)，a可能變化，因此物體所需要的力可能發(fā)生變化，這就存在供需匹配問題。動(dòng)力學(xué)臨界問題，本質(zhì)上講，就是供需匹配問題：供需相匹配（等號(hào)成立），則可維持兩物體間的某種關(guān)聯(lián)（如相對(duì)靜止、距離不變等）；若供需不匹配（等號(hào)不成立），則兩物體間的該種

2、關(guān)聯(lián)被破壞（如兩物體相對(duì)滑動(dòng)、距離增大或者減小等）。二、動(dòng)力學(xué)臨界問題的類型依據(jù)其他物體提供給物體的力的特點(diǎn)，可將動(dòng)力學(xué)臨界問題分為兩大類型：供可變型和供不可變型。1、供可變型其他物體提供的力可以在一定范圍內(nèi)變化；若所需要的力在該范圍內(nèi)，則能夠維持物體間的某種關(guān)聯(lián)，若所需要的力超出該范圍，則物體間的該種關(guān)聯(lián)被破壞。具有這種特點(diǎn)的力，主要是兩大類：靜摩擦力和彈力。具體分析如下：（1）靜摩擦力：-FfmFfFfm， 若：所需FfFfm，則兩物體相對(duì)靜止， 若：所需FfFfm，則兩物體相對(duì)滑動(dòng)。（2）彈力：FN0， 0FTFTm 支持力/壓力FN：所需FN0，則兩物體相互接觸， 所需FN0，則兩物體

3、相互分離。 繩中張力FT：所需FT滿足0FTFTm，則繩子繃直，兩物體維持某間距， 所需FT0，則繩子松弛，兩物體間距減小，靠近， 所需FTFTm，則繩子繃斷，兩物體間距增大，分開。2、供不可變型特定位置處，其他物體提供的力是一個(gè)確定的值；若需要的力等于該值，則能夠維持物體間的相對(duì)位置，若需要的力不等于該值，則兩物體接近或者遠(yuǎn)離。具有這種特點(diǎn)的力有萬有引力、庫(kù)侖力、彈簧彈力等。其中萬有引力作用下人造衛(wèi)星的變軌問題就屬于這類問題的典型，下文重點(diǎn)是供可變型，所以將此問題的處理方法單獨(dú)在此處說明，下文不再贅述。如右圖所示，人造衛(wèi)星在離地心r處的A點(diǎn)以某速度vA發(fā)射，若發(fā)射速度合適（為v），衛(wèi)星在該處

4、所受萬有引力恰好等于其在該圓周軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，則衛(wèi)星就能在該軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，有解得。即有：若：，所需要的向心力，供求平衡，衛(wèi)星將做圓周運(yùn)動(dòng)，若：，所需要的向心力，供不應(yīng)求，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)，若：，所需要的向心力，供過于求，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng)。三、動(dòng)力學(xué)臨界問題處理的基本方法動(dòng)力學(xué)臨界問題的處理方法有兩種：1、物理分析法 第一步：極端分析法找到臨界點(diǎn) 第二步：分析臨界條件受力轉(zhuǎn)變條件 如：Ff=Ffm，F(xiàn)N=0， FT=0，F(xiàn)T=FTm2、數(shù)學(xué)解析法 第一步：假設(shè)法假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常 第二步：動(dòng)力學(xué)方程（或平衡方程）+受力范圍條件 如：-FfmFfFfm，F(xiàn)N0， 0FTFT

5、m不過，在此處要做一個(gè)說明：物理分析法對(duì)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)或者物理實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)有較強(qiáng)的依賴性，而數(shù)學(xué)解析法則對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力解不等式組有較高的要求，因此，兩種方法各有優(yōu)劣，不同學(xué)生、不同問題，方法的選擇就會(huì)不同?！纠?】（靜摩擦力類）如圖所示，質(zhì)量M=8kg小車放在光滑的水平面上，在小車上面靜止放置一質(zhì)量m=2kg的小物塊，物塊與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)=0.2?，F(xiàn)在小車右端施加一水平拉力F，要使物塊保持與小車相對(duì)靜止. 則拉力F不能超過多少？g取10m/s2. 【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法找到臨界點(diǎn)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們知道，拉力F很小時(shí)，m將隨M一起向右加速運(yùn)動(dòng)，拉力F很大時(shí)，m將相對(duì)M向后滑

