復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂PPT第一章

1、1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)（第四版）2第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算2 復(fù)數(shù)的幾何表示3 復(fù)數(shù)的乘冪與方根4 區(qū)域5 復(fù)變函數(shù)6 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性31 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的概念2. 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算41. 復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念定義定義：在實(shí)數(shù)范圍, 方程 21x 21i 是無(wú)解的. 因此引進(jìn)一個(gè)新數(shù) i, 稱為虛數(shù)單位虛數(shù)單位, 規(guī)定為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù), x , y 分別稱為 z 的實(shí)部實(shí)部和虛部虛部, 記作兩個(gè)復(fù)數(shù)相等相等, 是指的它的實(shí)部和虛部分別相等.復(fù)數(shù) z = 0, 指實(shí)部和虛部都是0. 且復(fù)數(shù)不能比較大小. 對(duì)于任意二實(shí)數(shù)

2、x , y, 稱或zxiyzxyiRe( ),Im( )xzyz當(dāng)zyi時(shí), 0,0 xy稱為純虛數(shù)純虛數(shù)。 52. 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 當(dāng)z1,z2為實(shí)數(shù)時(shí), 上二式與實(shí)數(shù)的運(yùn)算一致。復(fù)數(shù)的加, 法和乘法定義為111222,zxiy zxiy稱上面二式右端為 z1,z2 的和和,差差與積積。11221212()()()()xiyxiyxxi yy112212122112()()()()xiyxiyx xy yi x yx y稱滿足212(0)z zz z的復(fù)數(shù)zxiy為z1除以z2的商商, 記作12zzz6與實(shí)數(shù)一樣，復(fù)數(shù)運(yùn)算也滿足交換律交換律,結(jié)合律結(jié)合律和分配律分配律:1221

3、1 22 1,;zzzz z zz z12312312 31 23()(), ()() ;zzzzzz z z zz z z1231 21 3().z zzz zz z112122112222222222zx xy yx yx yzizxyxy因此7共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)1112121 21 222i),;zzzzzzz zz zzz把實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)有如下性質(zhì)：如果，那么 。zxiyzxiy復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù),與z 共軛的復(fù)數(shù)記作 。zii);zz22iii)Re( )Im( ) ;zzzziv)2Re( ),2 Im( )zzzzziz 8解解例例1 1 設(shè)1

4、255 ,34zi zi 12zz( 1520)(1520)71.2555ii ，求12.zz與125534zizi 1271.55ziz 所以(55 )( 34 )( 34 )( 34 )iiii 9解解例例2 設(shè)131izii 33()22ii ，求.zz與133 (1)1()(1)(1)iiiiziiiiii 31Re( ), Im( ),22zz 所以Re( ), Im( )zz31,22i22315.222zz 10解解例例 求滿足下列條件的復(fù)數(shù)z :(1)| 2;zzi(2)(12 )43 .i zi(1)設(shè)設(shè),zxiy則則222,xiyxyi由由222,1xxyy 得得3.41x

5、y故故3.4zi(2)4312izi則則2.zi2, i11證證例例3 設(shè)111222,zxiyzxiy12122112()()x xy yi x yx y, 為兩個(gè)任意復(fù)數(shù)，1 21 21 22Re().z zz zz z12121 22()2Re().x xy yz z1 21 21 21 21 22Re().z zz zz zz zz z或證明證明1 21 211221122()()()()z zz zxiyxiyxiyxiy12121221()()x xy yi x yx y122 復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的幾何表示1.復(fù)平面2.復(fù)球面131.復(fù)平面復(fù)平面 所以復(fù)數(shù)的全體與該平面上的點(diǎn)的全體

