廣東省陽東廣雅學校2020學年高中數(shù)學下學期2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義教案新人教A版必修4通用

1、2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義課前預習學案預習目標：通過對比物理中的一些向量與數(shù)量之間的運算關系，引入向量與數(shù)量之間的乘法運算，同時也為該運算賦予其物理意義。預習內容：引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而時間、質量等都是數(shù)量，這些向量與數(shù)量的關系常常在物理公式中體現(xiàn)。如力與加速度的關系，位移與速度的關系。這些公式都是實數(shù)與向量間的關系。師：我們已經(jīng)學習了向量的加法，請同學們作出和向量，并請同學們指出相加后，和的長度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關？生： 師：很好！本節(jié)課我們就來討論實數(shù)與向量的乘積問題，（板書課題：實數(shù)與向量的乘積）課內探究學案學習目標：1掌握實數(shù)與向量的積的

2、定義以及實數(shù)與向量的積的三條運算律，會利用實數(shù)與向量的積的運算律進行有關的計算；2理解兩個向量平行的充要條件，能根據(jù)條件判斷兩個向量是否平行；3通過對實數(shù)與向量的積的學習培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納、抽象的思維能力，了解事物運動變化的辯證思想。學習過程：1、探索研究1）定義：請大家根據(jù)上述問題并作一下類比，看看怎樣定義實數(shù)與向量的積？（可結合教材思考）可根據(jù)小學算術中的解釋，類比規(guī)定：實數(shù)與向量的積就是，它還是一個向量，但要對實數(shù)與向量相乘的含義作一番解釋才行。實數(shù)與向量的積是一個向量，記作. 它的長度和方向規(guī)定如下：（1） .（2） .2）運算律：問：求作向量和（為非零向量）并進行比較，向量與

3、向量相等嗎？（引導學生從模的大小與方向兩個方面進行比較）生： .師：設、為任意向量，、為任意實數(shù)，則有：（1）；（2）；（3）.通常將（2）稱為結合律，（1）（3）稱為分配律。小練習1：計算：（1）； （2）；（3）.3）向量平行的充要條件：請同學們觀察，回答、有何關系？生： . 引導：若、是平行向量，能否得出？為什么？可得出嗎？為什么？生： .師：由此可得向量平行的充要條件：向量與非零向量平行的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使得.對此定理的證明，是兩層來說明的：其一，若存在實數(shù)，使，則由實數(shù)與向量乘積定義中第(2)條可知與平行，即與平行.其二，若與平行，且不妨令，設（這是實數(shù)概念）接下來看、方

4、向如何：、同向，則，若、反向，則記，總而言之，存在實數(shù)（或）使.小練習2：如圖：已知，試判斷與是否平行 解： 與平行.4）單位向量：單位向量：模為1的向量.向量（）的單位向量：與同方向的單位向量，記作.思考：如何用來表示？ 2例題與練習：題1：如圖，在中，是的中點，是延長線上的點，且，是根據(jù)下列要求表示向量：（1） 用、表示； （2）用、表示. 題2：如圖，在中，已知、分別是、的中點，用向量方法證明： 題3：如圖，已知，求證：練習：p145 1、2、3、43課堂小結：（1）與的積還是向量，與是共線的；（2）向量平行的充要條件的內容和證明思路，也是應用該結論解決問題的思路。該結論主要用于證明點共線、求系數(shù)、證直線平行等題型問題；（3）運算律暗示我們，化簡向量代數(shù)式就像計算多項式一樣去合并同類項。4作業(yè)布置：練習部分 p8