6、動(dòng)。因此，拉力F從很小逐漸增大時(shí)，必定有一個(gè)時(shí)候（F取某個(gè)值F0），此時(shí)，m就要相對(duì)M向后滑動(dòng)但還沒有相對(duì)滑動(dòng)。這個(gè)狀態(tài)即為本問題的臨界點(diǎn)。第二步：分析臨界條件受力轉(zhuǎn)變條件在拉力F很小時(shí)，m之所以能夠隨M一起向右加速運(yùn)動(dòng)，是因?yàn)镸對(duì)m的靜摩擦力足以維持兩物體相對(duì)靜止給m提供隨M一起向右加速運(yùn)動(dòng)的加速度這個(gè)加速度隨整體加速度增大而增大；當(dāng)達(dá)到臨界點(diǎn)時(shí)，整體加速度達(dá)到了一個(gè)臨界值，此時(shí)，是最大靜摩擦力給m提供加速度；若整體加速度再增大，靜摩擦力將不足以提供足夠大的加速度不能滿足需要，于是就會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。即：最大靜摩擦力給m提供加速度，是本問題的臨界受力轉(zhuǎn)變條件。小物塊：整體：聯(lián)立解得：即：拉力F

7、不能超過20N。方法二：數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常設(shè)m隨M一起向右加速運(yùn)動(dòng)，加速度為a.第二步：動(dòng)力學(xué)方程（或平衡方程）+受力范圍條件小物塊：整體：其中：聯(lián)立解得【總結(jié)】本問題中研究對(duì)象的選取是關(guān)鍵在本題中，對(duì)m才有供需匹配的問題對(duì)M來說，拉力F需要多大，就可以施加多大，因此，應(yīng)先選m為研究對(duì)象來分析臨界受力轉(zhuǎn)變條件。若本題拉力F施加在m上，則應(yīng)先選M為研究對(duì)象來分析臨界受力轉(zhuǎn)變條件。【例2】（靜摩擦力類）如圖所示，質(zhì)量m1 kg的物塊放在傾角為的斜面上，斜面體質(zhì)量M2 kg，斜面與物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)0.2，地面光滑，37°.現(xiàn)對(duì)斜面體施加一水平推力F，要使物體m

8、相對(duì)斜面靜止，力F應(yīng)為多大？(設(shè)物體與斜面的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，g取10 m/s2)【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法找到臨界點(diǎn)推力F很小時(shí)，由于本題中，物體m就會(huì)相對(duì)斜面下滑，推力F很大時(shí)，物體m就會(huì)相對(duì)斜面上滑，因此，本題有兩個(gè)臨界點(diǎn)：推力F較小且大小合適時(shí)，物體就要相對(duì)斜面向下滑而沒有下滑；推力F較大且大小合適時(shí)，物體就要相對(duì)斜面向上滑而沒有上滑。第二步：分析臨界條件受力轉(zhuǎn)變條件推力F大小合適時(shí)，物體m之所以能夠相對(duì)斜面靜止，是因?yàn)槟軌蛱峁┑撵o摩擦力足以維持物體m相對(duì)斜面靜止；當(dāng)推力F較小且大小合適時(shí)，物體就要相對(duì)斜面向下滑而沒有下滑，此時(shí)是沿斜面向上的最大靜摩擦力維持

9、物體m相對(duì)斜面靜止，設(shè)此時(shí)推力為F1，此時(shí)物塊受力如圖甲對(duì)m有：x方向：FN1sinFN1cosma1 y方向：FN1cosFN1sinmg0 解兩式得：a14.78 m/s2對(duì)整體有：F1(Mm)a1，所以F114.34 N.當(dāng)推力F較大且大小合適時(shí)，物體就要相對(duì)斜面向上滑而沒有上滑，此時(shí)是沿斜面向下的最大靜摩擦力維持物體m相對(duì)斜面靜止，設(shè)此時(shí)推力為F2，此時(shí)物塊受力如圖乙對(duì)m有：x方向：FN2sinFN2cosma2y方向：FN2cosFN2sinmg0解兩式得：a211.2 m/s2對(duì)整體有：F2(Mm)a2，所以F233.6 N. F的范圍為：14.34 NF33.6 N.方法二：數(shù)學(xué)