6、成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 此時(shí), x 軸稱為實(shí)軸實(shí)軸, y 軸稱為虛軸虛軸, 兩軸所在的平面稱為復(fù)平面復(fù)平面或 z 平面平面. 這樣, 復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)成一一對(duì)應(yīng), 從而使我們能借助幾何語(yǔ)言和方法研究復(fù)變函數(shù)從而復(fù)數(shù)可以用該平面上的坐標(biāo)為zxiy的點(diǎn)( , )x y來(lái)表示，這是復(fù)數(shù)的一個(gè)常用表示方法。由一對(duì)有序?qū)崝?shù)zxiy( , )x y唯一確定, 一個(gè)復(fù)數(shù)問(wèn)題。14OxyxyqPz=x+iy|z|=r22| zrxy在復(fù)平面上, 復(fù)數(shù) z 還與從原點(diǎn)指向點(diǎn)z=x+iy 的平面長(zhǎng)度稱為z 的模?；蚪^對(duì)值絕對(duì)值, 記作向量一一對(duì)應(yīng), 因此復(fù)數(shù)z 也能用向量來(lái)表示。向量的OP 顯然, 還有下列各式成立|

7、 |,| |,xzyz| |,zxy22|.zzzz在z0的情況, 以正實(shí)軸為始邊, 以表示z的向量OP為終邊tg(Arg )yzxArgzq這時(shí), 有稱為z的輻角輻角, 記作的角的弧度數(shù)q15一個(gè), 則為任意整數(shù))1Arg2(zkkq0argzq給出了z的全部幅角, 在(0)z 的幅角中, 滿足0q的0q稱為Arg z的主值主值, 記作arctg,0,0,0arg2arctg,0,0,0,0yxxxyzyxyxxy幅角不確定。時(shí)，arg z0z 當(dāng)argtg.22yx其中0z 當(dāng)| |0z 時(shí), , 可由右邊關(guān)系確定：是其中的0z 1q有無(wú)窮多個(gè)幅角, 如果任何一個(gè)復(fù)數(shù)16由復(fù)數(shù)運(yùn)算法則,

8、兩個(gè)復(fù)數(shù)Oxyz1z2z1+z2且成立不等式加減法一致。如圖(三角不等式),1212| |zzzzOxy2z12zz2z1z1212| |zzzz原點(diǎn)上, 還有 。argargzz 一對(duì)共軛復(fù)數(shù) z在復(fù)平面內(nèi)z和| |zz，如果 z 不在負(fù)實(shí)軸和Oxyiyxzzxiy的位置是關(guān)于實(shí)數(shù)軸對(duì)稱的, 因而 z1和z2的加減法和相應(yīng)的向量的17利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：OxyxyqPz=x+iy|z|=r(cossin ),zriqqcos ,sin ,xryrqqizreq可以將 z 表示成三角表示式三角表示式：cossinieiqqq得指數(shù)表示式指數(shù)表示式： 利用歐拉公式1)122 ;zi 解解

9、 例例1 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。2)sincos.55zi1) 顯然, |1244rz。又 z在第三象限，則 235arctanarctan.3612q 18554 cos()sin() .66zi564.ize因此，z 的三角表示式為235arctanarctan.3612q z 的指數(shù)表示式為2) 顯然, | 1rz, 又 3sincos()cos,525103cossin()sin,5251033cossin.1010zi310.ize故z 的三角表示式為z 的指數(shù)表示式為1932)1tan ().2ziq q 解解 例例 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)13

10、;zi 1) 顯然, |1 3rz所以，argarctanxzy2,132cos()sin()33zii 32.ie3arctan()1.3 2032)1tan ().2ziq q 解解 例例 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)13 ;zi 2) 顯然, 2|1tanrzq所以，當(dāng)argarctanarctan(tan )yzxqsec ,q 32q時(shí)，有1tansec cos()sin()ziiqqqq ()sec.ieq q .q211 2121) | |;z zzz證證 例例2 設(shè)12122) | |.zzzz又為兩個(gè)任意復(fù)數(shù)，證明：12,zz1 21 21 21 21 21)

