熱傳導(dǎo)方程的數(shù)學(xué)模型1教學(xué)知識_第1頁
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熱傳導(dǎo)方程的模型 一塊熱的物體，如果體內(nèi)每一點的溫度不全一樣，則在溫度較高的點處的熱能就要向溫度較低的點處流動，稱為熱傳導(dǎo)。由于熱能的傳導(dǎo)過程總是表現(xiàn)為溫度隨時間和點的位置的變化，故問題歸結(jié)為求物體內(nèi)溫度的分布。在三維直角坐標系下，假設(shè)在時刻點的溫度為，考慮一個區(qū)域的溫度，為此，在物體中任取一閉曲面，它所包圍的區(qū)域記作（如圖），為曲面的法向（從內(nèi)指向外）。由熱傳學(xué)中的fourier實驗定律可知：物體在無窮小時間段內(nèi)流過一個無窮小面積的熱量與時間段、曲面面積，以及物體溫度沿法線方向的方向?qū)?shù)三者成正比,即其中稱為物體的熱傳導(dǎo)系數(shù)()，當(dāng)物體均勻且各向同性時，為常數(shù)。式中負號出現(xiàn)是由于熱量的流向與溫度梯度的正向相反。從時刻到時刻，通過曲面流入?yún)^(qū)域的全部熱量為 流入的熱量使內(nèi)溫度發(fā)生了變化，在時間間隔內(nèi)區(qū)域內(nèi)各點溫度變化到，則在時間間隔內(nèi)內(nèi)溫度升高所需的熱量為： 其中為物體的比熱，為物體的密度，對均勻且各向同性的物體來說，它們都是常數(shù)。由于熱量守恒，故，即。交換積分次序,得 由于時間間隔及區(qū)域是任意取的，并且被積函數(shù)是連續(xù)的，得到如果物體是均勻的,即為常數(shù)，

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