10、解析法aFNFf丙第一步：假設(shè)法假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常設(shè)m隨M一起向左加速運(yùn)動(dòng)，加速度為a. 此時(shí)物塊受力如圖丙第二步：動(dòng)力學(xué)方程（或平衡方程）+受力范圍條件對(duì)m有：x方向：FNsinFfcosma y方向：FNcosFfsinmg0 由于推力F較小時(shí)，物體m有相對(duì)斜面下滑的趨勢(shì)（摩擦力沿斜面向上），推力F較大時(shí)，物體m有相對(duì)斜面上滑的趨勢(shì)（摩擦力沿斜面向下），則有： -FNFfFN解三式，得F的范圍為：14.34 NF33.6 N.【總結(jié)】物理分析法對(duì)學(xué)生分析能力要求較高，但是其分析出來的結(jié)果很直觀；數(shù)學(xué)解析法盡管分析過程簡(jiǎn)單些，但計(jì)算上講麻煩一點(diǎn)，而且算出來的結(jié)果直觀性較差。【例3】（彈力

11、類FN）試分析在豎直平面內(nèi)的圓周軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球通過最高點(diǎn)的條件?！窘馕觥糠椒ㄒ唬何锢矸治龇ǖ谝徊剑簶O端分析法找到臨界點(diǎn)根據(jù)實(shí)驗(yàn)，我們知道，小球在最低點(diǎn)初速度較大時(shí)，小球可以在圓周軌道內(nèi)側(cè)做完整圓周運(yùn)動(dòng)，小球在最低點(diǎn)初速度較小時(shí)，小球在到達(dá)最高點(diǎn)前就已脫離軌道做了斜拋運(yùn)動(dòng)。因此，必定有一種情況，小球在最低點(diǎn)初速度合適時(shí)，小球剛好能夠通過圓周最高點(diǎn)，由能量守恒可知，此時(shí)小球在最高點(diǎn)速度是確定的某個(gè)值。第二步：分析臨界條件受力轉(zhuǎn)變條件小球速度較大時(shí)，小球在最高點(diǎn)會(huì)緊壓軌道；小球速度較小，小球到最高點(diǎn)前就脫離軌道后與軌道分開；因此，小球剛好通過最高點(diǎn)時(shí)，就是剛好到達(dá)最高點(diǎn)且不壓軌道時(shí)即FN=0.

12、 此時(shí)對(duì)小球：解得即小球通過最高點(diǎn)的條件是：小球在最高點(diǎn)的速度方法二：數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常FNmg設(shè)小球能夠通過最高點(diǎn)，并設(shè)此時(shí)小球通過最高點(diǎn)的速度為v，其受力如圖所示。第二步：動(dòng)力學(xué)方程（或平衡方程）+受力范圍條件對(duì)小球，有：其中FN只可能向下、不可能向上，即：聯(lián)立，解得【總結(jié)】如下圖甲、乙兩種情況中，F(xiàn)T、FN均只能豎直向下，因此小球能夠通過最高點(diǎn)的條件均是；如圖丙的情況，輕桿對(duì)小球的彈力既可向下也可向上，因此速度既可大于，也可小于，即小球能夠通過最高點(diǎn)的條件是?！纠?】（彈力類FN）如右圖所示，在傾角為的光滑斜面上端固定一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，彈簧下端連有一質(zhì)

13、量為m的小球，小球被一垂直于斜面的擋板A擋住，此時(shí)彈簧沒有形變，若手持擋板A以加速度a(a<gsin)沿斜面勻加速下滑，求：從擋板開始運(yùn)動(dòng)到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時(shí)間。【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法找到臨界點(diǎn)FN1F彈擋板A下滑過程中，最開始一段時(shí)間，小球和擋板一直緊壓在一起，具有相同的加速度；當(dāng)擋板A下滑太遠(yuǎn)時(shí)，小球和擋板就分開了。因此，必定有一個(gè)臨界點(diǎn)小球就要離開擋板但還沒有離開。第二步：分析臨界條件受力轉(zhuǎn)變條件開始時(shí)小球和擋板一直緊壓在一起，兩者之間有壓力；當(dāng)小球和擋板就分開后，兩者之間沒有壓力因此，小球就要離開擋板時(shí)，小球和擋板間的壓力為FN=0.此時(shí)，對(duì)小球，有：