11、|()()()()z zz zz zz zz z1 12212()()|.z zz zzz21212122) |()()zzzzzz1212()()zzzz1 1222 11 2z zz zz zz z22122 11 2|,zzz zz z1 21 21 22Re().z zz zz z22212121 2|2Re()zzzzz z22121 2|2|zzz z221212|2|zzzz212(|) .zz所以兩邊開(kāi)方，應(yīng)得到所要證明的三角不等式。22解解 例例3因此，復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為將通過(guò)兩點(diǎn)121121(),()().xxt xxtyyt yy 由此得知由取111222,zxiyzx

12、iy形式的方程來(lái)表示。的直線用復(fù)數(shù)已知通過(guò)點(diǎn)1122( ,), (,)x yxy的直線可用參數(shù)方程表示為121(). ()zzt zzt 121(). (01)zzt zzt 的直線段的參數(shù)方程可以寫(xiě)成到1z2z，得知線段的中點(diǎn)為12t 1 2z z122zzz2332)1tan ().2ziq q 解解 例例 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)13 ;zi 1) 顯然, |1 3rz所以，arg.3z 2,132cossin33zii 32.ie2432)1tan ().2ziq q 解解 例例 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)13 ;zi 2) 顯然, 2|1tanrzq

13、所以，當(dāng)argarctanarctan(tan )yzxqsec ,q 32q時(shí)，有1tansec cos()sin()ziiqqqq ()sec.ieq q .q25解解 例例4設(shè)求下列方程所表示的曲線：zxiy或1) | 2;zi1) 從幾何上看，方程表示所有與點(diǎn)i距離為2|(1) | 2xyi，方程可變?yōu)?2(1)2,xy也就是2) |2 | |2|;ziz3) Im()4.iz的點(diǎn)的軌跡，即中心為i，半徑為2的圓。也可用代數(shù)22(1)4.xy方法求出該圓的直角坐標(biāo)方程。26所以yx ，那么軌跡，所以方程表示的曲線是一條垂直平分線，它的2) |2 | |2|;ziz3) Im()4.iz

14、Im()1izy 2) 從幾何上看，方程表示到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。3) 設(shè)zxiy(1)izxy i從而立即可得所求曲線方程為3y ，這是一條平行于x軸的直線。27解解 例例求下列方程所表示的曲線：1) | |1|;ziz 2) |3|3| 10;zz3) |1|1| 2.zzyx 點(diǎn)的軌跡，所以方程表示的曲線是一條垂直平分線，它1) 從幾何上看，方程表示到兩點(diǎn)距離相等的的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。2212516xy的點(diǎn)的軌跡，所以方程表示的曲線是一條垂直平分線，2) 從幾何上看，方程表示到兩點(diǎn)距離之和為定值它的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。28解解 例例

15、求下列方程所表示的曲線：1) | |1|;ziz 3) 從幾何上看，方程表示 z 到1的距離與 z 到|1|1| 2.zz的點(diǎn)集是實(shí)軸上的閉區(qū)間1,1。2) |3|3| 10;zz3) |1|1| 2.zz1的距離之和為2，而1到1的距離也為2。因此 z 只能在線段1,1上，即滿足條件29另一點(diǎn)N。稱N為北極北極， S為南極南極。 NSOxyPz2. 復(fù)球面復(fù)球面除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外, 還可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)。取一個(gè)與復(fù)平面切于原點(diǎn)0z 的球面, 球面上的一點(diǎn) S 與原點(diǎn)重合。通過(guò)S作垂直于復(fù)平面的直線與球面相交于對(duì)復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z, 用直線將z與N相連, 與球面相交于P點(diǎn), 則球面

16、上除N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系, 而N點(diǎn)本身可代表無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn), 記作。這樣的球面稱作復(fù)球面復(fù)球面。30于復(fù)數(shù)來(lái)說(shuō)，實(shí)部、虛部與輻角的概念均無(wú)意義，但包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面擴(kuò)充復(fù)平面。不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限平面有限平面，或稱復(fù)平面復(fù)平面。對(duì)其模規(guī)定為正窮大，即| 。對(duì)于其它復(fù)數(shù) z都有| z 關(guān)于的四則運(yùn)算作如下規(guī)定：0,(),(0,0 除法除法：但可為)加法加法：() 至于其它運(yùn)算，不規(guī)定其意義。(0) 乘法乘法：() 減法減法：313 復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)數(shù)的乘冪與方根1. 乘積與商2. 冪與根32設(shè)有兩個(gè)復(fù)數(shù).乘積與商乘積與商于是1111222

