矩陣的秩的性質(zhì)教學(xué)材料

1、矩陣的秩的性質(zhì)和矩陣秩與矩陣運(yùn)算之間的關(guān)系要談矩陣的秩，就得從向量組的秩說(shuō)起，向量組的秩，簡(jiǎn)而言之就是其極大無(wú)關(guān)組里向量的個(gè)數(shù)。進(jìn)而擴(kuò)展到線性方程組，在線性方程組的概念中（課本p90）定理1說(shuō)：“線性方程組有解的充要條件是，它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩。”那么不妨把矩陣用向量組的方式來(lái)看，則有行秩和列秩，一個(gè)矩陣的行秩和列秩相同，而其初等變換又不會(huì)改變秩。自然而然，我們就得到了一個(gè)判斷矩陣秩的方法，就是將它轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣，非零行數(shù)目即其秩。矩陣進(jìn)一步發(fā)展就是運(yùn)算了，包括數(shù)乘、加減、乘積等，又涉及到單位矩陣、三角矩陣、可逆矩陣以及矩陣的分塊等概念，綜合所學(xué)，我們得到如下性質(zhì)：1、 矩陣的初

2、等變換不改變秩，任一矩陣的行秩等于列秩。2、 秩為r的n級(jí)矩陣（），任意r+1階行列式為0，并且至少有一個(gè)r階子式不為0.3、 ， 4、 設(shè)a是矩陣，b為矩陣，則5、 設(shè)a是矩陣，p,q分別是s,n階可逆矩陣，則 6、 設(shè)a是矩陣，b為矩陣，且ab=0，則7、 設(shè)a是矩陣，則其中，也涉及到線性方程組解得問(wèn)題：8、 對(duì)于齊次線性方程組，設(shè)其系數(shù)矩陣為a，則方程組有惟一非零解，則有無(wú)窮多解，換言之，即為克萊姆法則，非齊次線性方程組有解時(shí)，惟一解，有無(wú)窮多解。還有滿秩矩陣：9、 可逆滿秩10、 行（列）向量組線性無(wú)關(guān)，即n級(jí)矩陣化為階梯形矩陣后非零行數(shù)目為n。擴(kuò)展到矩陣的分塊后：11、12、證明：1

3、、 先證明初等變換不會(huì)改變秩，就先從行秩開始。設(shè)矩陣a的行向量組是，設(shè)a經(jīng)過(guò)初等變換j+i*k變成矩陣b，則b的行向量組是，顯然，可由線性表出，由于，因此也可由線性表出，于是它們等價(jià)，而等價(jià)向量組有相同的秩，因此a的行秩等于b的列秩。容易證明，型和型初等變換亦使所得矩陣的行向量組與原矩陣等價(jià)，從而不改變矩陣的行秩。進(jìn)而列秩也可以得到證明，又已知階梯形矩陣的行秩與列秩相同，那么，講一個(gè)矩陣通過(guò)初等變換得到階梯形矩陣，行秩等于列秩的性質(zhì)便得證。2、 設(shè)矩陣a的秩為r，則a的行向量組中有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，設(shè)a的第行向量線性無(wú)關(guān)，它們組成一個(gè)矩陣a1（稱a1是a的子矩陣），由于a1的行向量組線性無(wú)關(guān)，因此a1的行秩為r，列秩也為r。于是a1又r列線性