14、 mgsinkxma即小球做勻加速運(yùn)動(dòng)發(fā)生的位移為x時(shí)小球與擋板分離。由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式xat2得從擋板開始運(yùn)動(dòng)到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時(shí)間為t 方法二：數(shù)學(xué)解析法FN1F彈FN第一步：假設(shè)法假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常設(shè)小球尚未與擋板分離，則其受力如圖所示。第二步：動(dòng)力學(xué)方程（或平衡方程）+受力范圍條件此時(shí)，對(duì)小球，有： mgsinFNkxma其中：聯(lián)立解得：x即小球做勻加速運(yùn)動(dòng)發(fā)生的位移為x時(shí)小球與擋板分離。由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式xat2得從擋板開始運(yùn)動(dòng)到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時(shí)間為t 【總結(jié)】分離類問題，分離條件均是相互接觸的兩個(gè)物體間壓力FN=0時(shí)。不過要注意的是，分離之前直到分離瞬間，相互接觸的兩個(gè)物體在

15、垂直接觸面方向始終具有速度和相同加速度。很多學(xué)生以為小球加速度為零時(shí)分離，從而出錯(cuò)?！纠?】（彈力類FT）如圖所示，繩AC、BC一端拴在豎直桿上，另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，其中AC桿長(zhǎng)度為l.當(dāng)豎直桿以某一角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)，此時(shí)AC繩與豎直方向夾角為30°，BC繩與豎直方向夾角為45°。試求的取值范圍。已知重力加速度為g.【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法找到臨界點(diǎn)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們知道，當(dāng)只有AC繩時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)桿的角速度越大，AC繩偏離豎直方向的夾角就越大。因此，在本題中，若桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度太小，AC繩偏離豎直方向的夾角太小，BC繩就會(huì)松弛；若

16、桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度太大，BC繩偏離豎直方向的夾角太大，AC繩就會(huì)松弛；桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度合適時(shí)，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)。即存在兩個(gè)臨界點(diǎn)桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度較小，BC繩剛好松弛；桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度較大，AC繩剛好松弛這兩種情況下，AC繩、BC繩與豎直方向夾角分別為30°和45°不變。第二步：分析臨界條件受力轉(zhuǎn)變條件桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度較小，BC繩剛好松弛，此時(shí)BC繩中的張力為零，只有AC繩中有張力FT1，設(shè)此時(shí)的角速度為1，則有豎直方向：FT1cos30°mg=0水平方向：FT1sin30°=m12r其中 r=lsin30°聯(lián)立解得 桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度較大，AC繩剛好

17、松弛，此時(shí)AC繩中的張力為零，只有AC繩中有張力FT2，設(shè)此時(shí)的角速度為2，則有豎直方向：FT2cos45°mg=0水平方向：FT2sin45°=m22r其中 r=lsin30°聯(lián)立解得 則當(dāng)桿轉(zhuǎn)動(dòng)角速度滿足時(shí)，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)。方法二：數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常設(shè)豎直桿以某一角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)，此時(shí)AC繩中張力為FT1，BC繩中張力為FT2。第二步：動(dòng)力學(xué)方程（或平衡方程）+受力范圍條件由牛頓第二定律，有豎直方向：FT1cos30°FT2cos45°mg=0水平方向：FT1sin30

18、6;FT2sin45°=m12r由于繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)，因此有FT10，F(xiàn)T20聯(lián)立解得：【總結(jié)】對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說，物理分析法分析這個(gè)問題要簡(jiǎn)單直接一些；數(shù)學(xué)解析法就相對(duì)麻煩一點(diǎn)。【例6】（彈力類FT）輕繩的兩端A、B固定在天花板上，繩能承受的最大拉力為120N。現(xiàn)用掛鉤將一重物掛在繩子的結(jié)點(diǎn)C處。如圖所示，兩端與豎直方向的夾角分別為37°和53°。要保證兩繩均不繃斷，求此重物的重力不應(yīng)超過多少？（sin37°=0.6；cos37°=0.8）【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法找到臨界點(diǎn)重物較輕時(shí)，兩繩均繃緊而不斷；當(dāng)重物太重時(shí)，繩子就會(huì)繃斷。經(jīng)分析易知，兩繩均繃緊時(shí)，AC繩中張力大