17、2(cossin),(cossin),zrizriqqqq那么1 21 21122(cossin)(cossin)z zrriiqqqq1 212121212(coscossinsin)(sincoscossin)rriqqqqqqqq1 21212cos()sin()rriqqqq定理一定理一 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積, 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和。1 2121 2| |(),z zzzrr1 212Arg()ArgArg.z zzz從而有33用指數(shù)形式表示復(fù)數(shù):q2q2z2q1z1z1z21Oxy并旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 ，如圖所示相當(dāng)于將z1的模擴(kuò)大|z2|倍1 2z z2Arg

18、z121122e ,eiizrzrqq(cossin),(1,2, ),kikkkkkzr eriknqqq則則定理可以表示為：12()1 21 2eiz zrrqq1 21 21212cos()sin()nnnnz zzrrriqqqqqq由定理進(jìn)一步可證，如果12()1 2eninrrrqqq當(dāng)用向量表示復(fù)數(shù)時(shí)，342211zzzz定理二定理二 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商, 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差。22212111|, ArgArgArgzzzzzzzz22221111|,ArgArgArg.|zzzzzzzz10z 按照商的定義, 當(dāng)時(shí), 有由乘積公式有于是由

19、此得如果用指數(shù)形式表示復(fù)數(shù)：,e,e212211qqiirzrz)(121212eqqirrzz定理二可簡(jiǎn)明地表示為：35。根據(jù)復(fù)數(shù)乘法，有解解 例例1即為所求的頂點(diǎn)已知正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)為所以121,2zzi求第三個(gè)頂點(diǎn)。如圖，將3旋轉(zhuǎn)3312113()()(1)22izzezzii類似可得3331322zi3zOxy2z1z3z3z21zz表示繞1z或3得到另一個(gè)向量，它的終點(diǎn)3z3z或1313()()2222i33313.22zi 36。根據(jù)復(fù)數(shù)乘法，有解解 例例向量，它的終點(diǎn)即為所求的頂點(diǎn)已知等腰直角三角形的兩個(gè)底角的點(diǎn)分別為所以121,2zzi，求頂點(diǎn)。如圖，將4旋轉(zhuǎn)43121211

20、()()(1)222izzezzii類似可得31zi 3zOxy2z1z21zz表示繞1z或4，長(zhǎng)度再縮短3zi43121211()()(1)222izzezzii1或32z 22得到另一個(gè)372. 冪與根冪與根. 個(gè)nnzzzz則對(duì)任意正整數(shù) n, 有 n 個(gè)相同復(fù)數(shù) z 的乘積稱為z的 n次冪次冪，記作 ，即nz(cossin).nnzrninqq1nnzz若定義，那么當(dāng) n為負(fù)整數(shù)時(shí)上式也成立。(cossin )cossin.nininqqqq時(shí)，則有棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式1r 特別地，當(dāng)下面用棣莫弗公式求方程nz的根，其中 z 為已知復(fù)數(shù)。38如 n為正整數(shù), 則一

21、個(gè)復(fù)數(shù)的 n 次根不止有一個(gè), 而是方根方根設(shè)z為己知, 方程nz的根稱為z 的n次根次根，都記為1/nnzz，即nz有 n 個(gè), 下面就來(lái)求出這個(gè)根nz先不妨令(cossin ),(cossin ),zriiqq 由棣莫弗公式有(cossin)(cossin ),nninriqq于是,coscos ,sinsin ,nrnnqq則上式成立，必有1,2,(0, 1, 2,).nrnkkq 39122cossin.nnkkzrinnqq由此，可得12,(0, 1, 2,).nkrknq 其中，1nr是算術(shù)平方根，所以時(shí)，得到 n個(gè)相異的根：當(dāng)0,1,2,1kn10cossin,nrinnqq11

