一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習題1課堂教育

1、1、 一元二次方程的求根公式為 2、 一元二次方程根的判別式為：（1） 當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。（2） 當時，方程有兩個相等的實數(shù)根。（3） 當時，方程沒有實數(shù)根。反之：方程有兩個不相等的實數(shù)根，則 ；方程有兩個相等的實數(shù)根，則 ；方程沒有實數(shù)根，則 。韋達定理相關(guān)知識1若一元二次方程有兩個實數(shù)根，那么 ， 。我們把這兩個結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，簡稱韋達定理。2、如果一元二次方程的兩個根是，則 ， 。3、以為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是4、在一元二次方程中，有一根為0，則 ；有一根為1，則 ；有一根為，則 ；若兩根互為倒數(shù),則 ；若兩根互為相反數(shù)，則 。5、二次三項

2、式的因式分解(公式法) 在分解二次三項式的因式時，如果可用公式求出方程 的兩個根，那么如果方程無根,則此二次三項式不能分解.基礎(chǔ)運用例1：已知方程的一個根是1，則另一個根是 ， 。變式訓(xùn)練：1、已知是方程的一個根，則另一根和的值分別是多少？2、方程的兩個根都是整數(shù)，則的值是多少？例2：設(shè)是方程，的兩個根，利用根與系數(shù)關(guān)系求下列各式的值：（1） （2） （3） （4） 變式訓(xùn)練：1、 已知關(guān)于的方程有實數(shù)根，求滿足下列條件的值：（1）有兩個實數(shù)根。 （2）有兩個正實數(shù)根。 （3）有一個正數(shù)根和一個負數(shù)根。 （4）兩個根都小于2。2、已知關(guān)于的方程。（1）求證：方程必有兩個不相等的實數(shù)根。（2）取

3、何值時，方程有兩個正根。（3）取何值時，方程有兩異號根，且負根絕對值較大。（4）取何值時，方程到少有一根為零？選用例題：例3：已知方程的兩根之比為1：2，判別式的值為1，則是多少？例4、已知關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，并且這兩個根的平方和比兩個根的積大16，求的值。例5、若方程與有一個根相同，求的值?；A(chǔ)訓(xùn)練：1關(guān)于的方程中，如果，那么根的情況是（ ）（a）有兩個相等的實數(shù)根 （b）有兩個不相等的實數(shù)根（c）沒有實數(shù)根 （d）不能確定2設(shè)是方程的兩根，則的值是（ ）（a）15 （b）12 （c）6 （d）33下列方程中，有兩個相等的實數(shù)根的是（ ）（a） 2y2+5=6y（b）x2+5=2x（c）

4、x2x+2=0（d）3x22x+1=04以方程x22x30的兩個根的和與積為兩根的一元二次方程是（ ）（a） y2+5y6=0 （b）y2+5y6=0 （c）y25y6=0 （d）y25y6=05如果x1，x2是兩個不相等實數(shù)，且滿足x122x11，x222x21，那么x1·x2等于（ ）（a）2 （b）2 （c）1 （d）16.關(guān)于x的方程ax22x10中，如果a<0，那么根的情況是（ ）（a）有兩個相等的實數(shù)根 （b）有兩個不相等的實數(shù)根（c）沒有實數(shù)根 （d）不能確定7.設(shè)x1，x2是方程2x26x30的兩根，則x12x22的值是（ ）（a）15 （b）12 （c）6 （

5、d）38如果一元二次方程x24xk20有兩個相等的實數(shù)根，那么k 9如果關(guān)于x的方程2x2(4k+1)x2 k210有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是 10已知x1，x2是方程2x27x40的兩根，則x1x2 ，x1·x2 ，（x1x2）2 11若關(guān)于x的方程(m22)x2(m2)x10的兩個根互為倒數(shù)，則m .二、能力訓(xùn)練：1、 不解方程，判別下列方程根的情況：（1）x2x=5 (2)9x26+2=0 (3)x2x+2=02、 當m= 時，方程x2+mx+4=0有兩個相等的實數(shù)根； 當m= 時，方程mx2+4x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根；3、 已知關(guān)于x的方程10x2(m+

6、3)x+m7=0，若有一個根為0，則m= ， 這時方程的另一個根是 ；若兩根之和為，則m= ，這時方程的 兩個根為 .4、 已知3是方程x2+mx+7=0的一個根，求另一個根及m的值。5、 求證：方程(m2+1)x22mx+(m2+4)=0沒有實數(shù)根。6、 求作一個一元二次方程使它的兩根分別是1和1+。7、 設(shè)x1,x2是方程2x2+4x3=0的兩根，利用根與系數(shù)關(guān)系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)+ （3）x12+ x1x2+2 x18、如果x22(m+1)x+m2+5是一個完全平方式，則m= ;9、方程2x(mx4)=x26沒有實數(shù)根，則最小的整數(shù)m= ;10、已知

