第六章幾種離散型變量的分布

1、第六章 幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用檢查次數(shù)頻數(shù)頻率（%）累計(jì)人數(shù)累計(jì)頻率（%）0 4 4.2 4 4.21 7 7.311 11.5211 11.522 22.9313 13.535 36.5426 27.161 63.5523 24.084 87.5512 12.596100.0合計(jì)96100.0 表2-1 1998年某地96名婦女產(chǎn)前檢查次數(shù)頻數(shù)分布對(duì)此資料我們可均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)值特征指標(biāo)來(lái)概括資料的特點(diǎn)，均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差可利用原始資料計(jì)算。檢查次數(shù)頻數(shù)頻率（%）概率0 4 4.2P01 7 7.3P1211 11.5P2313 13.5P3426 27.1P4523 24.0P5512 1

2、2.5P6合計(jì)96100.0但更進(jìn)一步的了解，需知道每一事件所對(duì)應(yīng)的發(fā)生概率。 離散型隨機(jī)變量的可能取值與取這些值的概率間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱離散型隨機(jī)變量的概率分布。Xx1x2xiPP1P2Pi離散型隨機(jī)變量X的分布列Pi稱為離散型變量X的概率函數(shù),.)2, 1(0iPi11iiP顯然，概率函數(shù)Pi有如下兩個(gè)特點(diǎn)： 問(wèn)題： 1）對(duì)表2-1 ：1998年某地96名婦女產(chǎn)前檢查次數(shù)這一資料，我們?cè)撊绾蝸?lái)求其概率函數(shù)Pi呢？ 2）給青蛙按每單位體重注射一定劑量的洋地黃。由以往實(shí)驗(yàn)獲知，致死的概率為0.6，存活的概率為0.4。今給2只青蛙注射，求死亡只數(shù)的概率函數(shù)。P（X=0）= 0.4 * 0.4

3、=0.16P（X=1）= 0.4 * 0.6 + 0.6 * 0.4 =0.48P（X=2）= 0.6 * 0.6 =0.36X012P0.160.480.36青蛙死亡只數(shù)X的概率分布此問(wèn)題的解決，實(shí)際可利用二項(xiàng)分布的概率模型。本章介紹了三種常用的離散型 概率分布模型:二項(xiàng)分布Poisson負(fù)二項(xiàng)分布一、二項(xiàng)分布（binomial distribution） 二項(xiàng)分布是一種重要的離散型概率分布，由 J. Bernoulli(1713年)提出，在醫(yī)學(xué)中常用于率（陽(yáng)性率、治愈率、有效率等）的研究。 1、何為二項(xiàng)分布 Bernoulli試驗(yàn)：只有兩種可能結(jié)果的試驗(yàn)稱Bernoulli trial。如

4、動(dòng)物死亡、存活；化驗(yàn)結(jié)果陽(yáng)性、陰性；居民發(fā)病與不發(fā)病等等。 n次Bernoulli試驗(yàn)：對(duì)某一Bernoulli試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，則稱這種獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)系列為 n次Bernoulli試驗(yàn)。 已知某一 Bernoulli試驗(yàn)中A事件的發(fā)生概率為 ，則在獨(dú)立重復(fù)n次這一Bernoulli試驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次的概率為多少。 舉例： 給青蛙按每單位體重注射一定劑量的洋地黃。由以往實(shí)驗(yàn)獲知，致死的概率為0.6，存活的概率為0.4。今給2只青蛙注射，求死亡只數(shù)的概率函數(shù)。P（X=0）= 0.4 * 0.4 =0.16P（X=1）= 0.4 * 0.6 + 0.6 * 0.4 =0.48P（X=2）

5、= 0.6 * 0.6 =0.36X012P0.160.480.36青蛙死亡只數(shù)X的概率分布knkknCkXP)1 ()(上述結(jié)果實(shí)際可用如下關(guān)系式表示：01, K=0，1，2，, nknkknCkXP)1 ()(二項(xiàng)分布：若隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為：00 , K=0,1,2, 則稱X服從參數(shù) 為 的Poisson分布，記為X （ ）例：已知純凈水中的大腸桿菌數(shù)服從Poisson分布。若某品牌純凈水平均每毫升水含有大腸桿菌4個(gè)，現(xiàn)隨機(jī)抽查該純凈水樣1mL培養(yǎng),求培養(yǎng)出1個(gè)大腸桿菌的概率？例：有研究表明，在一般人群中，平均每1萬(wàn)新生兒中有先天性心臟病者15人。若某地某年共出生新生兒1.5萬(wàn)，求該地

6、該年有先天性心臟病的新生兒數(shù)為20的概率？設(shè)新生兒中先天性心臟病患者數(shù)服從Poisson分布。問(wèn)題： poisson 分布的參數(shù)的含義？怎樣的變量會(huì)服從Poisson分布？ 二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布的Poisson逼近逼近 n很大， 很小的二項(xiàng)分布變量近似服從= n的Poisson分布。 Poisson證明了這一定理。 故重復(fù)足夠多的n次獨(dú)立Bernoulli試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)服從Poisson分布。 如何理解水中細(xì)菌、空氣中的粉塵、放射性物質(zhì)在一定時(shí)間內(nèi)放射出的質(zhì)點(diǎn)數(shù)服從Poisson分布？例：據(jù)報(bào)道，新生兒染色體異常率為1%。試用二項(xiàng)分布和泊松分布二種方法計(jì)算100名新生兒發(fā)生x=0，1，

7、2例染色體異常的概率。XP(x)B(100,0.01)(1)00.36600.367910.36970.367920.18490.1839Poisson分布的特征1）概率函數(shù)圖：入值小于5時(shí)為偏峰，入愈小愈偏，隨著入增大，分布趨向?qū)ΨQ。2）泊松變量的特點(diǎn)：A、均數(shù)等于方差，均為入。B、泊松分布的可加性。X1 （ 1 ） X2 （ 2 ）X1+X2 （ 1+ 2 ） 例 如果某地新生兒先天性心臟病的發(fā)病概率為8%，那么該地120名新生兒中有4人患先天性心臟病的概率有多大？至少有5人患先天性心臟病的概率有多大？(程序計(jì)算)Poisson分布的應(yīng)用1、總體均數(shù)(入)的區(qū)間估計(jì)A、查表法(P124 例

8、6-10)B、正態(tài)近似法： XuX2樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較A、直接法例 一般人群先天性心臟病的發(fā)病率為0.8%，某研究者為探討母親吸煙是否會(huì)增大其小孩的先天性心臟病的發(fā)病危險(xiǎn)，對(duì)一群20-25歲有吸煙嗜好的孕婦進(jìn)行了生育觀察，在她們生育的120名小孩中，經(jīng)篩查有4人患了先天性心臟病。試作統(tǒng)計(jì)分析。1005. 0016633. 0)(1)4(96. 0008. 012005. 0,008. 0:1008. 0:030HHxPXPHHx接受水準(zhǔn)拒絕按例 有研究表明，一般人群精神發(fā)育不全的發(fā)生率為0.3%，今調(diào)查了有親緣血統(tǒng)婚配關(guān)系的后代25000人，發(fā)現(xiàn)123人精神發(fā)育不全，問(wèn)有親緣血統(tǒng)婚配關(guān)系的后代其精神發(fā)育不全的發(fā)生率是否要高于一般人群？正態(tài)近似法1005. 0543. 5757512305. 0003. 0:1003. 0:075003. 025000HHXuHHn接受水準(zhǔn)拒絕按兩個(gè)樣本均數(shù)的比較2222112121212121nXnXXXunnXXXX