22、22cossin,nrinnqq112(1)2(1)cossin.nnnnrinnqq40當(dāng)k為其他整數(shù)值代入時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。在幾何上, 不難看出：z1/n的n個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心, r1/n為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。例如 k = n 時(shí)，122cossinnnnnrinnqq10cossinnriwnnqq41解解 例例2 求41 i因?yàn)?2(cossin),44ii 即所以84224412(cossin),(0,1,2,3)44kkiik 802(cossin),1616wi81992(cossin),1616wi8217172(cossin),1616wi8325252

23、(cossin),1616wi這四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)，半徑為82的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，且有102030,.wiwwwwiw 42解解 例例求4i因?yàn)?3cossin,22ii 即所以4332222cossin,(0,1,2,3)44kkiik 033cossin,88wi177cossin,88wi21111cossin,88wi31515cossin,88wi這四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)，半徑為1的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，且有102030,.wiwwwwiw 43解解 例例求方程610z 因?yàn)?1cossin ,zi 即所以6221cossin,(0,1,2,3,4,5)66kkik 0c

24、ossin,66wi133cossin,66wi255cossin,66wi377cossin,66wi的所有根。499cossin,66wi51111cossin,66wi444 區(qū)域區(qū)域1.區(qū)域的概念2.單連通域與多連通域451. 區(qū)域的概念區(qū)域的概念平面上以z0為中心, d (任意的正數(shù))為半徑的圓：dz0內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為z0的鄰域, 而稱由不等式0|zzd所確定的點(diǎn)集為z0的去心鄰域。00 |zzd設(shè)G為一平面點(diǎn)集, z0為G中任意一點(diǎn)。 內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)：若存在z0的一個(gè)鄰域, 該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G, 則稱z0為G的內(nèi)點(diǎn)開(kāi)集開(kāi)集：如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn), 則稱G為開(kāi)集。區(qū)域區(qū)域：

25、若平面點(diǎn)集D是一個(gè)開(kāi)集，且是連通的，也就是D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連接起來(lái)，則稱D為一個(gè)區(qū)域。46但在P的任意小的鄰域鄰域內(nèi)總包含有D中的點(diǎn), 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)：設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域區(qū)域, 如果點(diǎn)P不屬于D, 則點(diǎn)P稱為D的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)。 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的。邊界邊界： D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界邊界。 C3C2zg1g2C1P47xyDO如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面, 即存在正數(shù) M, 使區(qū)域 D的每個(gè)點(diǎn) z 都滿足 |z| M, 則稱D為有界的有界的, 否則稱為無(wú)界的無(wú)界的。滿足不等式r1|z-z0|0角形域：0arg zx

26、yxab帶形域：aIm zb49.單連通域與多連通域單連通域與多連通域在數(shù)學(xué)上, 常用參數(shù)方程表示各種平面曲線。若 x(t)和 y(t)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù), 則方程組代表一條平面曲線, 稱為連續(xù)曲線連續(xù)曲線。令則此曲線可用一個(gè)方程來(lái)代表。這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式。( ),( ),()xx tyy tatb ( )( )( ),z tx tiy t( )()zz t atb 且 t的每一個(gè)值, 有這曲線稱為光滑的光滑的, 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線, 稱為按段光滑曲線按段光滑曲線。22 ( )( )0 x ty t( )y t( )x tatb 都連續(xù), 上和如果區(qū)間連續(xù)不連續(xù)光滑