7、方程2(x1)(x3m)=x(m4)兩根的和與兩根的積相等，則m= ;11、設(shè)關(guān)于x的方程x26x+k=0的兩根是m和n，且3m+2n=20，則k值為 ; 12、設(shè)方程4x27x+3=0的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的值:(1) x12+x22 (2)x1x2（3）（4）x1x22x113、實數(shù)、分別滿足方程1929910和且199920求代數(shù)式的值。14、已知a是實數(shù)，且方程x2+2ax+1=0有兩個不相等的實根，試判別方程x2+2ax+1(a2x2a21)=0有無實根？15、求證：不論k為何實數(shù)，關(guān)于x的式子(x1)(x2)k2都可以分解成兩個一次因式的積。16、實數(shù)k在什么范圍

8、取值時，方程有實數(shù)正根？訓(xùn)練（一）1、 不解方程，請判別下列方程根的情況；(1)2t2+3t4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;(3)5(u2+1)7u=0, ;2、 若方程x2(2m1)x+m2+1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是 ;3、 一元二次方程x2+px+q=0兩個根分別是2+和2，則p= ,q= ;4、 已知方程3x219x+m=0的一個根是1，那么它的另一個根是 ，m= ;5、 若方程x2+mx1=0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，那么m的值是 ;6、 m,n是關(guān)于x 的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式 mn= 。7、 已知關(guān)于x的方程x2(k+1)x

9、+k+2=0的兩根的平方和等于6，求k的值;8、 如果和是方程2x2+3x1=0的兩個根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求作一個一 元二次方程，使它的兩個根分別等于+和+;9、 已知a,b,c是三角形的三邊長，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有兩個相 等的實數(shù)根，求證：這個三角形是正三角形10.取什么實數(shù)時，二次三項式2x2(4k+1)x+2k21可因式分解.11.已知關(guān)于x的一元二次方程222（3）10的兩實數(shù)根為,，若，求的取值范圍。訓(xùn)練（二）1、 已知方程x23x+1=0的兩個根為,，則+= , = ;2、 如果關(guān)于x的方程x24x+m=0與x2x2m=0有一個根相同，則m

10、的值為 ;3、 已知方程2x23x+k=0的兩根之差為2，則k= ;4、 若方程x2+(a22)x3=0的兩根是1和3，則a= ;5、 方程4x22(a-b)xab=0的根的判別式的值是 ;6、 若關(guān)于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有兩個實數(shù)根，且這兩個根互為倒數(shù)，那么m的值為 ;7、 已知p<0,q<0，則一元二次方程x2+px+q=0的根的情況是 ;8、 以方程x23x1=0的兩個根的平方為根的一元二次方程是 ;9、 設(shè)x1,x2是方程2x26x+3=0的兩個根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2) 10m取什么值時，方程2x2(4m+1)x+2m21=

11、0（1） 有兩個不相等的實數(shù)根，（2）有兩個相等的實數(shù)根，（3）沒有實數(shù)根；11設(shè)方程x2+px+q=0兩根之比為1:2，根的判別式=1，求p,q的值。12是否存在實數(shù)，使關(guān)于的方程的兩個實根，滿足，如果存在，試求出所有滿足條件的的值，如果不存在，請說明理由。一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系專題訓(xùn)練主編：閆老師1、如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根是x1、x2，那么x1+x2= ，x1·x2= 。2、已知x1、x2是方程2x2+3x4=0的兩個根，那么：x1+x2= ；x1·x2= ； ；x21+x22= ；(x1+1)(x2+1)= ；x1x2= 。3、以2和3為根的一元

12、二次方程(二次項系數(shù)為1)是 。4、如果關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a=0的一個根是1，那么另一個根是 ，a的值為 。5、如果關(guān)于x的方程x2+6x+k=0的兩根差為2，那么k= 。6、已知方程2x2+mx4=0兩根的絕對值相等，則m= 。7、一元二次方程px2+qx+r=0(p0)的兩根為0和1，則qp= 。8、已知方程x2mx+2=0的兩根互為相反數(shù)，則m= 。9、已知關(guān)于x的一元二次方程(a21)x2(a+1)x+1=0兩根互為倒數(shù)，則a= 。10、已知關(guān)于x的一元二次方程mx24x6=0的兩根為x1和x2，且x1+x2=2，則m= ，(x1+x2)= 。11、已知方程3x2+x1=0

