淺談近世代數(shù)中與素數(shù)有關(guān)的結(jié)論

1、淮陰師范學院畢業(yè)論文(設計)摘要：本文給出了近世代數(shù)中與素數(shù)有關(guān)的概念,結(jié)論及若干應用.關(guān)鍵詞：素數(shù)，群，環(huán)，域abstract: in this article,we give some definitions, conclusions and applications about prime numbers in abstract algebra .keywords: prime number ，group，loop，domain目錄1 引言 42 在群中有關(guān)素數(shù)的結(jié)論 43 在環(huán)中有關(guān)素數(shù)的結(jié)論 64 在域中有關(guān)素數(shù)的結(jié)論 9結(jié)論 12參考文獻 13致謝 141 引言素數(shù)在研究近世代數(shù)的

2、過程中占有一個很重要的地位，本文介紹了近世代數(shù)中有關(guān)素數(shù)的一些基本性質(zhì)，并探討了一些常見結(jié)論.本文主要是從近世代數(shù)中群，環(huán)，域三個方面而談.2 群下面給出群中的一些重要定理及推論：定理1設是有限群，為素數(shù)， ，則(i)(存在定理)中有子群，且（這里的閉區(qū)間記號表示整數(shù)范圍）有階子群,(ii)(包含定理)每一個子群被包含在一個子群之中,(iii)(共軛定理)中任何兩個子群互相共軛,(iv)(計數(shù)定理)中子群的個數(shù)記作，且有和，其中為任一子群，為的正規(guī)化子.推論1素數(shù)階的群都是循環(huán)群.下面的例子是以上定理推論的應用或推廣：例1 設和是兩個素數(shù)，證明:任一階群都不是單群.(如果只有平凡的正規(guī)子群，且

3、)，則稱為單群.)證明 若階群是阿貝爾群，從而它有階子群.因為阿貝爾群的子群都是正規(guī)的,所以不是單群.若，不妨設，而，只能.故只有一個子群，它是正規(guī)子群.所以不是單群.綜上所述，命題得證.例2 設是一個階大于1的群，證明：只有平凡子群為素數(shù)階循環(huán)群.證明 (必要性)設（是素數(shù)），.由拉格朗日定理得.所以,即,故群只有平凡子群.（充分性）因為，所以存在.設,但是由于假設可得.(1)當時，是的平凡子群，與假設矛盾.(2)當是合數(shù)時，即,則.從而是的平凡子群，與假設矛盾.故是素數(shù)，即是素數(shù)階循環(huán)群.例3 設是兩個不同的素數(shù)，是交換群，且.證明:是循環(huán)群.證明 設，則，且.若，則.若，因為是素數(shù)，所以

4、可設，于是.令，則且.于是.當時，可得.當時，因為是交換群，是兩個不同的素數(shù)，所以,因此.綜上所述，是循環(huán)群.例4 設是素數(shù)，階為的群稱為-群.證明:-群一定有一個階子群.證明 設群, .(1)當時，可得.(2)當時，可令從而，所以.故-群一定含有階子群.2 環(huán)環(huán)是具有兩種代數(shù)運算的代數(shù)系，它也是近世代數(shù)中一個重要的分支，這里給出有關(guān)環(huán)的一些基本概念.定義1一個有單位元，無零因子的交換環(huán)稱為整環(huán).定義2設是交換環(huán)，是的一個理想.若對或則稱是的素理想.定義3設是環(huán)的一個真理想，若對于的理想， ,則稱是的極大理想.下面給出環(huán)中有關(guān)素數(shù)的一些結(jié)論及例題：結(jié)論1設是素數(shù)，則是整數(shù)環(huán)的素理想.結(jié)論2 設

5、是素數(shù)，則是整數(shù)環(huán)的極大理想.例5 設是偶數(shù)環(huán)，是素數(shù)，問是不是極大理想，是不是素理想?解 設是的理想，且,由于沒有單位元,所以.因為,于是存在，且是偶數(shù)，從而與的最大公約元為，則存在,使得.由于,所以，因此，故是極大理想.(1)當時，取,于是，但由于|，即.又因為.所以當時，不是素理想.(2)當時，若，從而.因為都是偶數(shù)，于是設.故.又因為與的最大公約元為.所以由，即.因此.所以當時，是素理想.例6 設是素數(shù),則是整數(shù)環(huán)的極大理想.證明 首先,從而.又設有的理想，使,則存在.因為,所以.又由于是素數(shù)，從而，即.因為所以.從而.因此是整數(shù)環(huán)的極大理想.例7 是大于的素數(shù)，則在中有解的充要條件是

6、，并由此證明當是形如的素數(shù)時，不是中的元素.證明 （充分性）因為有解，所以存在使得.從而.（必要性）當時，下面分兩種情況討論：(1) 當時，有.故是的一個解.(2)當時，是循環(huán)群，任取一生成元，有.可設，由得.因為，所以.故.令，得.所以有解.取，當時，成立.所以方程有解.即有使又因為.所以.又因為和.故不是素元.3 域域是一種特殊的環(huán)，所有有關(guān)環(huán)的性質(zhì)都適合域，而且有些性質(zhì)更為簡單.下面給出域中有關(guān)素數(shù)的定理，并圍繞定理展開對域中素數(shù)的討論.定理2整環(huán)的特征是或者是一素數(shù).定理3設是域，是的素域，則.定理4是域的充要條件是為素數(shù).定理5艾森斯坦因判別法 設，如果有一個素數(shù)，使（1）；（2）；

7、（3）；則在有理數(shù)域上是既約的.定理6設是特征為素數(shù)的域，對于任何,則.推論 1 設是特征為素數(shù)的域，對于任何,則. 下面的兩個例題是以上域中結(jié)論定理的應用與推廣：例8 設是素數(shù),判斷在上是否可約.解 可表示為 ,因為,所以由定理知在中不可約.例9 證明：當是素數(shù)時，則是域.證明 是加群；要證明對規(guī)定的乘法是二元運算，需要證明這個結(jié)果與代表的取法無關(guān)，即假如，有.由于，從而.對于某個,有.因此，即.對于任何，有.即是半群.因為且.所以是交換環(huán).下面證明沒有零因子.假定是的一個零因子，于是存在,使.由于，于是，又由，從而.因此,，即,這與是零因子矛盾，所以沒有零因子.因為的元素的個數(shù)為,所以是域.結(jié)論素數(shù)在近似代數(shù)中具有重要的地位.本文從群,環(huán),域三個方面論述了與素數(shù)有關(guān)的結(jié)論及其應用.參考文獻：1朱平天，李伯洪，鄒園.近世代數(shù)m.北京:科學出版社,2001:64-65,100-101.2birkhoff g, maclane s. a survey of modern algebram. beijing:posts&telecompress,2007:88-89.3阮傳概,孫偉.近世代數(shù)及應用m.北京:北京郵電大學出版社,2001:285-