27、不光滑50z(a)=z(b)簡(jiǎn)單,閉z(a)z(b)簡(jiǎn)單,不閉z(a)=z(b)不簡(jiǎn)單,閉不簡(jiǎn)單,不閉z(a)z(b)重點(diǎn)的連續(xù)曲線C, 稱為簡(jiǎn)單曲線簡(jiǎn)單曲線或若爾當(dāng)若爾當(dāng)(Jardan)曲線曲線。如果簡(jiǎn)單曲線C的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合, 即z(a)=z(b), 則曲線C稱為簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線。設(shè):( )()C zz t atb 為一條連續(xù)曲線, ( )z a( )z b與分別為C的起點(diǎn)起點(diǎn)與終點(diǎn)終點(diǎn)。對(duì)于滿足12,atb atb的t1與t2, 當(dāng)12tt12( )( )z tz t而有時(shí), 點(diǎn)1( )z t稱為曲線C的重點(diǎn)。沒(méi)有定義定義：51定義：定義：內(nèi)部外部C任意一條簡(jiǎn)單閉曲線C把整個(gè)復(fù)平面唯

28、一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集, 其中除去C外, 一個(gè)是有界區(qū)域, 稱為C的內(nèi)部?jī)?nèi)部, 另一個(gè)是無(wú)界區(qū)域, 稱為C的外部外部, C為它們的公共邊界。單連通域多連通域復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域區(qū)域B, 如果在其中任就稱為單連通域單連通域, 一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為多連通域多連通域。作一條簡(jiǎn)單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于B, 一條簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部是單連通域。 單連通域B具有這樣的特征：屬于B的任何 一條簡(jiǎn)單閉曲線，在B內(nèi)可以經(jīng)過(guò)連續(xù)的的變形而縮成一點(diǎn)，多連通域則無(wú)這個(gè)特征。 525 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1. 復(fù)變函數(shù)的定義2. 映射的概念531. 復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義定義定義如果 z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)

29、著w的一個(gè)值, 則函數(shù) f (z)是單值單值的； 定的法則存在, 按照這一法則, 對(duì)于集合G中的每一個(gè)復(fù)數(shù) z, 就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)函數(shù)(簡(jiǎn)稱復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)), 記作否則就是多值多值的。集合G稱為 f (z)的定義集合定義集合, 對(duì)應(yīng)于G中所有z對(duì)應(yīng)的一切w值所成的集合G*, 稱為函數(shù)值集合函數(shù)值集合。zxiy( )wf z的集合, 如果有一個(gè)確設(shè)G是一個(gè)復(fù)數(shù)wuiv與之對(duì)應(yīng), 則稱復(fù)變?cè)谝院蟮挠懻撝? 定義集合G常常是一個(gè)平面區(qū)域, 稱之為定義域定義域, 并且, 如無(wú)特別聲明, 所討論的函數(shù)均為單值函數(shù)單值函數(shù)。54由于給定了一個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)數(shù) x和y, 而復(fù)數(shù)u和v, 所以

30、復(fù)變函數(shù)w和自變量z之間的關(guān)系w =f (z)相當(dāng)它們確定了自變量為x和y的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù).例如, 考察函數(shù)令因而函數(shù) w = z2 對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元函數(shù):zxiy就相當(dāng)于給定了兩個(gè)wuiv亦同樣地對(duì)應(yīng)著一對(duì)實(shí)數(shù)于兩個(gè)關(guān)系式:( , ),( , )uu x y vv x y2wz,zxiy wuiv，則222()2,uivxiyxyxyi22,2.uxy vxy552. 映射的概念映射的概念定義如用z平面的點(diǎn)表示自變量z的值, 而用另一個(gè)平面w平面上的點(diǎn)表示函數(shù)w的值, 則函數(shù)w=f(z)在幾何上就可看做是把 z平面上的一個(gè)點(diǎn)集G(定義集合)變到w平面上的一個(gè)點(diǎn)集G*(函數(shù)值集合)的映射(或變