13、，要使方程兩根的平方和為，那么常數(shù)項應(yīng)改為 。12、已知一元二次方程的兩根之和為5，兩根之積為6，則這個方程為 。13、若、為實數(shù)且+3+(2)2=0，則以、為根的一元二次方程為 。(其中二次項系數(shù)為1)14、已知關(guān)于x的一元二次方程x22(m1)x+m2=0。若方程的兩根互為倒數(shù)，則m= ；若方程兩根之和與兩根積互為相反數(shù)，則m= 。15、已知方程x2+4x2m=0的一個根比另一個根小4，則= ；= ；m= 。16、已知關(guān)于x的方程x23x+k=0的兩根立方和為0，則k= 17、已知關(guān)于x的方程x23mx+2(m1)=0的兩根為x1、x2，且，則m= 。18、關(guān)于x的方程2x23x+m=0，

14、當 時，方程有兩個正數(shù)根；當m 時，方程有一個正根，一個負根；當m 時，方程有一個根為0。19、若方程x24x+m=0與x2x2m=0有一個根相同，則m= 。20、求作一個方程，使它的兩根分別是方程x2+3x2=0兩根的二倍，則所求的方程為 。21、一元二次方程2x23x+1=0的兩根與x23x+2=0的兩根之間的關(guān)系是 。22、已知方程5x2+mx10=0的一根是5，求方程的另一根及m的值。23、已知2+是x24x+k=0的一根，求另一根和k的值。24、證明：如果有理系數(shù)方程x2+px+q=0有一個根是形如a+的無理數(shù)(a、b均為有理數(shù))，那么另一個根必是a。25、不解方程，判斷下列方程根的

15、符號，如果兩根異號，試確定是正根還是負根的絕對值大?26、已知x1和x2是方程2x23x1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：x31x2+x1x32 27、已知x1和x2是方程2x23x1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：28、已知x1和x2是方程2x23x1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值： (x21x22)2 29、已知x1和x2是方程2x23x1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：x1x230、已知x1和x2是方程2x23x1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：31、已知x1和x2是方程2x23x1=0的兩個根，利

16、用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：x51·x22+x21·x5232、求一個一元二次方程，使它的兩個根是2+和2。33、已知兩數(shù)的和等于6，這兩數(shù)的積是4，求這兩數(shù)。 34、造一個方程，使它的根是方程3x27x+2=0的根；(1)大3；(2)2倍；(3)相反數(shù)；(4)倒數(shù)。35、方程x2+3x+m=0中的m是什么數(shù)值時，方程的兩個實數(shù)根滿足：(1)一個根比另一個根大2；(2)一個根是另一個根的3倍；(3)兩根差的平方是17。36、已知關(guān)于x的方程2x2(m1)x+m+1=0的兩根滿足關(guān)系式x1x2=1，求m的值及兩個根。37、是關(guān)于x的方程4x24mx+m2+4m=0的兩個

17、實根，并且滿足，求m的值。38、已知一元二次方程8x2(2m+1)x+m7=0，根據(jù)下列條件，分別求出m的值：(1)兩根互為倒數(shù)；(2)兩根互為相反數(shù)；(3)有一根為零；(4)有一根為1；(5)兩根的平方和為。39、已知方程x2+mx+4=0和x2(m2)x16=0有一個相同的根，求m的值及這個相同的根。 40、已知關(guān)于x的二次方程x22(a2)x+a25=0有實數(shù)根，且兩根之積等于兩根之和的2倍，求a的值。41、已知方程x2+bx+c=0有兩個不相等的正實根，兩根之差等于3，兩根的平方和等于29，求b、c的值。42、設(shè)：3a26a11=0，3b26b11=0且ab，求a4b4的值。43、試確

18、定使x2+(ab)x+a=0的根同時為整數(shù)的整數(shù)a的值。44、已知一元二次方程(2k3)x2+4kx+2k5=0，且4k+1是腰長為7的等腰三角形的底邊長，求：當k取何整數(shù)時，方程有兩個整數(shù)根。45、已知：、是關(guān)于x的方程x2+(m2)x+1=0的兩根，求(1+m+2)(1+m+2)的值。46、已知x1,x2是關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根，x1+1、x2+1是關(guān)于x的方程x2+qx+p=0的兩根，求常數(shù)p、q的值。47、已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2+m2x+n=0的兩個實數(shù)根；y1、y2是關(guān)于y的方程y2+5my+7=0的兩個實數(shù)根，且x1y1=2,x2y2=2，求m、n的值。48

19、、關(guān)于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有兩個乘積為1的實根，x2+2(a+m)x+2am2+6m4=0有大于0且小于2的根。求a的整數(shù)值。49、關(guān)于x的一元二次方程3x2(4m21)x+m(m+2)=0的兩實根之和等于兩個實根的倒數(shù)和，求m的值。50、已知：、是關(guān)于x的二次方程：(m2)x2+2(m4)x+m4=0的兩個不等實根。(1)若m為正整數(shù)時，求此方程兩個實根的平方和的值；(2)若2+2=6時，求m的值。51、已知關(guān)于x的方程mx2nx+2=0兩根相等，方程x24mx+3n=0的一個根是另一個根的3倍。求證：方程x2(k+n)x+(km)=0一定有實數(shù)根。52、關(guān)于x的方程=0

20、，其中m、n分別是一個等腰三角形的腰長和底邊長。(1)求證：這個方程有兩個不相等的實根；(2)若方程兩實根之差的絕對值是8，等腰三角形的面積是12，求這個三角形的周長。53、已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有兩個實根x1和x2(x1x2)，在數(shù)軸上，表示x2的點在表示x1的點的右邊，且相距p+1，求p的值。54、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為、，且兩個關(guān)于x的方程x2+(+1)x+2=0與x2+(+1)x+2=0有唯一的公共根，求a、b、c的關(guān)系式。55、如果關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有兩個實數(shù)根、，那么(1)2+(1)2的最

21、小值是多少?56、已知方程2x25mx+3n=0的兩根之比為23，方程x22nx+8m=0的兩根相等(mn0)。求證：對任意實數(shù)k，方程mx2+(n+k1)x+k+1=0恒有實數(shù)根。57、(1)方程x23x+m=0的一個根是，則另一個根是 。(2)若關(guān)于y的方程y2my+n=0的兩個根中只有一個根為0，那么m，n應(yīng)滿足 。58、不解方程,求下列各方程的兩根之和與兩根之積x2+3x+1=0；59、不解方程,求下列各方程的兩根之和與兩根之積3x22x1=0；60、不解方程,求下列各方程的兩根之和與兩根之積2x2+3=0；61、不解方程,求下列各方程的兩根之和與兩根之積2x2+5x=0。62、已知關(guān)

22、于x的方程2x2+5x=m的一個根是2，求它的另一個根及m的值。63、已知關(guān)于x的方程3x21=tx的一個根是2，求它的另一個根及t的值。64、設(shè)x1，x2是方程3x22x2=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：(1)(x14)(x24)；(2)x13x24+x14x23；(3)；(4)x13+x23。65、設(shè)x1，x2是方程2x24x+1=0的兩個根，求x1x2的值。66、已知方程x2+mx+12=0的兩實根是x1和x2，方程x2mx+n=0的兩實根是x1+7和x2+7， 求m和n的值。67、以2，3為根的一元二次方程是 ( ) a.x2+x+6=0 b.x2+x6=0c.x2x

23、+6=0 d.x2x6=068、以3，1為根，且二次項系數(shù)為3的一元二次方程是 ( )a.3x22x+3=0 b.3x2+2x3=0c.3x26x9=0 d.3x2+6x9=069、兩個實數(shù)根的和為2的一元二次方程可能是 ( ) a.x2+2x3=0 b.x22x+3=0c.x2+2x+3=0 d.x22x3=070、以3，2為根的一元二次方程為 ，以，為根的一元二次方程為 ，以5，5為根的一元二次方程為 ，以4，為根的一元二次方程為 。71、已知兩數(shù)之和為7，兩數(shù)之積為12，求這兩個數(shù)。72、已知方程2x23x3=0的兩個根分別為a，b，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一個一元二次方程 ，使它的兩個根

24、分別是：(1)a+1.b+1(2)73、一個直角三角形的兩條直角邊長的和為6cm，面積為cm2，求這個直角三角形斜邊的長 。74、在解方程x2+px+q=0時，小張看錯了p，解得方程的根為1與3；小王看錯了q，解得方程的根為4與2。這個方程的根應(yīng)該是什么?75、關(guān)于x的方程x2ax3=0有一個根是1，則a= ，另一個根是 。76、若分式的值為0，則x的值為 ( )a.1 b.3 c.1或3 d.3或177、若關(guān)于y的一元二次方程y2+my+n=0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，則 ( )a.m=0且n0 b.n=0且m0c.m=0且n0 d.n=0且m078、已知x1，x2是方程2x2+3x1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：(1)(2x13)(2x23)；(2)x13x2+x1x23。79、已知a2=1a，b2=1b，且ab，求(a1)(b1)的值。80、如果x=1是方程2x23mx+1=0的一個根，則m= ，另一個根為 。81、已知m2+m4=0，m，n為實數(shù)，且，則= 。82、兩根為3和5的一元二次方程是 ( ) a.x22x15=0 b.x22x+15=0c.x2+