31、換)。這個(gè)映射通常簡(jiǎn)稱為由函數(shù)w = f (z)所構(gòu)成的映射。如果G中的點(diǎn)z被映射w=f(z)映射成G*中的點(diǎn)w, 則w稱為z的象(映象), 而z稱為w的原象。例如，函數(shù)wz所構(gòu)成的映射，是一個(gè)關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱映射，把任一圖形映成關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的全同圖形。2wz再如，函數(shù)所構(gòu)成的映射，可以把 z 平面上與正實(shí)軸交角為的角形域映射成 w 平面上與正實(shí)軸交角為2的角形域。如下頁(yè)圖。562xyOuvOz1z2w2z3w3w1xyOuvOABCz1z2ABCw1w2函數(shù)2wzwz函數(shù)57假定函數(shù) w= f (z)的定義集合為z平面上的集合G, 函數(shù)值集合為w平面上的集合G*, 則G*中的每個(gè)點(diǎn)w必將對(duì)應(yīng)著

32、G中的一個(gè)(或幾個(gè))點(diǎn)。按照函數(shù)的定義,在G*上就確定了一個(gè)單值(或多值)函數(shù)反函數(shù)反函數(shù), 也稱為映射w = f (z)的逆映射逆映射。從反函數(shù)的定義可知, 對(duì)任意的wG*, 有當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時(shí), 也有 ( )wfw( )zw，它稱為函數(shù)w = f (z)的 ( ),zf zzG今后，不再區(qū)分函數(shù)與映射 (變換)。若函數(shù)與它的反函數(shù)都是單值的，那么稱函數(shù)是一一的。也稱集合G與G*是一一對(duì)應(yīng)的。586 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性.函數(shù)的極限.函數(shù)的連續(xù)性591.函數(shù)的極限函數(shù)的極限Azfzz)(lim0作當(dāng)zz0時(shí), f (z)A。如圖定義：內(nèi)，如果有一確定的數(shù)A存在,

33、對(duì)于任意給定的地必有一正數(shù)則稱A為f (z)當(dāng)z趨向于z0時(shí)的極限極限, 記作設(shè)函數(shù)w = f (z)定義在z0的去心鄰域去心鄰域00zz0, 相應(yīng)( )(0) , 使得當(dāng)00zz時(shí)有( ),f zA, 或記xyOz0dzOuvAef(z)幾何意義：z0的充分小的點(diǎn) f (z) 就落 A的預(yù)先給定的鄰域中。應(yīng)當(dāng)注意, z 趨向于 z0的方式是任意的, 無(wú)論以何種方式趨向于 z0, f (z)都要趨向于同一常數(shù) A。當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入鄰域時(shí), 它的象60000000lim ( , ), lim ( , ).xxxxyyyyu x yuv x yv0lim( )zzf zA充分必要條件是則證證 必要

34、性:00()()uivuiv0lim( )zzf zA任給，根據(jù)極限的定義有如果, 存在,當(dāng)時(shí)，或當(dāng)這就是說(shuō)時(shí)，00000()()xiyxiy00|,|uuvv22000()()xxyy000000lim( ,), lim( ,)xxxxyyyyu x yuv x yv00()()uui vv因此有00000( )( , )( , ),f zu x yiv x y Auiv zxiy定理一定理一 設(shè)61充分性充分性: :0000|( )| |()()| |f zAuui vvuuvv如果由極限定義，對(duì)于任給，總存在，使當(dāng)時(shí)，而則當(dāng)時(shí)，有000000lim ( , ), lim ( , )xxxxyyyyu x yuv x yv0022000()()xxyy00|/2,|/2uuvv0lim( )zzf zA00 |zz即|( )|22f zA62定理定理二二02) lim( ) ( )zzf z g zAB定理一將求復(fù)變函數(shù)的極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元定理一將求復(fù)變函數(shù)的極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元，則，則00lim( ), lim( )zzzzf zAg zB01) lim ( )( )zzf zg zAB0( )3) lim(0)( )zzf zABg zB實(shí)變函數(shù)的極限問(wèn)題。實(shí)變函數(shù)的極限問(wèn)題。由定理一，下面的極限有理運(yùn)算法則